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导数及其运算


第6讲
教师 上课内容 学生

高中

数学 科目学案
日期 课前检查 8 月2 日 时间 两节
作业完成情况:优□ 良□ 中□ 差□ 建议:

导数的概念及其运算

教学内容(包括本讲知识点总结、经典例题讲解、能力提升、思维训练及直击考点)

导数的概念及其运算

1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为______________,若 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为 ________. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 (1)定义 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率______________=____________为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 Δy f′(x0),即 f′(x0)= lim =________________. Δx→0 Δx (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点______________处的____________.相应地,切 线方程为________________. 3.函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)=____________为 f(x)的导函数,导函数有时也记作 y′. 4.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c (c 是常数) f(x)=xα (α 是实数) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax (a>0,a≠1) f(x)=e
x

导函数 f′(x)=______ f′(x)=__________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________

f(x)=logax (a>0,a≠1) f(x)=ln x

5.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=________; (2)[f(x)· g(x)]′=__________; f?x? ? (3)? ?g?x??′=__________ (g(x)≠0). [难点正本 疑点清源] 1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数; (2)函数 y=f(x)的导函数,是针对某一区间内任意点 x 而言的.如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点 x 都可导, 是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的导数 f′(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一 个新函数,就是函数 f(x)的导函数 f′(x).在不产生混淆的情况下,导函数也简称导数. 2.曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,切线斜率为 k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过 P 点.点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线 可能有多条.

1 1.(课本改编题)f′(x)是函数 f(x)= x3+2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值为________. 3 2.(课本精选题)如图,函数 y=f(x)的图像在点 P 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)=______. 3.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)=________. 4.已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上,曲线在点 P 处的切线平行于 3x-y=0,则点 P 的坐标为________. 1 1 5.已知曲线 y= x2-3ln x 的一条切线的斜率为- ,则切点的横坐标为( 4 2 1 A.-3 B.2 C.-3 或 2 D. 2

)

题型一 利用导数的定义求函数的导数 例1 求函数 y= x2+1在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率. 探究提高 求函数 f(x)平均变化率的步骤: ①求函数值的增量 Δf=f(x2)-f(x1); Δf f?x2?-f?x1? ②计算平均变化率 = . Δx x2-x1 解这类题目仅仅是简单套用公式,解答过程相对简单,只要注意运算过程就可以了. 利用导数的定义求函数的导数: 1 1 (1)f(x)= 在 x=1 处的导数;(2)f(x)= . x+2 x 题型二 导数的运算 例2 求下列各函数的导数:

2

1 1 2 (1)y=ex· x;(2)y=x?x +x +x3?; ln ? ? 1 x x (3)y=x-sin cos ;(4)y=( x+1)? -1?. 2 2 ? x ? 探究提高 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提 高运算速度,减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函 数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量. 求下列各函数的导数: x+x5+sin x (1)y= ;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3); x2 x 1 1 2x (3)y=-sin ?1-2cos 4?;(4)y= + ; ? 2? 1- x 1+ x cos 2x (5)y= . sin x+cos x 题型三 导数的几何意义 1 4 例 3 已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1) 求曲线在点 P(2,4)处的切线方程;(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程;(3)求斜率为 1 的曲线的切线方程.

探究提高 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标. (2)切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求实数 a、b、c 的值.

3

1.一审条件挖隐含 试题:(12 分)设函数 y=x2-2x+2 的图像为 C1,函数 y=-x2+ax+b 的图像为 C2,已知过 C1 与 C2 的一个交点的两 切线互相垂直. (1) 求 a,b 之间的关系;(2)求 ab 的最大值.

审题路线图 C1 与 C2 有交点 ↓(可设 C1 与 C2 的交点为(x0,y0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率: k1=2x0-2,k2=-2x0+a ↓?等价转换?? (2x0-2)(-2x0+a)=-1 ↓ (交点(x0,y0)适合解析式) 2 ? ?y0=x0-2x0+2 ? ,即 2x2-(a+2)x0+2-b=0 0 2 ?y0=-x0+ax0+b ? ↓?注意隐含条件方程①②同解? 5 a+b= 2 ↓?消元? 5 5 25 ab=a?2-a?=-?a-4?2+ ? ? ? ? 16 5 25 ↓当 a= 时,ab 最大且最大值为 . 4 16 规范解答 解 (1)对于 C1:y=x2-2x+2,有 y′=2x-2,
2





[1 分] [2 分]

对于 C2:y=-x +ax+b,有 y′=-2x+a, 设 C1 与 C2 的一个交点为(x0,y0),

2 由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直.∴(2x0-2)· (-2x0+a)=-1,即 4x0-2(a+2)x0+2a-1=0

① 又点(x0,y0)在 C1 与 C2 上, 2 ? ?y0=x0-2x0+2 故有? ?2x2-(a+2)x0+2-b=0 0 2 ?y0=-x0+ax0+b ? 5 由①②消去 x0,可得 a+b= . 2
4

② [7 分]

5 (2)由(1)知:b= -a, 2 5 ? 5 25 ∴ab=a?2-a?=-?a-4?2+ . ? ? ? 16 5 25 ∴当 a= 时,(ab)最大值= . 4 16 点评 题的思维过程.

[10 分] [12 分]

本题的切入点是:两曲线有交点(x0,y0),交点处的切线互相垂直.通过审题路线图可以较为清晰地看到审

方法与技巧 1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意 f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值, 不一定为 0;而(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0)是一个常量,其导数一定为 0,即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求 导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误. 失误与防范 1.利用导数定义求导数时,要注意到 x 与 Δx 的区别,这里的 x 是常量,Δx 是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.

课时规范训练
(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练题组 一、选择题 1.(2011· 山东)曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A.-9 B.-3 C.9 D.15 ( D.ln 2 ( ) ) 2.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于 ln 2 A.e2 B.e C. 2 ( )

3.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为 A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 二、填空题 π π 4.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′?2?sin x+cos x,则 f′?4?=________. ? ? ? ? 5.已知函数 f(x),g(x)满足 f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(x)=1,则函数 y= B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

f?x?+2 的图像在 x=5 处的切线方程 g?x?

为____________. x3 6. 设点 P 是曲线 y= -x2-3x-3 上的一个动点, 则以 P 为切点的切线中, 斜率取得最小值时的切线方程是________. 3

5

三、解答题 7.已知曲线 y=x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限. (1)求 P0 的坐标; (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 8. 如右图所示,已知 A(-1,2)为抛物线 C:y=2x2 上的点,直线 l1 过点 A,且与抛物线 C 相切,直线 l2:x=a (a<-1)交抛物 线 C 于点 B,交直线 l1 于点 D. (1)求直线 l1 的方程; (2)求△ABD 的面积 S. B 组 专项能力提升题组 一、选择题 π sin x 1 1.(2011· 湖南)曲线 y= - 在点 M?4,0?处的切线的斜率为 ( ) ? ? sin x+cos x 2 1 1 A.- B. 2 2 2 2 C.- D. 2 2 1 3 2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t3- t2+2t,那么速度为零的时刻是 3 2 ( A.0 秒 C.2 秒末 B.1 秒末 D.1 秒末和 2 秒末 )

? 1 ? 3.已知函数 f(x)=x2+bx 的图像在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行,若数列? ?的前 n 项和为 Sn, ?f?n??

则 S2 012 的值为 2 009 A. 2 010 2 010 C. 2 011 二、填空题

( 2 011 B. 2 012 2 012 D. 2 013

)

5π sin θ 3 3cos θ 2 4.设函数 f(x)= x+ x +tan θ,其中 θ??0,12?,则导数 f′(1)的取值范围是______________. ? ? 3 2 5. 已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图像如图所示,则曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程是__________. 6.曲边梯形由曲线 y=x2+1,y=0,x=1,x=2 所围成,过曲线 y=x2+1,x?[1,2]上一点 P 作切线,使得此切线从曲边梯形上 切出一个面积最大的普通梯形,则这一点的坐标为__________. 三、解答题 b 7.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值.

答案
要点梳理
6

f?x2?-f?x1? Δy Δx x2-x1 f?x0+Δx?-f?x0? 2.(1) lim Δx ? x?0 1.

lim Δx ? x?0

Δy

lim
?

x?0

f?x0+Δx?-f?x0? Δx

(2)(x0,f(x0)) 切线的斜率 y-y0=f′(x0)(x-x0) f?x+Δx?-f?x? 3. lim Δx ? x?0 1 1 - 4.0 αxα 1 cos x -sin x axln a ex xln a x 5.(1)f′(x)± g′(x) (2)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (3) g2?x? 基础自测 1.3 2.2 3.-2 题型分类· 深度剖析 例1 = 解 ∵Δy= ?x0+Δx?2+1- x2+1 0 ?x0+Δx?2+1-x2-1 0 4.(1,0) 5.B

?x0+Δx?2+1+ x2+1 0 2x0Δx+?Δx?2 = , 2 ?x0+Δx?2+1+ x0+1 2x0+Δx Δy ∴ = . Δx ?x0+Δx?2+1+ x2+1 0 1 变式训练 1 (1)f′(1)=- 2 1 (2)f′(x)=- ?x+2?2 例2 解 (1)y′=(ex· x)′ ln 1 x x1 x =e ln x+e ·=e (ln x+ ). x x 1 2 3 (2)∵y=x +1+ 2,∴y′=3x2- 3. x x (3)先使用三角公式进行化简,得 x x 1 y=x-sin cos =x- sin x, 2 2 2 1 1 ∴y′=?x-2sin x?′=x′- (sin x)′ ? ? 2 1 =1- cos x. 2 1 1 (4)先化简,y= x· - x+ -1 x x
1

=- x 2 + x

?

1 2


3

1 1 ? ∴y′=- x - x 2 2 2 1 ? 1? 1+ . =- x? 2 x?
? x ? x5 ? sin x sin x 变式训练 2 解 (1)∵y= = x 2 +x3+ 2 , 2 x x 3

1 2

1 2

7

∴y′=( x
5

?

3 2

)′+(x3)′+(x 2sin x)′



3 ? - - =- x 2 +3x2-2x 3sin x+x 2cos x. 2 (2)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11. x 1 x (3)∵y=-sin ?-cos 2?= sin x, ? 2 2? 1 1 1 ∴y′=?2sin x?′= (sin x)′= cos x. ? ? 2 2 1 1 2 (4)∵y= + = , 1- x 1+ x 1-x 2 -2?1-x?′ 2 ∴y′=?1-x?′= = . ? ? ?1-x?2 ?1-x?2 cos 2x (5)y= =cos x-sin x, sin x+cos x ∴y′=-sin x-cos x. 例3 1 4 解 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x3+ 上,且 y′=x2,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为:f′(2)=4. 3 3

∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 1 3 4 1 4 2 (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0,3x0+3?,则切线的斜率为:f′(x0)=x0. ? ? 3 3 1 3 4 2 ∴切线方程为 y-?3x0+3?=x0(x-x0), ? ? 2 4 即 y=x2· x3+ . 0 x- 0 3 3 ∵点 P(2,4)在切线上, 2 4 ∴4=2x2- x3+ , 0 3 0 3
3 即 x0-3x2+4=0,∴x3+x2-4x2+4=0, 0 0 0 0

∴x2(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, 0 ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2,故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. (3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为: x2=1,x0=± 1. 0 5 切点为(-1,1)或?1,3?, ? ? 5 ∴切线方程为 y-1=x+1 或 y- =x-1, 3 即 x-y+2=0 或 3x-3y+2=0. 变式训练 3 解 ∵y′=2ax+b, ∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=f′(2)=4a+b.∴4a+b=1. 又∵P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上, ∴a+b+c=1, 4a+2b+c=-1. ② ③ ①

?a=3, ? 联立①②③解方程组,得?b=-11, ?c=9. ?
8

∴实数 a、b、c 的值分别为 3、-11、9. 课时规范训练 A组 1.C 2.B 3.A 6.12x+3y+8=0 7.解 (1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知令 3x2+1=4,解之得 x=± 1. 当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)∵直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, 1 ∴直线 l 的斜率为- . 4 ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 1 ∴直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 4 即 x+4y+17=0. 8.解 (1)由条件知点 A(-1,2)为直线 l1 与抛物线 C 的切点, ∵y′=4x,∴直线 l1 的斜率 k=-4, 所以直线 l1 的方程为 y-2=-4(x+1), 即 4x+y+2=0. (2)点 A 的坐标为(-1,2), 由条件可求得点 B 的坐标为(a,2a2), 点 D 的坐标为(a,-4a-2), ∴△ABD 的面积为 1 S= ×|2a2-(-4a-2)|×|-1-a| 2 =|(a+1)3|=-(a+1)3. B组 1.B 2. A 3.B 4.[ 2,2] 3 13 5.x-y-2=0 6.?2, 4 ? ? ? 7 7.解 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x b 1 2a- = , ? 2 2 ?a=1, 于是 解得? b 7 ?b=3. ? a+ = , 4 4 3 故 f(x)=x- . x 4.- 2 5.5x-16y+3=0

? ? ?

3 3 (2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=?1+x2?(x-x0), ? x 0?
9

3 3 即 y-?x0-x ?=?1+x2?(x-x0). ? 0? ? 0? 6 6 令 x=0,得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为?0,-x ?.令 y=x, ? x0 0? 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 6 1 S= ?-x ?|2x0|=6. 2? 0? 故曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,且此定值为 6.

本次课后作业: 家长签字: 家长意见:

学生本次上课情况教师评定:优□ 学校主管签章

良□ 中□ 差□ 建议:

日期

2013 年





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