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高中数学 3.3直线的交点坐标与距离公式课件 新人教A版必修2


§3.3 直线的交点坐标与距离公式

3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离

1.了解两条直线的交点是由它们对应的方程组的解来确定的; 会根据方程组的解的个数来判断两直线的位置关系. 2.能利用两条直线交点的概念解决某些应用问题. 3.掌握平面上任意两点间的距离公式应用它处理相关的数学 问题.

1.设直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0.两条直线l1

与l2的交点坐标就是方程组①:
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0的________反过来,方程组①的解就 解 是______________________.当方程组①有唯一解时,表示 两直线l1与l2的交点坐标 两直线l1与l2________;当方程组①______时,表示两直线 相交 无解 l1∥l2;当方程组有无穷多解时,表示两直线______. 重合

2.已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则

|P1P2|=____________________.特别地,原点O(0,0)与任一 ( x ? x )2 ? ( y ? y )2
1 2 1 2

点P(x,y)的距离|OP|=

x2 ? y 2 . 3.对于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,则P1P2与x轴垂直,此
时|P1P2|=__________;若y1=y2,则P1P2与y轴垂直,此时 |y2-y1| |P1P2|=____________.显然,上述两种情形都适合两点间的 |x2-x1| 距离公式.

1.关于两条直线相交的判定 (1)解两直线的方程组成的方程组,若只有一个公共解,则两 直线相交. (2)在两直线的斜率都存在的条件下,若斜率不等,则两直线 相交.

2.两点间距离公式的推导 两点间的距离公式的推导要依靠数轴上两点的距离的求法, 因而在推导任意两点间距离公式之前,应熟悉下面两种情况:

(1)直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|; (2)直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|. 在此基础上,运用勾股定理就很容易得出平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式:|P1P2|=

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 .

3.用解析法证几何题的注意事项
(1)用解析法证明几何题时,首先要根据题设条件建立适当的 直角坐标系,然后根据题中所给的条件,设出已知点的坐标. (2)再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标. (3)另外,在证题过程中要不失一般性.

题型一 两直线的交点的求法及应用 例1:分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2;4x-12y+8=0;

(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.

解:(1)方程组 2x-y-7=0, 3x+2y-7=0.的解为 x=3,

y=-1,因此直线l1和l2相交,交点坐标为
(3,-1). (2)方程组 2x-6y+4=0, 4x-12y+8=0.有无数组解,这表明直线l1和l2重合.

(3)方程组

4x+2y+4=0, 2x+y-3=0.无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故

l1∥l2.
规律技巧:求两直线的交点,就是解由两条直线方程组成的方 程组,若方程组有一解,则两直线相交;若方程组无解,则两直线 平行;若方程组有无数组解,则两直线重合.

变式训练1:直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0和
x-y-1=0的交点,求直线l的方程.

解:解方程组

2x+3y+8=0,
x-y-1=0,得 x=-1, y=-2.

∴两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2). 又直线l经过原点, ∴直线l的方程为 y ? 0 x?0 ? , ? 2 ? 0 ?1 ? 0 即2x-y=0.

题型二 两点间距离公式的应用
例2:已知点A(1,2),B(2,0),P(0,3),Q(-1,1),M(1,0),N(-4,0),线 段AB,PQ,MN能围成一个三角形吗?为什么? 解:不能. 由两点间距离公式,有

| AB |? (1 ? 2)2 ? (2 ? 0) 2 ? 5, | PQ |? (0 ? 1) ? (3 ? 1) ? 5,
2 2

| MN |?|1 ? 4 |? 5.

∵|AB|+|PQ|=

<5=|MN|,

2 5 ∴线段AB,PQ,MN不能围成一个三角形.

规律技巧:三条线段构成三角形的条件是:任两条线段之和大

于第三条线段,任两条线段之差小于第三条线段.
变式训练2:已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:△ABC是等腰 三角形.

证明:由两点间距离公式可得:

| AB |? (4 ? 2) 2 ? (3 ? 1) 2 ? 2 2, | BC |? (5 ? 3) 2 ? (0 ? 4) 2 ? 2 5, | AC |? (5 ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 5,
∴|AC|=|BC|, 又∵A?B?C三点不共线, ∴△ABC是等腰三角形.

题型三 综合问题 例3:(1)已知点A(-3,4),B(2, 3 ),在x轴上找一点P,使 |PA|=|PB|,并求|PA|的值; (2)已知点M(x,-4)与N(2,3)间的距离为7 分析:利用距离公式解决.

2 ,求x的值.

解:(1)设点P为(x,0)则有
| PA |? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 4) 2 ? x 2 ? 6 x ? 25, | PB |? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 3) 2 ? x 2 ? 4 x ? 7. 由 PA ? PB , 得x 2 ? 6x ? 25 ? x 2 ? 4x ? 7, 9 解得x ? ? . 5

9 9 2 109 2 2 即所求点P为(? , 0)且 | PA |? (? ? 3) ? (0 ? 4) ? . 5 5 5 (2)题意得 MN ? ( x ? 2)2 ? (?4 ? 3) 2 ? 7 2, 平方得x 2 ? 4x ? 45 ? 0, 解得x1 ? 9或x 2 ? ?5, 故所求x值为9或 ? 5.

变式训练3:已知A(4,-3)?B(2,-1)和直线l:4x+y-2=0,求点P使

|PA|=|PB|,且点P在直线l上.
解:∵点P在直线l上,

∴可设P(a,2-4a).
又A(4,-3)?B(2,-1), ∴由|PA|=|PB|可得 (a-4)2+(5-4a)2=(a-2)2+(3-4a)2,
7 7 18 解得a ? .? P ( , ? ). 5 5 5

易错探究 例4:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形.

错解:当三条直线两两相交,且过同一点时,不能构成三角形,
∴当l2,l3相交于一点时,由 3x-2y-5=0, 6x+y-5=0, 得l2与l3的交点(1,-1).将交点(1,-1)代入l1的方程,得3×1-m1=0,∴m=2.

∴当m=2时,三线共点,不能围成三角形.

错因分析:错因是由于思维不严密造成的,一般容易想到三直

线共点而忽视了三条直线任两条平行或重合时也不能围成三
角形这个条件. 正解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时,它们不 能围成三角形. 由 3x-2y-5=0, 6x+y-5=0,解得 x=1. y=-1.

将x=1,y=-1代入l1方程中,得m=2. ∴当m=2时三条直线共点. 又m=-2时,l1∥l2;

又m=?时,l1∥l3.
∴当m=±2或m=?时,l1,l2和l3不能围成三角形.

基础强化 1.直线3x+5y-1=0与4x+3y-5=0的交点是( A.(-2,1) B.(-3,2) )

C.(2,-1)
解析:由

D.(3,-2)
3x+5y-1=0, 4x+3y-5=0.得 x=2, y=-1.

∴两直线的交点为(2,-1).
答案:C

2.已知点A(-2,-1),B(a,3)且AB=5,则a等于(
A.a=1 C.a=1或-5 B.a=-5 D.其他值

)

解析:由两点间距离公式 得,(a+2)2+(3+1)2=52,∴(a+2)2=9,∴a=1或a=-5. 答案:C

3.已知点M(-1,3),N(5,1),P(x,y)到M?N的距离相等,则x,y满足
的条件是( A.x+3y-8=0 C.x-3y+9=0 ) B.x-3y+8=0 D.3x-y-4=0

解析:由|PM|=|PN|,得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2,化简得3xy-4=0.

答案:D

4.已知△ABC的顶点A(2,3)?B(-1,0),C(2,0)则△ABC的周长

是(

)

A.2 3 C.6 ? 3 2

B.3 ? 2 3 D.6 ? 10

解析 : AB ? (?1 ? 2) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2. | BC |? 3,| AC |? (2 ? 2) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3. ?? ABC的周长为6 ? 3 2. 答案:C

5.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(k∈R)所经过的定点是( A.(5,2) C.(- 1 ,3)
2

)

B.(2,3) D.(5,9)

解析:将含有待定系数的项放在一起,不含有待定系数的项 放在一起,可得 k(2x-y-1)-(x+3y-11)=0. ∴直线经过2x-y-1=0和x+3y-11=0的交点.

解得x=2,
y=3. 答案:B

6.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的

值是(
A.-24 B.6 C.±6

)

D.不同于A?B?C的答案

解析:两直线的交点在y轴上,可设交点的坐标为(0,y0),
则有3y0-k=0, -ky0+12=0. ① ②

2 由①可得y0= k ,将其代入②得 k +12=0. ? 3 3 ∴k2=36,即k=±6.

答案:C

7.甲船在某港口的东50 km,北30 km处,乙船在同一港口的东

14 km,南18 km处,那么甲?乙两船的距离是________. 60 km
解析:以港口为坐标原点建立直角坐标系.则甲船位置为

(50,30),乙船的位置为(14,-18),甲?乙两船的距离为

(50 ? 14)2 ? (30 ? 18) 2 ? 3600 =60(km).

8.过点A(4,a)和 B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,则 |AB|=________.

2
解析 : k AB b?a ? ? b ? a ? 1, 5?4

? AB ? (5 ? 4)2 ? (b ? a)2 ? 2.

能力提升 9.求m、n的值,使直线l1:y=(m-1)x-n+7满足: (1)平行于x轴; (2)平行于直线l2:7x-y+15=0;

(3)垂直于直线l2:7x-y+15=0;

解:(1)当m=1且n≠7时,l1平行于x轴;
(2)7x-y+15=0化为斜截式:y=7x+15, ∴k2=7,b=15,当l1∥l2时,应有k1=7且b1≠15即m-1=7且n+7≠15,∴m=8,n≠-8; (3)当(m-1)\57=-1,即 m ? 6 , n∈R时,l1⊥l2.
7

10.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),试

判断其形状.

3?5 1 3?0 1 解 : k AB ? ? ? , kCD ? ? , ?4 ? 2 3 6?3 3 3?0 k AD ? ? ?3, ?4 ? 3 ?由k AB ? k CD得AB / /CD,由k AB ?k AD ? ?1, 得AD ? AB.又 AB ? (5 ? 3) 2 ? (2 ? 4) 2 ? 2 10, | CD |? (6 ? 3) 2 ? 32 ? 3 10, 即 AB ? CD . ?四边形ABCD为直角梯形.

11.(全国Ⅱ)已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的 方程为( )

A.4x+2y=5
C.x+2y=5

B.4x-2y=5
D.x-2y=5

3 1? 2 1 解析 : AB的中点坐标为(2, ), k AB ? ?? , 2 3 ?1 2 3 ? AB垂直平分线的斜率为k ? 2, 其方程为y ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? , 即4x ? 2y ? 5.
答案:B

12.(上海高考)直线y=?x关于直线x=1对称的直线方程是

___________________. x+2y-2=0

1 1 解析 : 如图所示,? y ? x的斜率为 , 2 2 1 ? y? x 1 ? ? 所求直线l的斜率k ? ? .由 ? 2 2 ? ? x ? 1, 1 1 1 得交点(1, ), 该点应在l上, 故l的方程为y ? ? ? ( x ? 1), 2 2 2 即x ? 2y ? 2 ? 0


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