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4§2.1 圆的标准方程教案


§2.1 圆的标准方程
知识目标:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。

教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程:
1、情境设置:
在直角坐标系中, 确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形, 确定它 的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中, 任何一条直线都可用一个二元一次方 程来表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究:

2、探索研究:
确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r。 (其中 a、b、r 都是常数,r>0)设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列 出 ) P={M||MA|=r}, 由 两 点 间 的 距 离 公 式 让 学 生 写 出 点 M 适 合 的 条 件

( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

① ②

化简可得: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
6

4

A
2

M

-5

5

-2

-4

引导学生自己证明 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 为圆的方程,得出结论。
2 2 2

方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究
例(1) 写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) : 是否在这个圆上。 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的关系的判断方法:
2 2 2

(1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

(2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

(3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

例(2) ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程 : 师生共同分析:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 可知,要确定圆的标准方

程,可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决) 例(3):已知圆心为 C 的圆 l : x ? y ? 1 ? 0 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等, 所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平分线 m 上, 又圆心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。 (教师板书解题过程。 )
4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

总结归纳: (教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2) 、例(3)可得出 ? ABC 外接圆的标 准方程的两种求法: ①、根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的 标准方程. 根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方 程.

练习:课本 p127 第 1、3、4 题

小结:
1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业:课本 p130 习题 4.1 第 2、3、4 题


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