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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:12.3 合情推理与演绎推理_图文

12.3 合情推理与演绎推理

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -2-

1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推 理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一 些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -3-

1.合情推理主要包括 合情推理的过程:

归纳推理 和 类比推理 .

从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜 想

部分对象 具有某些特征,推出该类事 物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实 概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分
(1)归纳推理:由某类事物的 到整体、由个别到一般的推理.

两类对象 具有某些类似特征和其中 一类对象 的某些已知特征,推出 另一类对象 也具有这些特征的推理称为类比推 理(简称类比),简言之,类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理.
(2)类比推理:由

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -4-

一般性 的原理出发,推出某个特殊情况下的结论, 我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由 一般 到 特殊
2.演绎推理:从 的推理. (1)三段论是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)“三段论”可以表示为 ①大前提:M 是 P.②小前提:S 是 M.③结论:S 是 P. 用集合说明:即若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的一个子集, 那么 S 中所有元素也都具有性质 P.

第十二章

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合情推理与演绎推理 -5-

想一想合情推理与演绎推理有什么联系与差异?
答案:总体来说,从推理形式和推理所得结论的正确性上讲,二者

有差异;从二者在认识事物的过程中所发挥的角度考虑,它们又是紧 密联系、相辅相成的.合情推理得到的结论需要演绎推理的验证,而 演绎推理的思路一般是通过合情推理获得的.

第十二章

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合情推理与演绎推理 -6-

基础自测
1.数列 2,5,11,20,32,x,…中的 x 等于( A.28 B.32 ) C.33 D.47

关闭

D

由 5-2=3,11-5=6,20-11=9,32-20=12,则 x-32=15,∴ x=47.
解析

关闭

答案

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12.3

合情推理与演绎推理 -7-

2.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函 数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) )

关闭

由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函数的导函数是奇函数,又 f(x)是 关闭 D 偶函数 ,所以 g(x)是奇函数,故 g(-x)=-g(x).
解析 答案

第十二章

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合情推理与演绎推理 -8-

3.给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· b+b2. 其中结论正确的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

关闭

B

只有③正确.
解析

关闭

答案

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12.3

合情推理与演绎推理 -9-

4.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶ 2,则它们的面积比为 1∶ 4.类似地, 在空间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶ 2,则它们的体积比为 .

关闭

1∶ 8
答案

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12.3

合情推理与演绎推理 -10-

考点一

归纳推理
(+1) 2

【例 1】 (2013 湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多 边形数.如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角形数为 = n2+ n.记第 n
1 2 1 2

个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 N(n,3)= n2+ n, N(n,4)=n2,
3 2 1 2 1 2

N(n,5)= n2- n,

2 由题中数据可猜想 含 n= 项的系数为首项是 ,公差是 的等差数列,含 n 项的 六边形数 N(: n ,6) 2n2-n,

1 2

关闭

1 1 1 1 1 + (k-3) n2+ + 2 2 2 2 2 1 -2 可以推测 N ( k-) 的表达式 ,由此计算 Nn= (10,24) =2-10×10. 2n,4 (1 k3 ) n= n + n.故 N(10,24) =11n2-10 11×10 =1 000. 000 2 2 2

1 2

1 2

…… …… 系数为首项是 ,公差是 - 的等差数列,因此 N(n,k)=

关闭

解析 考点一 考点二 考点三

答案

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -11-

方法提炼 1.归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越 了前提所包含的范围. 2.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基 础之上的. 特别提醒:归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论 和科学的发现很有用.

考点一

考点二

考点三

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -12-

举一反三 1 平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达
式为( A.n+1 ) B.2n
2 +n+2 C. 2

D.n2+n+1
关闭

1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域……n 条直线最多可将 平面分成 C
(+1) 1+(1+2+3+…+n)=1+ 2

=

2 +n+2 个区域,选 2

C.
解析

关闭

答案

考点一

考点二

考点三

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -13-

考点二
集):

类比推理

【例 2】给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数 ①“若 a,b∈R,则 a-b=0? a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0? a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di? a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d∈Q,则 a+b 2=c+d 2? a=c,b=d”;
关闭

③若“a,b∈R,则 a-b>0? a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0? a>b”. ①②正确,③错误.因为两个复数如果不全是实数 ,不能比较大小. 其中类比结论正确的个数是 ( ) A.0 C B.1 C.2 D.3
解析 考点一 考点二 考点三
关闭

答案

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -14-

方法提炼 1.类比推理是由特殊到特殊的推理,其命题有其特点和求解规律,可以 从以下几个方面考虑类比:类比定义、类比性质、类比方法、类比结构. 2.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性. (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想).

考点一

考点二

考点三

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -15-

举一反三 2 在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,作 AD⊥BC,D 为垂足,BD 为 AB
在 BC 上的射影,CD 为 AC 在 BC 上的射影,则有 AB2+AC2=BC2,

AC2=CD·BC 成立.直角四面体 P-ABC(即 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA)中,O
为 P 在△ABC 内的射影,△PAB,△PBC,△PCA 的面积分别记为 S1,S2,S3, △OAB,△OBC,△OCA 的面积分别记为 S'1,S'2,S'3,△ABC 的面积记为 S.类比 直角三角形中的射影结论,在直角四面体 P-ABC 中可得到正确结论 出一个正确结论即可). (写
关闭

空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比: 多面体?多边形,面?边,体积?面积,二面角?平面角,面积?线段长……由此,
2 2 2 2 2 可类比得 或 S2 =1 + 2 + 3 ). 2 1 =S'1S(2 2 2 1 =S'1S(或 S =1 + 2 + 3 )
关闭

解析 考点一 考点二 考点三

答案

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -16-

考点三 演绎推理
【例 3】 已知△ABC 中,∠A=30° ,∠B=60° ,求证:a<b. 证明:∵ ∠A=30° ,∠B=60° ,∴ ∠A<∠B. ∴ a<b.其中,画线部分是演绎推理的( A.大前提 B.小前提 ) D.三段论 C.结论

关闭

B
答案 考点一 考点二 考点三

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -17-

方法提炼 演绎推理是从一般到特殊的推理;其一般形式是三段论,应用三段论解 决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然的,则可 以省略.

考点一

考点二

考点三

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -18-

举一反三 3“因为指数函数 y=a 是增函数(大前提),而 y=
x

1 是指数函 3

数(小前提),所以 y=

1 是增函数(结论)”,上面推理的错误 是( .. 3

)

A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错都导致结论错

关闭

A
答案 考点一 考点二 考点三

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -191 2 3 4

1.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则 72 011 的末两位数字为( A.01 C.07 B.43 D.49

)

关闭

(法一)由题意得,72 011=7502×4+3=(74)502·73,由于 74=2 401 末位为 1,倒数第 二位为 0,因此 2 401502 的末两位定为 01.又 73=343,∴ (74)502·73 的末两位定为 43. (法二)用归纳法:∵ 72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,76=117 649,77=823 543,…,由上知末两位有周期性且 T=4. 关闭 2 011 502×4+3 2 011 3 ,∴ 7 的末两位与 7 的末两位一样为 43. B 又 7 =7
解析 答案

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -201 2 3 4

2.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示 数.他们研究过如图所示的三角形数:

关闭

(1)由题意可得, 将三角形数 1,3,6,10, 记为数列{an},将可被 5 整除的三角形数按从小到大 a1=1,a2= 3,a3=6,a… 4=10,…,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n.

的顺序组成一个新数列{bn}.可以推测:(-1)(+2) (1) 项; 012 是数列{an}中的第 此,b b2 1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45,b4=a10=55,… (2)b2k(用 k5表示 由此归纳出 b2.012 =a 1= 030. )
(2)b1=a4= 以上各式相加得,an-a1=2+3+…+n=
2

,故 an=

(+1) .因 2

4×5 9×10 14×15 ,b3=a9= ,b5=a14= ,…. 2 2 2 5 ( (5 5 -1 1) ) 5 (1)5 030 (2) 归纳出 b2k-1= 2 . 2

关闭

解析

答案

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -211 2 3 4

3.在平面直角坐标系中,若点 P(x,y)的坐标 x,y 均为整数,则称点 P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的 面积记为 S,其内部的格点数记为 N,边界上的格点数记为 L.例如图中 △ABC 是格点三角形,对应的 S=1,N=0,L=4. (1)图中格点四边形 DEFG 对应的 S,N,L 分别是 ; (2)已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c,其中 a,b,c 为常数. 若某格点多边形对应的 N=71,L=18, 则 S=
(1)3,1,6

(用数值作答).
关闭

(2)79
答案

第十二章

12.3

合情推理与演绎推理 -221 2 3 4

4.在 Rt△ABC 中,若∠C=90° ,则 cos2A+cos2B=1.试在立体几何中,给出四面 体性质的猜想.
2

如图(1),在 Rt△ABC 中, cos A+cos B=
2

关闭

2

+

2

=

2 + 2

2

=1 .

于是把结论类比到如图(2)所示的四面体 P-A'B'C'中,我们猜想,三棱锥 P-A'B'C'中,若三个侧面 PA'B',PB'C',PC'A'两两互相垂直且分别与底面所成的角 为 α,β,γ,则 cos2α+cos2β+cos2γ=1.
答案