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《超几何分布与二项分布型概率题》参考答案

二轮复习
超几何分布与二项分布型概率解答题
【湖南省历年高考试题】 (2010 年湖南 17)下图是某城市通过样本得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频 率分布直方图. (1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民 (看作有放回的抽样) ,求月均用水量在 3 X 至 4 吨的居民数 的分布列和数学期望. 解析: (1)依题意及频率分布直方图知, 0.02 ? 0.1 ? x ? 0.37 ? 0.39 ? 1, 解得 x ? 0.12. (2)由题意知, X ~ B(3,0.1) ,因此
0 P( X ? 0) ? C3 ? 0.93 ? 0.729, 2 P( X ? 1) ? C1 3 ? 0.1? 0.9 ? 0.243, 2 3 P( X ? 2) ? C3 ? 0.12 ? 0.9 ? 0.027, P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.1 ? 0.001.

故随机变量 X 的分布列为 1 2 3 X 0 P 0.729 0.243 0.027 0.001 X 的数学期望为 EX ? 3 ? 0.1 ? 0.3. 【备考要点】 超几何分布和二项分布是随机变量的分布列与数学期望中的两大模型.两大模型的共同 特点是从总体中抽取若干元素,但超几何分布是不放回抽取,而二项分布是有放回抽取或者 总体容量很大可视为有放回抽样.掌握两大模型,是概率与统计解答题最基本的要求.二项分 布在近七年的湖南理科数学试题中出现过两次.湖南省的概率与统计解答题往往是与生活生 产上的实际问题相结合,从这个角度上看,超几何分布模型似乎先天不足,近七年没有命题. 【高考仿真试题】 1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天日销售量都不 低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个 的天数 , 求随机变量 X 的分布列,期望 EX 及方差

DX .
解析: (1)设 A 1 表示事件“日销售量不低于 100 个”,

A2 表示事件“日销售量低于 50 个”. B 表示事件
“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50 个”. 因此 P( A 1 ) ? (0.006 ? 0.004 ? 0.002) ? 50 ? 0.6 ,

P( A2 ) ? 0.003? 50 ? 0.15, 故 P( B) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.15 ? 2 ? 0.108.
0 3 (2)因为 X ~ B(3, 0.6), 故 P( X ? 0) ? C3 ? 0.4 ? 0.064, 2 2 2 P( X ? 1) ? C1 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.288, P( X ? 2) ? C3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.432, 3 P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.6 ? 0.216.

随机变量 X 的分布列为 0 X

1

2

3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

X 的数学期望为 EX ? 3 ? 0.6 ? 1.8 ,方差 DX ? 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.72.
2.为了了解甲、 乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、 乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x, y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产品的测量 数据: 1 2 3 4 5 编号 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 (1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2) 当产品中的微量元素 x, y 满足 x ? 175 且 y ? 75 时,该产品为优等品.用上述样本数据估 计乙厂生产的优等品的数量; (3) 从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列 与数学期望.

98 x ? 得 x ? 35. 故乙厂生产的产品数量为 35 件. 14 5 2 (2) 易见只有编号为 2,5 的产品为优等品,所以乙生产的产品中的优等品率为 ,故乙生产有 5 2 大约 35 ? ? 14 (件)优等品. 5 2 1 C3 C1 C2 3 3 1 3 ? C2 2 (3) ? 的取值为 0,1,2. P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? 2 ? , 2 C5 10 C5 5 C5 10
解析: (1)设乙厂生产的产品数量为 x ,由 所以 ? 的分布列为 0 X 1 2

P

3 10

3 5

1 10 3 1 4 ? 2? ? . 5 10 5 1 和 p. 10 49 , 求 p 的值. 50

故 ? 的数学期望 E? ? 1?

3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和系统 B 在任意 时刻发生故障的概率分别为

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 及数学期望 E? .

(2) 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分布列 解析: (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C ,那么 1 ? P(C ) ? 1 ? 解得 p ?

1 49 p? , 10 50

随机变量 ? 的分布列为 0 1 ?

1 9 9 1 k . (2)由题意, ? ~ B (3, ) 故 P(? ? k ) ? C3 ? ( ) k ? ( )3 ? k , k ? 0,1, 2,3. 5 10 10 10
2 3

P

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000 9 27 ? . 10 10

故随机变量 ? 的数学期望 E? ? 3 ?


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