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数学必修二第一章练习题及答案


(数学 2 必修)第一章 空间几何体
[基础训练 A 组] 一、选择题
1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对

主视图

左视图

俯视图

2.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为(



A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4,5 ,且它的 8 个顶点都在 同一球面上,则这个球的表面积是( ) A. 25? B. 50? C. 125? D.都不对 4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( ) A. 3 :1 B. 3 : 2 C. 2 : 3 D. 3 : 3

5.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 120 0 ,若使之绕直线 BC 旋转一周, 则所形成的几何体的体积是( )

A.

9 ? 2

B.

7 ? 2

C.

5 ? 2

D.

3 ? 2

6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5 ,它的对角线的长 分别是 9 和 15 ,则这个棱柱的侧面积是( ) A. 130 B. 140 C. 150 D. 160

二、填空题
1.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 ________个顶点,

2.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________。 3.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O 是上底面 ABCD 中心,若正方体的棱长为 a , 则三棱锥 O ? AB1D1 的体积为_____________。 4.如图, E , F 分别为正方体的面 ADD1 A1 、面 BCC1 B1 的中心,则四边形

BFD1 E 在该正方体的面上的射影可能是____________。
5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个 长方体的对角线长是___________;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别 为 3,5,15 ,则它的体积为___________.

三、解答题
1.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的仓库的底 面直径为 12 M ,高 4 M ,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种 方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 M (高不变) ;二是高度增加 4 M (底面直径 不变)。 (1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3) 哪个方案更经济些?

2.将圆心角为 120 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积

0

.

(数学 2 必修)第一章 空间几何体
[综合训练 B 组]
一、选择题
1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 , 腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )
0

A. 2 ? C.

2

B.

1? 2 2

2? 2 2

D. 1 ? 2 )

2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为(

A.

3 ? R3 24

B.

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24

D.

5 ? R3 8

3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm , 则球的表面积是( ) A. 8? cm
2 2

B. 12? cm

2 2

C. 16? cm D. 20? cm 4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 , 圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底面的半径为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 5.棱台上、下底面面积之比为 1 : 9 ,则棱台的中截面分棱台成 两部分的体积之比是( ) A. 1 : 7 B. 2 : 7 C. 7 :19 D. 5 :16 6.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是 边长为 3 的正方形, EF // AB , EF ?

3 ,且 EF 与平面 2


E

F C B

ABCD 的距离为 2 ,则该多面体的体积为(

9 A. 2
C. 6

D
B. 5 D.

15 2

A

二、填空题
1.圆台的较小底面半径为 1 ,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 , 则圆台的侧面积为____________。 Rt 2. ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成 的几何体的体积为____________。 3.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 ___ S正方体 4.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3, 4,5 ,从长方体的一条对角线的一个 端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。 5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________。
0

图(1)

图(2)

6.若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的 直径为_______________。 三、解答题 1. 有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190 L ,假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm ,求它的深度为多少 cm ?

2.已知圆台的上下底面半径分别是 2,5 ,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长.

.

(数学 2 必修)第一章 空间几何体
[提高训练 C 组] 一、选择题
1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

A B C D 2.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为( ) A. 1: 2 : 3 B. 1: 3 : 5 C. 1: 2 : 4 D. 1: 3 : 9 3.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形, 则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( )

2 3 4 C. 5
A.

7 6 5 D. 6
B.

4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积 分别为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 ? ( ) A. 1 : 3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1 5.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8 : 27 B. 2 : 3 C. 4 : 9 D. 2 : 9 6 .有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,则该几何体的表面积及体积为:
5

6

A. 24? cm , 12? cm
2
2

2
2

B. 15? cm , 12? cm
2

2

C. 24? cm , 36? cm

D. 以上都不正确

二、填空题
1. 若圆锥的表面积是 15? ,侧面展开图的圆心角是 60 ,则圆锥的体积是_______。 2.一个半球的全面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 3.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
0

.

4.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米 则此球的半径为_________厘米. 5.已知棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为___________。

三、解答题 1. (如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱, 求圆柱的表面积

2.如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90 , ?ADC ? 135 , AB ? 5 , CD ? 2 2 , AD ? 2 ,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.
0 0

数学 2(必修)第一章

空间几何体 [基础训练 A 组]
3 ? 3 4

一、选择题 1. A 从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断是棱台 2.A 3.B 因为四个面是全等的正三角形,则 S表面积 ? 4S底面积 ? 4 ? 长方体的对角线是球的直径,

l ? 32 ? 42 ? 52 ? 5 2, 2 R ? 5 2, R ?
4.D

正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a

5 2 , S ? 4? R 2 ? 50? 2

5.D 6.D

a 3a , 3 a? r 2 r , :r ? : 1 3 外接球,r 外接球 ? 2 2 内切球 外接球 1 3 V ? V大圆锥 ? V小圆锥 ? ? r 2 (1 ? 1.5 ? 1) ? ? 3 2 2 设底面边长是 a ,底面的两条对角线分别为 l1 , l2 ,而 l12 ? 152 ? 52 , l2 ? 92 ? 52 , a ? 2r内切球,r内切球 ?
2 而 l12 ? l2 ? 4a2 , 即15 ? 5 ? 9 ? 5 ? 4a , a ? 8, S侧面积 ? ch ? 4 ? 8 ? 5 ? 160

2

2

2

2

2

二、填空题 1. 5, 4,3 符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台 2. 1: 2 2 : 3 3 3.

r1 : r2 : r3? 1 :

3 2: 3 r ,1 3 r2:

3

r3 ? :

3

3 1 : (3 2 ) : ? ( 3)

1: 2 2 : 3 3

1 3 a 6

画出正方体,平面 AB1D1 与对角线 AC 1 的交点是对角线的三等分点,

3 1 1 3 3 1 3 a,V ? Sh ? ? ? 2a 2 ? ? a 3 3 3 4 3 6 或:三棱锥 O ? AB1D1 也可以看成三棱锥 A ? OB1D1 ,显然它的高为 AO ,等腰三 角形 OB1D1 为底面。
三棱锥 O ? AB1D1 的高 h ? 4. 平行四边形或线段 5. 6 设 ab ? 2, bc ? 3, ac ? 6, 则 abc ? 6, c ? 3, a ? 2, c ? 1

15 三、解答题 1.解: (1)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 M ,则仓库的体积

l ? 3 ? 2 ?1 ? 6 设 ab ? 3, bc ? 5, ac ? 15 则 (abc)2 ? 225,V ? abc ? 15

1 1 256 ? 16 ? V1 ? Sh ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? (M 3 ) 3 3 2 3 ? ?
如果按方案二,仓库的高变成 8M ,则仓库的体积

2

1 1 288 ? 12 ? V2 ? Sh ? ? ? ? ? ? ? 8 ? ? (M 3 ) 3 3 3 ?2?
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 M ,半径为 8M . 棱锥的母线长为 l ? 8 ? 4 ? 4 5
2 2

2

则仓库的表面积 S1 ? ? ? 8? 4 5 ? 32 5? (M )
2

如果按方案二,仓库的高变成 8M . 棱锥的母线长为 l ? 8 ? 6 ? 10 则仓库的表面积
2 2

S2 ? ? ? 6 ?10 ? 60? (M 2 )

(3)?V2 ? V1 ,

S2 ? S1

?方案二比方案一更加经济

2. 解:设扇形的半径和圆锥的母线都为 l ,圆锥的半径为 r ,则

120 2 2? ? l ? 3? , l ? 3 ; ? 3 ? 2? r , r ? 1 ; 360 3

S表面积 ? S侧面 ? S底面 ? ? rl ? ? r 2 ? 4? ,
1 1 2 2 V ? Sh ? ? ? ?12 ? 2 2 ? ? 3 3 3

第一章 空间几何体 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D

1 (1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 2 R 3R 1 3 2? r ? ? R, r ? , h ? ,V ? ? r 2 h ? ? R3 2 2 3 24 正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 3 ? 2R ,
恢复后的原图形为一直角梯形 S ?

R ? 3, S ? 4? R2 ? 12? S侧面积 ? ? (r ? 3r )l ? 84? , r ? 7 V 1? 2 ? 4 7 中截面的面积为 4 个单位, 1 ? ? V2 4 ? 6 ? 9 19 过点 E , F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱, 1 3 1 3 15 V ? 2 ? ? ? 3? 2 ? ? 3? 2 ? ? 3 4 2 2 2

二、填空题 1. 6? 画出圆台,则 r 1 ? 1, r 2 ? 2, l ? 2, S圆台侧面 ? ? (r 1 ?r 2 )l ? 6? 2. 16? 旋转一周所成的几何体是以 BC 为半径,以 AB 为高的圆锥,

3. ?

1 1 V ? ? r 2 h ? ? ? 42 ? 3 ? 16? 3 3 4 3 3V 3 设V ? ? R ? a , a ? 3 V , R ? 3 , 3 4?

S正 ? 6a 2 ? 6 3 V 2 ? 3 216V 2 , S球 ? 4? R 2 ? 3 36?V 2 ? 3 216V 2
4. 74 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案

42 ? (3 ? 5) 2 ? 80, 或 52 ? (3 ? 4) 2 ? 74
5.(1) 4 (2)圆锥 6.

2 3? a 3?

设圆锥的底面的半径为 r ,圆锥的母线为 l ,则由 ? l ? 2? r 得 l ? 2r ,
2
2

而 S圆锥表 ? ? r ? ? r ? 2r ? a ,即 3? r ? a, r ? 三、解答题 1. 解: V ?

a 3? a 2 3? a ? ,即直径为 3? 3? 3?

1 3V ( S ? SS ' ? S ' )h, h ? 3 S ? SS ' ? S ' 3 ? 190000 h? ? 75 3600 ? 2400 ? 1600

2. 解: ? (2 ? 5)l ? ? (22 ? 52 ), l ?

29 7

空间几何体 [提高训练 C 组]
一、选择题 1.A 几何体是圆台上加了个圆锥,分别由直角梯形和直角三角形旋转而得 2.B 从此圆锥可以看出三个圆锥, r 1 :r 2 :r 3 ? 1: 2 : 3, l1 : l2 : l3 ? 1: 2 : 3,

3.D 4.D 5.C 6.A

S1 : S2 : S3 ? 1: 4 : 9, S1 : (S2 ? S1 ) : (S3 ? S2 ) ? 1: 3: 5 1 1 1 1 1 5 V正方体 ? 8V三棱锥 ? 1 ? 8 ? ? ? ? ? ? 3 2 2 2 2 6 1 V1 : V2 ? ( Sh) : ( Sh) ? 3 :1 3 V1 : V2 ? 8: 27, r1 : r2 ? 2 : 3, S1 : S2 ? 4 : 9
此几何体是个圆锥, r ? 3, l ? 5, h ? 4, S表面 ? ? ? 3 ? ? ? 3? 5 ? 24?
2

1 V ? ? ? 32 ? 4 ? 12? 3
二、填空题 1.

25 3 ? 7

设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r , 母 线 为 l , 则 2? r ? ? l , 得 l ? 6r ,

1 3

15 15 ,圆锥的高 h ? 35 ? 7 7 1 1 15 15 25 3 V ? ? r 2 h ? ? ? ? 35 ? ? ? 3 3 7 7 7 Q 10 Q S全 ? 2? R2 ? ? R2 ?3 ? R2 ? Q , R? 2. 9 3? 2 2 2 10 10 V ? ? R 3 ? ? R 2 ? h, h ? R, S ? 2? R 2 ? 2? R ? R ? ? R 2 ? Q 3 3 3 3 9 3. 8 r2 ? 2 r1 , V2? 8 V1 4 4. 12 V ? Sh ? ? r 2 h ? ? R 3 , R ? 3 64 ? 27 ? 12 3 1 1 5. 28 V ? ( S ? SS ' ? S ' )h ? ? (4 ? 4 ?16 ? 16) ? 3 ? 28 3 3

S ? ? r 2 ? ? r ? 6r ? 7? r 2 ? 15? ,得 r ?

三、解答题 1.解:圆锥的高 h ? 42 ? 22 ? 2 3 ,圆柱的底面半径 r ? 1 ,

S表面 ? 2S底面 ? S侧面 ? 2? ? ? ? 3 ? (2 ? 3)?    2. 解: S表面 ? S圆台底面 ? S圆台侧面 ? S圆锥侧面
? ? ? 52 ? ? ? (2 ? 5) ? 3 2 ? ? ? 2 ? 2 2

? 25( 2 ? 1)?
1 1 ? ? (r12 ? r1r2 ? r2 2 )h ? ? r 2 h 3 3 V ? V圆台 ?V圆锥 148 ? ? 3


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