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2013年卓越自主招生数学试题


2013 年卓越自主招生数学真题试卷(部分)
从实际考查的内容上看 , 卓越联盟数学试卷难度和风格与前两年一致 ; 从考查的内容上 看,“卓越”联盟一贯讲究对高中数学知识的全面覆盖 ,但不超出高中课本,偶尔结合一些高 级观点,对竞赛的解题思想和技巧基本不要求。 “函数”,“三角”,“数列”“不等式”“立体几 何”“解析几何”“平面几何”“向量”“复数”“概率统计”“导数与积分”都是重点考查内容。 试卷一直采用“小题+大题”的形式。2011 年是,“10 个选择+5 个大题”;2012 年 是“6 个填空+6 个大题”;2013 年则是“4 选择+4 填空+4 大题”。虽然在具体的题目设 置上每年都变化,但也仅仅是问法不同。

最后一题,网上出现了两个版本。

版本 1:

版本 2:

“卓越”的试卷非常符合考试院的作风,比较贴近大约十年前的全国卷。 此题即有明面显 的改造痕迹,与 2002 年全国理科试卷最后一道试题相似:

2002 (2002 年全国卷理科 22 22)设数列 {a n } 满足: a n +1

= a n ? na n + 1 , n
2

= 1,2,3, ?

(I)当 a1 = 2 时,求 a 2 , a3 , a 4 并由此猜测 a n 的一个通项公式; (II)当 a1 ≥ 3 时,证明对所的 n ≥ 1 ,有 (i)

an ≥ n + 2

1 1 1 1 1 + + +?+ ≤ (ii) 1 + a1 1 + a 2 1 + a3 1 + an 2
解(I)由 a1 = 2 ,得 a 2 由 a 2 = 3 ,得 a 3 由 a 3 = 4 ,得 a 4
2

= a1 ? a1 + 1 = 3

2

= a 2 ? 2a 2 + 1 = 4
= a3 ? 3a3 + 1 = 5
2

由此猜想 a n 的一个通项公式: (II) (i)用数学归纳法证明: ①当 n = 1 时, a1

an = n + 1 ( n ≥ 1)

≥ 3 = 1 + 2 ,不等式成立.

②假设当 n = k 时不等式成立,即

a k ≥ k + 2 ,那么

a k +1 = a k (a k ? k ) + 1 ≥ (k + 2)(k + 2 ? k ) + 1 = 2k + 5 ≥ k + 3 .
也就是说,当 n

= k + 1 时, a k +1 ≥ (k + 1) + 2

据①和②,对于所有 n (ii)由 a n +1

n ≥ ≥ 1 ,有 an+

2.

= a n (a n ? n) + 1 及(i) k ≥ 2 ,有 ,对

ak =ak?1(ak?1 ?k +1 +1 )
≥ a k ?1 (k ? 1 + 2 ? k + 1) + 1 = 2a k ?1 + 1
……

ak ≥ 2k?1a1 +2k?2 +?+2+1= 2k?1(a1 +1) ?1
于是

1 1 1 ≤ ? k ?1 1 + a k 1 + a1 2



k≥2

1 1 1 n 1 1 n 1 2 2 1 ≤ + = ≤ ≤ = ∑ 1 + a 1 + a 1 + a ∑ 2 k ?1 1 + a ∑ 2 k ?1 1 + a 1 + 3 2 k =1 k 1 1 k =2 1 k =1 1

n

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