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人大附中2011-2012学年度第二学期高一年级数学期末练习

人大附中 2011-2012 学年度第二学期期末高一年级 数学练习 2012 年 7 月 3 日 第Ⅰ卷
考 生 须 知 1. 第Ⅰ卷为试题部分,共 6 页.答题前要认真审题,看清题目要求,按要求认真 作答. 2. 第Ⅰ卷选择题的答案须按规定要求在“机读答题卡”上作答,题号要对应,填 涂要规范. 填空题、解答题的答案须写在答题纸上相应位置. 3. 考试结束后,考生应将“机读答题卡”与答题纸交监考老师收回.

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. )
在每道小题给出的四个备选答案中, 只有一个是符合题目要求的, 请把所选答案前的字 母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第 1—10 题的相应位置上. 1.为调查本市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间 X (单位:分钟) ,按锻炼时间分下 列四种情况统计:①0~10 分钟;②11~20 分钟;③21~30 分钟;④30 分钟以上.有 10000 名中学生参加了此项活动,下左图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是 6200, 则平均每天参加体育锻炼时间在 0~20 分钟内的学生的频率是 ( ) A.3800
开始

B.6200

C.0.38

D.0.62
开始

S ?0

S=1,k=1

T ?1
输 入

k>10 否 S<1? 是 否



X
X ? 20


S=2S

S= 1 S 8


T ? T ?1

S ? S ?1
k=k+1

输出 S

T ? 10000


输出 S

结束



2.某程序框图如上右图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为( ) 1 1 1 A. 1 B. C. D. 2 4 8 3. 2016 名学生中选取 53 名组成参观团, 从 若采用以下方法选取: 先用简单随机抽样从 2016 名学生中剔除 4 名, 再从 2012 名学生中用系统抽样的方法抽取 53 名, 则其中学生甲被剔除
1

结束

和乙被选取的概率分别是( A.



1

503 2012

,

53

B.

3

504 2012

,

53

C.

1

504 2016

,

53

D.

1

503 2016

,

53

4. 一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.

1 8

B.

1 16

C.

1 27

D.

3 8


5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则(
频数 3 2 1 0 4 5 6 (甲) 7 8 9 环数
3 2 1 0 4 5 6 7 8 9 环数 频数

(乙)

A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

ì ? ? ? x - y 1, ? ? 6.若整数 x, y 满足 ? x + y 1, 则 2x + y 的最大值是( ) í ? ? ? ? y? 3, ? ? 2 ?
A. 1 B. 5 C. 2 D. 3

7.在 ?ABC 中,若 sin A ? 2sin B cos C ? 0 ,则其形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 8.已知 a, b ? R ,且 a ? b , a ? b ? 2 ,则( )

A. 1 ? ab ?

a2 ? b2 2 ?1

B. ab ? 1 ?

a2 ? b2 2 ? ab ? 1
*

C. ab ?

a2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

9.已知 ? a n ? 是等比数列, a2 ? 2 , a5 ? 围是( ) B. [8,16) C. ?8,

1 4

,则 a1a2 ? a2 a ? ? ? an an ? ( n ? N ) 的取值范 3 1

A. [12,16)

? 32 ? ? ? 3 ?

D. ?

? 16 32 ? , ? ?3 3 ?

? 10. 已 知 等 差 数 列 {an } 的 通 项 公 式 an ? 2 n ? 1 ? n ? 1, 2, 3, ? , 记 T1 ? a1 ,
2

n为奇数, ?Tn ?1 ? a n ?1 , ? 2 Tn ? ? ?Tn ?1 ? a n ? a n ?1 , n为偶数 ? 2 2
( ) A. 2 n ? 1



n ? 2, 3,?









T2 n ?

B.

11 2
2

n?6

C. ?

?5,
2

n =1,

? 4 n ? 3n ? 6, n ? 1

D. 3n ? 2 n

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将填空题的答案写 在答题纸上相应位置. )
11.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调查 显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系, 并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:
? y ? 0.254 x ? 0.321 .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增

加____________万元. 12. 不等式

4 x?2

? 1 的解集是_______________________.

13.从 2,4 中任选一个数字,从 1,3,5 中任选一个数字组成一个二位数,组成的二位数为奇 数的概率为 . 14. 在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 6 ,则 cos A . :cos B :cos C = 15.在 ?ABC 中,若 a ? 2 , b ? c ? 7 , sin B ?
2

15 4

,则 b ?



16.设关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 的解集为 M ,如果 M ? [1, 4] ,则实数 a 的取 值范围为 .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 36 分. 请将解答题的答案写在答题纸上相应 ................ 位置. .. )
17. (本题 10 分) 某工厂有工人 1000 名, 其中 250 名工人参加过短期培训 (称为 A 类工人) , 另外 750 名工人参加过长期培训(称为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二 层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零 件数). (1)A 类工人中和 B 类工人中各抽查多少工人? (2)从 A 类工人中抽查的结果和从 B 类工人中抽查的结果分别如下表 1 和表 2 表 1:
生产能力分组

?100,110 ?

?110,120 ?

?120,130 ?

?130,140 ?

?140,150 ?

3

人数 表 2: 生产能力分组 人数

4

8

x

5

3

?110,120 ?
6

?120,130 ?
y

?130,140 ?
36

?140,150 ?
18

(ⅰ)先确定 x, y ,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A 类工人中 个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直 方图直接回答结论)

(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人生产能力的平均数 (同一组中的数据用该区间的中点值作代表) .

18. (本题 10 分)已知:关于 x, y 的方程组 ?

? x ? by ? 3 ? x ? ay ? 2

(1)把一颗骰子投掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a ,第二次出现的 点数为 b ,求方程组只有正数解的概率; (2)若 a 是在区间 (0, 6] 上随机取的一个数, b 是在区间 (0, 6] 上随机取的一个数,求方程 组只有正数解的概率. 19. (本题 10 分) ?ABC 中, A 、B 、C 所对边分别为 a 、b 、c , 在 角 已知 c ? 2 ,C ?

?
3



(1)若 b ?

2 6 3

,求边 a ;

(2)若 c ? b cos A ? a cos B ? 4a cos A ,求 ?ABC 的面积; (3)设 t ? a ? b ,求 t 的取值范围.

4

20.本题 6 分) ( 对于各项均为正数且各有 m 项的数列 ?an ? ,

按如下方法定义数列 ?t n ? : ?bn ? ,

?t n ?1 ? an ? bn t 0 ? 0 ,t n ? ? ?bn

t n ?1 ? a n t n ?1 ? a n

, ? n ? 1, 2, ? , m ? , 并规定数列 ? a n ? 到 ?bn ? 的 “并和”

为 S ab ? a1 ? a2 ? ? ? am ? t m . (Ⅰ)若 m=3,数列 ? a n ? 为 3,7,2;数列 ?bn ? 为 5,4,6,试求出 t1 、 t2 、 t3 的值以 及数列 ? a n ? 到 ?bn ? 的并和 S ab ; (Ⅱ)若 m=4,数列 ? a n ? 为 3,2,3,4;数列 ?bn ? 为 6,1,x,y,且 S ab ? 17 ,求证:

y ? 5;
(Ⅲ)若 m=6,下表给出了数列 ?an ? ,

?bn ? :
3 1 3 1 1 6 5

an

7

9

bn

4

1 2

1

8

1 0

如果表格中各列 (整列) 的顺序可以任意排列, 每种排列都有相应的并和 S ab , 试求 S ab 的最小值,并说明理由.

5

人大附中 2011-2012 学年度第二学期高一年级 数学期末练习答案 2012 年 7 月 3 日
制卷人:杨良庆 一.选择题(每题 4 分,共 40 分) 1.D 审卷人:梁丽平 成绩: 10.D

2.C 3.C 4.C 5.C 6.B 7.B 8. B 9.C

二.填空题(每题 4 分,共 24 分) 11.0.254 12. ( ?2, 2) 13.

1 2

14.12:9:2 15.4 或

46 13

16. ( ?1,

18 7

)

说明:15 题正确答出一种情况给 2 分,全对给 4 分. 三.解答题(17 至 19 每题 10 分,20 题 6 分,共 36 分) 17. 解: (Ⅰ) A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。---------2 分 (Ⅱ)(ⅰ)由 4 ? 8 ? x ? 5 ? 3 ? 25 ,得 x ? 5 ,--------------------------3 分

6 ? y ? 36 ? 18 ? 75 ,得 y ? 15 。-------------------------4 分
频率分布直方图如下

-------------------6 分 从直方图可以判断: B 类工人中个体间的差异程度更小。 -------------------7 分 (ii) x A ?

? 145 ? 123 ,-------8 分 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB ? ?1 1 5 ? ? 1 2 5? ?135 ? ? 1 4 5 ,--------------------9 分 ? 133.8 75 75 75 75 25 75 x? ?1 2 3 ? ? 1 3 3 . 8 1 -----------------------------------------------10 分 ? 31.1 100 100

4

? 105 ?

8

? 115 ?

5

? 125 ?

5

? 135 ?

3

A 类工人生产能力的平均数, 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的 B 估计值分别为 123,133.8 和 131.1. 18.解: (1) a , b 取值的所有结果构成的基本事件空间为

? ? ?( a , b ) |1 ? a ? 6,1 ? b ? 6, a ? N , b ? N ? ,

? 包含了 6 ? 6 ? 36 个基本事件。------------------------------------------------------------------2 分 设“方程组只有正数解”为事件 A ,

6

? ? ?b ? a ? ? ? 则 A ? ?(a, b) | ? 3 , (a, b) ? ? ? , ? ?b ? 2 a ? ? ? ?
事件 A 包含了 10 个基本事件。--------------------------------------------------------------------4 分 所以 P ( A) ?

10 36

?

5 18

。---------------------------------------------------------------------------5 分

(2) a , b 取值的所有结果构成的基本事件空间为

? ? ?( a , b ) | 0 ? a ? 6, 0 ? b ? 6? 。---------------------------------------6 分
设“方程组只有正数解”为事件 B ,

? ? ?b ? a ? ? ? 则 B ? ?(a, b) | ? 3 , ( a , b ) ? ? ? 。----------------------------------8 分 ? ?b ? 2 a ? ? ? ?

1 ? 4? 6 1 所以 P ( B ) ? 2 ? 。------------------------------------------------10 分。 6?6 3
7 6

5

4

3

2

1

-2

2

4

6

8

10

12

19.解(1)法一:在 ?ABC 中,由余弦定理得

a2 ?

24 9

? 2a

2 6 3

?

1 2

? 4 ,--------------------------------------------------------------1 分

解得 a ?

6 3 6 3

? 2 或a ?

6 3

? 2 (舍)

所以 a ?

? 2 ----------------------------------------------------------------------------2 分

法二:过 A 作 AD ? BC 于 D , 在直角 ?ACD 中,因为 C ? 在直角 ?ABD 中, AD ? 所以 a ?

?
3

,b ?

2 6 3

,所以 CD ?

6 3

, AD ?

2 ,--------------1 分

2 , c ? 2 ,所以 BD ? 2 ,

6 3

? 2 。----------------------------------------------------------------------------------2 分
7

(2)因为 c ? b cos A ? a cos B ? 4a cos A ,由正弦定理得

sin C ? sin B cos A ? sin A cos B ? 4sin A cos A
由题得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4 sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A 。------------------------------------------------------------------------3 分 当 cos A ? 0 时, A ?

?
2

,B ?

?
6

,a ?

4 3 3

,b ?

2 3 3

;-----------------------------------4 分

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,再由余弦定理得

a 2 ? (2 a ) 2 ? 2 a (2 a ) cos

?
3

? 4 ,解得 a ?

2 3 3

,b ?

4 3 3

。---------------------------------5 分

所以 S ?ABC ?

1 2

ab sin C ?

2 3 3

。---------------------------------------------------------------------6 分

(3)在 ?ABC 中,由正弦定理得

a sin A

?

b sin B

?

2 sin
4 3

?
3



t ? a?b ?
所以

(sin A ? sin B ) ? )

4 3

(sin A ? sin( A ?

?
3

))
---------------------8 分

? 4 sin( A ?
因为 0 ? A ? 所以

?
6

2? 3

,所以

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

------------------------------------------------------9 分

1 2

? sin( A ?

?
6

) ? 1 ,所以 2 ? t ? 4 。----------------------------------------------------10 分

20.解: (Ⅰ)由数列 ?t n ? 的定义可知: t1 ? b1 ? 5 ,

t 2 ? b2 ? 4 ,------------------------------------------------1 分 t3 ? t 2 ? a3 ? b3 ? 8 , S ab ? a1 ? a2 ? a3 ? t3 ? 20 .----------------------------2 分
(Ⅱ)证法一: 由 S ab ? 17 得 t 4 ? S ab ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? 5 . ??????5 分 ????6 分

而 t1 ? b1 ? 6 , t 2 ? t1 ? a2 ? b2 ? 5 , t3 ? t 2 ? a3 ? b3 ? x ? 2 , 当 t3 ? a4 ,即 x ? 2 时,有 t 4 ? b4 ? y ,则 y ? 5 ;

当 t3 ? a4 ,即 x ? 2 时,有 t 4 ? t3 ? a4 ? b4 ? x ? 2 ? y ,则 y ? 7 ? x ? 7 ? 2 ? 5 ,
8

综上所述,必有 y ? 5 成立.--------------------------------------------4 分 证法二: 当 t n ?1 ? an 即 t n ?1 ? an ? bn ? bn 时,有 t n ? bn ; 当 t n ?1 ? an 即 t n ?1 ? an ? bn ? bn 时,有 t n ? t n ?1 ? an ? bn , 可见 t n ? max ?bn , t n ?1 ? an ? bn ? . 由 S ab ? 17 得 t 4 ? S ab ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? 5 , 故 y ? max ? y , t3 ? 4 ? y? ? t 4 ? 5 . ------------------------------4 分 (Ⅲ) S ab 的最小值为 51,当表格如下排列(记作排列※)时可取到:

an

5

6

9

1 3 1 1

7

3

bn
0

1

8

1 2

4

1

证法一: 当 1 ? n ? 6 时 , 由 ( Ⅱ ) 知 t n ? m a x? bn ,t n?1 ? an ? b? , 则 tn ? tn?1 ? an ? bn, 即 n

tn ? tn?1 ? bn ? an.于是 t6 ? t5 ? b6 ? a6 , t5 ? t4 ? b5 ? a5 ,
t 4 ? t3 ? b4 ? a4 ,

t3 ? t2 ? b3 ? a3 , t2 ? t1 ? b2 ? a2 .
将上述不等式相加得: t6 ? t1 ? ? b2 ? b3 ? ? ? b6 ? ? ? a2 ? a3 ? ? ? a6 ? .???11 分 ∵ ∴ ∴

S ab ? ? a1 ? a 2 ? ? ? a S ab ? ? a1 ? a 2 ? ? ? a

6

??t

.6

6

? ? t ? ?b 1

? b ? 3 ? b ? ?6 ? a ? a ? ? ? a ? 2 2 3
1

?.

6

S ab ? a1 ? b 1? ? b 2? b ? ? ? b 3
9

? 6? 46 ? a .



将前 4 个不等式相加得 t6 ? t 2 ? ? b3 ? b4 ? b5 ? b6 ? ? ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? . 类似地,可整理得 S ab ? t 2 ? ? 46 ? b1 ? b2 ? ? a1 ? a2 . 若 a1 ? 3 ,可见 a1 ? 5 ,由①得 S ab ? 46 ? a1 ? 51 ; 若 a1 ? 3 ,则 b1 ? 1 ,那么 t1 ? b1 ? 1 ? a2 ,故 t 2 ? b2 . 此时由②得 S ab ? t 2 ? ? 46 ? b1 ? b2 ? ? a1 ? a2 ? 46 ? b1 ? a1 ? a2 ? 48 ? a2 ? 53 . 综上所述, S ab ? 51 总是成立的.------------------------------------------------6 分 证法二: 对于由表格排列得到的数列 ?an ? , ②

?bn ? ,若存在 min ?ai , bi ?1? ? min ?ai ?1 , bi ? (其中 ? Bn ? .

,则交换表格的第 i 列与第 i?1 列,得到新数列 ? An ? , 2?i ?6) 则对原数列,有

ti ? max ?bi , ti ?1 ? ai ? bi ? ? max ?bi , bi ?1 ? ai ? bi , ti ? 2 ? ai ?1 ? bi ?1 ? ai ? bi ? .
而对新数列,有

Ti ? max ? Bi , Bi ?1 ? Ai ? Bi , Ti ? 2 ? Ai ?1 ? Bi ?1 ? Ai ? Bi ? ? m a x bi ?1 bi ? a?1 ? b?1 , t? 2 ? ai ? bi ? a1i ? ? ?.1i , b ? i i i ?
注意到 max ?bi , bi ?1 ? ai ? bi ? ? bi ?1 ? bi ? max ??bi ?1 , ? ai ?

? bi ?1 ? bi ? min ?bi ?1 , ai ? ? bi ?1 ? bi ? min ?bi , ai ?1? ? bi ?1 ? bi ? max ??bi , ? ai ?1? ? max ?bi ?1 , bi ? ai ?1 ? bi ?1? .
这就说明 ti ? Ti , 那么 ti ?1 ? max ?bi ?1 , ti ? ai ?1 ? bi ?1? ? max ?bi ?1 , Ti ? ai ?1 ? bi ?1? ? Ti ?1 . 依此类推可得 t6 ? T6 ,则 S ab ? S AB . 可见,交换第 i 列与第 i?1 列后,新数列的并和不会增加. 对于任何一种由表格排列得到的数列 ?an ? , ????12 分

?bn ? ,可以通过上述有限次调整,得到排

列※.这是因为考查表格中最小的数,可以经过有限次调整,将它调整到※中的位置,固定 该列后再考察余下数中最小的那一个,依此类推即可. 在调整的过程中, 数列 ? a n ? 到 ?bn ? 的并和 S ab 没有增加, 因此调整前的 S ab 一定不小于

10

51.由 ?an ? ,

?bn ? 初始状态的任意性,可知 S ab 的最小值就是 51.------------------6 分

11