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人教课标版高中数学必修1第一章 集合与函数概念集合习题4


第 4 课时 交集、并集

(时间:45 分钟,满分:90 分)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知集合 M={-1,1},则满足 M∪N={-1,1,2}的集合 N 的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 解析:依题意,得满足 M∪N={-1,1,2}的集合 N 有{2},{-1,2},{1,2},{-1,1,2}, 共 4 个. 2.已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5 或 x>5},则 M∪N=( A.{x|x<-5 或 x>-3} B.{x|-5<x<5} C.{x|-3<x<5} D.{x|x<-3 或 x>5} 答案:A 解析:在数轴上画出集合 M,N 表示的区间,可知 M∪N={x|x<-5 或 x>-3}.故选 A. 3. 集合 M={x|-2≤x<1}, N={x|x≤a}, 若? ? (M∩N), 则实数 a 的取值范围为( A.a<3 B.a≥-2 ) ) )

C.a≥-3 D.-2≤a<3 答案:B 解析:∵? ? (M∩N),∴M∩N 非空,故 a≥-2.故选 B.
?1? 2 2 4.若方程 2x +x+p=0 的解集为 P,方程 2x +qx+2=0 的解集为 Q,且 P∩Q=? ?, ?2?

则(

) A.p=-1,q=-5 B.p=-1,q=5 C.p=1,q=-5 答案:A D.p=1,q=5

1 1 ? ?2+2+p=0 ?1? 1 1 解析:因为 P∩Q=? ?,则 ∈P 且 ∈Q,所以? 2 2 ?2? 1 1 ? ?2+2q+2=0 故选 A. 5.下列表示图形中阴影部分的是( )

,解得?

?p=-1 ? ? ?q=-5

.

A.(A∪C)∩(B∪C) B.(A∪B)∩(A∪C) C.(A∪B)∩(B∪C) D.(A∪B)∩C 答案:A 解析:解析:根据两集合的并、交的图形表示可知,图中阴影部分可用集合:(A∩B) ∪(A∩C)∪(B∩C)∪C 表示.或用集合(A∪C)∩(B∪C)表示;或用集合 C∪(A∩B)表示,结 合选项知,A 正确. 6.已知集合 A={(x,y)|y=2x+1},B={x|y=x-1},则 A∩B=( A.{-2} B.{(-2,-3)} C.? 答案:C 解析:A 为点集,B 为数集,所以 A∩B=?. 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.已知集合 A={x|x<-1 或 2≤x<3}, D.{-3} )

B={x|-2≤x<4},则 A∪B=________.
答案:{x|x<4} 解析:A={x|x<-1 或 2≤x<3},B={x|-2≤x<4},则 A∪B={x|x<4}. 8. 设集合 M={x|-1≤x<2}, N={x|x-k≤0}, 若 M∩N≠?, 则 k 的取值范围是________. 答案:{k|k≥-1} 解析:因为 M={x|-1≤x<2},N={x|x-k≤0}={x|x≤k},如图,当 k≥-1 时,M,

N 有公共部分,满足 M∩N≠?.

9.给出下列命题:

①设 A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},则 A∪B={三角形}; ②设 A={矩形},B={菱形},则 A∩B={正方形}; ③设 A={奇数},B={偶数},则 A∪B={自然数}; ④设 A={质数},B={偶数},则 A∩B={2}; ⑤若集合 A={y|y=x +1,x∈R},B={y|y=x+1,x∈R},则 A∩B={(0,1),(1,2)}. 其中正确命题的序号是________. 答案:②④ 解析:由于三角形分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,故①错;由于奇数分正奇 数和负奇数,而负奇数不在自然数中,故③错;在⑤中,A∩B 是数集,不是点集,故⑤错. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分) 10.(9 分)设集合 M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若 M∪N=M,求实 数 t 的取值范围. 解:由 M∪N=M,可得 N? M. 1 当 N=?时,2t+1≤2-t,解得 t≤ ,满足题意 3 2-t<2t+1 ? ? 当 N≠?时,由?2t+1≤5 ? ?2-t≥-2 1 ,解得 <t≤2. 3
2

综上可知,实数 t 的取值范围是{t|t≤2}. 11.(9 分)已知集合 A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a}. (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的值. 解:(1)因为 A∩B=?,所以可分两种情况讨论:B=?或 B≠?. 当 B=?时,a≥3a,解得 a≤0; 当 B≠?时,?
? ?a>0 ?a≥4或3a≤2 ?

2 ,解得 a≥4 或 0<a≤ . 3

? ? 2 综上,得 a 的取值范围是?a|a≤ 或a≥4?. 3 ? ?

(2)因为 A∩B={x|3<x<4},所以 a=3. 12.(9 分)已知 M={(x,y)|y=x +2x+5},N={(x,y)|y=ax+1}. (1)若 M∩N 有两个元素,求实数 a 的取值范围; (2)若 M∩N 至多有一个元素,求实数 a 的取值范围. 解:(1)因为 M∩N 有两个元素,所以方程组?
?y=x +2x+5 ? ? ?y=ax+1
2 2

有两组解,

即一元二次方程 x +(2-a)x+4=0 有两个不等的实数根, 所以 Δ =(2-a) -16=a -4a-12>0, 结合二次函数 y=a -4a-12 的图象,可得 a>6 或 a<-2. 所以实数 a 的取值范围为{a|a>6 或 a<-2}. (2)因为 M∩N 至多有一个元素,所以方程组?
2 2 2 2

2

? ?y=x +2x+5 ? ?y=ax+1

2

无解或只有一组解,

即一元二次方程 x +(2-a)x+4=0 无实数根或有两个相等的实数根, 所以 Δ =(2-a) -16=a -4a-12≤0, 结合二次函数 y=a -4a-12 的图象,可得-2≤a≤6. 所以实数 a 的取值范围为{a|-2≤a≤6}. 能力提升 13.(5 分)对于集合 A,B,我们把集合{x|x∈A,且 x?B}叫做集合 A 与 B 的差集,记作
2 2 2

A-B.若 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则 A-B=________.
答案:{1,2} 解:A-B={x|x∈A 且 x?B} ={1,2,3,4}-{3,4,5,6} = {1,2 }. 14.(13 分)已知集合 A={x|x -ax+a -19=0},集合 B={x|x -5x+6=0},是否存 在实数 a,使得集合 A,B 同时满足下列三个条件? ①A≠B;②A∪B=B;③? ? (A∩B). 若存在,求出这样的实数 a 的值;若不存在,说明理由. 解:由已知条件可得 B={2,3},因为 A∪B=B,且 A≠B,所以 A? B,又 A≠?,所以 A ={2}或 A={3}.当 A={2}时,将 2 代入 A 中方程,得 a -2a-15=0,所以 a=-3 或 a= 5,但此时集合 A 分别为{2,-5}和{2,3},与 A={2}矛盾. 所以 a≠-3,且 a≠5.当 A={3} 时,同上也能导出矛盾.综上所述,满足题设要求的实数 a 不存在.
2 2 2 2


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