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【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习练习:2.6 对数与对数函数]

2.7 对数与对数函数
一、填空题 1.函数 f(x)= ?x-1>0 解析 由? x- ? 答案 {x|x≥2} 2.用“<”“>”填空: log0.27________log0.29;log35________log65;(lgm)1.9________(lgm)2.1 (其中 m>10). 解析 对于 log0.27 与 log0.29 的大小比较, 可利用函数 y=log0.2x 在定义域内单调减; 对于 log35 与 log65 的大小比较,可先利用 y=log5x 单调增,再结合倒数法则;而 对于(lgm)1.9 与(lgm)2.1 的大小比较, 要对 lgm 与 1 的大小关系进行讨论, 因为 m>10, 所以填“<”. 答案 > > <

x-

的定义域是________. ?x>1, ,得? ?x-1≥1. 所以 x≥2.

3. 函数 f ( x) ? a x ? log a ( x ?1) 在 [0?1] 上的最大值与最小值之和为 a ,则 a 的值 为 . 解析 ∵ y ? a x 与 y=log a ( x ?1) 单调性相同且在 [0? 1]上的最值分别在两端点处取 得. 最值之和:

f(0) ? f (1) ? a0 ? log a1 ? a ? log a 2 ? a?
∴log a 2 ? 1 ? 0 .
1 . 2 1 答案 2 4. 已知直线 x=2 及 x=4 与函数 y=log2x 图象的交点分别为 A, B, 与函数 y=lgx

∴a ?

图象的交点分别为 C,D,则直线 AB 与 CD 的位置关系是________. 解析 由题意,得 A(2,1),B(4,2),C(2,lg 2),D(4,2lg 2),所以直线 AB 与

CD 都经过(0,0),从而 AB 与 CD 相交于原点.
答案 相交 且交点在坐标原点

5.已知函数对任意的 x∈R 有 f(x)=f(-x),且当 x>0 时,f(x)=ln(x+1),则

函数 f(x)的图象大致为________. 解析 由 f(x)=f(-x)得 f(x)是偶函数,得图象关于 y 轴对称.再由 x>0 时,

f(x)=ln(x+1)的图象沿 y 轴翻折可得.
答案

? 1 ? ? ?,x≥0, log ? ? ?x+1? 6.已知函数 f(x)=? ?1? ? -1,x<0. ? ?? ?2?
2

若 f(3-2a2)>f(a),则实数 a 的

x

取值范围是________. 解析 画图象可得 f(x)是(-∞,+∞)上连续的单调减函数,于是由 f(3-2a2)

3 >f(a),得 3-2a2<a,即 2a2+a-3>0,解得 a<- 或 a>1. 2 3? ? 答案 ?-∞,- ?∪(1,+∞) 2? ? 7. 已知函数 f(x)是(-∞, +∞)上的偶函数, 若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 008)+f(2 009)的值为________. 解析 f(-2 008)+f(2 009)=f(0)+f(1)=log21+log22=1. 答案 1
1 8.若函数 f(x)=log a (2x2 ? x)(a ? 0? a ? 1)? 在区间 (0? ) 内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单 2 调递增区间是 . 1 1 解析 定义域为 (0? ??) ? (??? ? )? 当 x ? (0? ) 时 ? 2 x2 ? x ? (0?1)? 因为 a ? 0? a ? 1? 设 2 2

u ? 2 x2 ? x ? 0? y ? log a u 在 (0,1) 上 大 于 0 恒 成 立 , 所 以 0<a<1. 所 以 函 数

f(x)=log

a

(2x2 ? x)(a ? 0? a ? 1)

的 单 调 递 增 区 间 是

u ? 2 x2 ? x

1 1 ) ? (0? ??) 〕的递减区间,即 (??? ? ) . 2 2 答案 (??? ? 1 ) 2

〔 x ? (??? ?

【点评】 本题采用了等价转化法(换元法),把问题转化为关于 x 的二次函数的单 调区间问题,但应注意定义域的限制. 9.已知表中的对数值有且只有一个是错误的.

x
lg x

3 2a-b

5

6 1+a-b-c

8 3(1-a-c)

9 2(2a-b)

a+c-1

试将错误的对数值加以改正________. 解析 由 2a-b=lg 3,得 lg 9=2lg 3=2(2a-b)从而 lg 3 和 lg 9 正确,假设 lg 5=a+c-1 错误,则由 ?1+a-b-c=lg 6=lg 2+lg 3, ? -a-c =lg 8=3lg 2, ? ?lg 2=1-a-c, 得? ?lg 3=2a-b, 所以 lg 5=1-lg

2=a+c.因此 lg 5=a+c-1 错误,正确结论是 lg 5=a+c. 答案 lg 5=a+c 10.若函数 f(x)=log(a2-3)(ax+4)在[-1,1]上是单调增函数,则实数 a 的取值范 围是________. 2 解析 首先由 a -3>0,可得 a> 3或 a<- 3. 当 a> 3时,函数 g(x)=ax+4 在[-1,1]上是增函数,则需 a2-3>1,故 a>2.又函 数 g(x)=ax+4>0 在[-1,1]上恒成立,故 g(-1)=4-a>0,即 2<a<4. 当 a<- 3时, 函数 g(x)=ax+4 在[-1,1]上是减函数, 则需 0<a2-3<1, 故-2<a< - 3. 又函数 g(x)=ax+4>0 在[-1,1]上恒成立,故 g(1)=a+4>0,即 a>-4.综上所 述,实数 a 的取值范围为(-2,- 3)∪(2,4). 答案 (-2,- 3)∪(2,4) ?x , 11.已知函数 f(x)=? x+ ?
3

x≤0,


x>0.

若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取

值范围是________. 解析 画图象可知 f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,于是由 f(2-x2)>

f(x),得 2-x2>x,即 x2+x-2<0,解得-2<x<1.
答案 (-2,1) 12.设 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小者,若函数 f(x)=min{3-x,log2x},

1 则满足 f(x)< 的集合为________. 2 1 解析 画出 y=f(x)的图象,且由 log2x= , 2 1 5 1 得 x= 2;由 3-x= ,得 x= .从而由 f(x)< , 2 2 2 5 得 0<x< 2或 x> . 2 ?5 ? 答案 (0, 2)∪? ,+∞? 2 ? ?

?|lg x|,0<x≤10, 13. 已知函数 f(x)=? 1 ?-2x+6,x>10.
=f(c),则 abc 的取值范围是________. 解析

若 a, b, c 互不相等, 且 f(a)=f(b)

a、b 、c 互不相等,不妨设 a<b<c ,由 f(a)= f(b)=f(c),及图象可知

0<a<1,1<b<10,10<c<12.

因为 f(a)=f(b),所以|lg a|=|lg b|, 1 1 所以 lg a=-lg b,即 lg a=lg ? a= ,

b

b

所以 ab=1,10<abc=c<12. 答案 (10,12) 二、解答题 4 14.(1)若 loga <1(a>0 且 a≠1),求实数 a 的取值范围; 5 (2)若 loga2<logb2<0,求 a、b、1 三数的大小关系. 4 4 解析 (1)当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是单调增函数,loga <logaa,∴a> , 5 5 ∴a>1. 4 4 当 0<a<1 时,y=logax 在(0,+∞)上是单调减函数,loga <logaa,∴0<a< ,∴ 5 5

4 0<a< . 5 4? ? 综上所述:实数 a 的取值范围为?0, ?∪(1,+∞). 5? ? (2)用倒数法则将不等式 loga2<logb2<0 改写成 0>log2a>log2b,由对数函数的单调 性可求得 0<b<a<1. 15.已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(x∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)-m=0 有解,求 m 的取值范围. 解析 (1)由函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(x∈R)是偶函数, 可知 f(x)=f(-x). 所以 log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx, 4x+1 即 log4 -x =-2kx. 4 +1 所以 log44x=-2kx. 所以 x=-2kx 对 x∈R 恒成立. 1 所以 k=- . 2 1 (2)由 m=f(x)=log4(4x+1)- x, 2 所以 m=log4 4x+1 ? x 1? x =log4?2 + x?. 2? 2 ?

1 1 因为 2x+ x≥2,所以 m≥ . 2 2 1 故要使方程 f(x)-m=0 有解,m 的取值范围是 m≥ . 2 16.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性,并给出证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. ?x+1>0, 解析 (1)因为? ?1-x>0, 所以-1<x<1,所以 f(x)的定义域为(-1,1).

(2)f(x)为奇函数. 因为 f(x)定义域为(-1,1), 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1

+x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数.

x+1 (3)因为当 a>1 时,f(x)在(-1,1)上单调递增,所以 f(x)>0? >1,解得 0 1-x
<x<1. 所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围是(0,1).

17.已知函数 f(x)=x+log3 (1)求 f(x)+f(4-x)的值;

x
4-x

.

(2)猜想函数 f(x)的图象具有怎样的对称性,并证明你的结论.

解析 (1) =4+log3

f(x)+f(4-x)=x+log3 x
4-x +log3 4-x =4.

x
4-x

+4-x+log3

4-x 4- -x

x

(2)f(x)图象关于点 P(2,2)对称. 证明 设 Q(x,y)为函数 f(x)=x+log3

x
4-x

图象上任一点,设点 Q 关于点 P(2,2) ?x1=4-x, 即? ?y1=4-y,

?x+x1=4, 的 对 称 点为 Q1(x1 , y1) ,则 ? ?y+y1=4, log3

所以 f(x1) = x1 +

x1
4-x1

=4-x+log3

4-x

x

=4-x-log3

x
4-x

=4-y=y1,所以函数 y=f(x)图象

关于点 P(2,2)对称. 18.函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意实数 x,都有 f(x+1)=f(x -1)成立.已知当 x∈[1,2]时,f(x)=logax(a>0,且 a≠1). (1)求 x∈[-1,1]时,函数 f(x)的表达式; (2)求 x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)时,函数 f(x)的解析式; 1 1 (3)若函数 f(x)的最大值为 ,在区间[-1,3]上,解关于 x 的不等式 f(x)> . 2 4 解析 (1)由 f(x+1)=f(x-1),且 f(x)是 R 上的偶函数 ?loga 得 f(x+2)=f(x)=? ?loga +x -x ,x∈[-1,0], ,x∈ ,1].

(2)当 x∈[2k-1,2k]时,f(x)=f(x-2k)=loga(2+x-2k). 同理,当 x∈(2k,2k+1]时,f(x)=loga(2-x+2k). ?loga 所以 f(x)=? ?loga +x-2k -x+2k ,x∈[2k-1,2k] ,x∈ (k∈Z).

k,2k+1]

(3)由于函数以 2 为周期,故考察区间[-1,1]. 1 若 a>1,loga2= ,即 a=4. 2 1 若 0<a<1,则 loga(2-1)=0≠ ,舍去,故 a=4. 2 由(2)知所求不等式的解集为(-2+ 2,2- 2)∪( 2,4- 2).
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