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球和它的性质


观察球的形成过程

一、讲授新课
(一)球和它的性质 1.球的定义
?球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲 面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体.

?球的集合定义
空间中,与定点(圆心)的距离等于或小于 定长(半径)的点的集合叫做球体,简称球.

2.球的有关概念
?半圆的圆心叫做球心. ?一个球用它的球心字母 A 来表示,例如 球O. ?连结球心和球面上任意一点的 线段叫做球的半径.(线段OP) ?连结球面上两点并经过球心的 线段叫做球的直径.(线段AB) ? 球体与球面的区别?
O

P

B

①球面:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面. ②球(即球体):球面所围成的几何体. 它包括球面和球面所包围的空间.

观察球的截面的形状?

(二) 球的截面及其性质
?截面的定义:用一个平面去截一个球,截面是圆面. ?1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面. ?2.球心到截面的距离 有下面的关系:

d 与球的半径 R ,小圆半径 r
2 2

r ? R ?d
R

O

d

?

r

1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面.
证明: ∵OD=OC,DK=KC, ∴OK⊥DC; 同理OK ⊥AB. ∴OK⊥截面⊙K.
A

O
D

?

C

K

B

d与球的半径R 2. 球心到截面的距离 和截面半径r有下面的关系 r? R2 ? d 2

O

R
?

d

r

(三)大圆和小圆
为了弄清楚球面距离的概念, 我们先认识大圆、小圆. ?球面被经过球心的平 面截得的圆叫做大圆. ?如⊙O(浅蓝色圆面). ? 球面被不经过球心的平 面截得的圆叫做小圆. ? 如⊙O′(黄色圆面).

o
O?

观察下面的图形
Q
O

P

两点间的球面距离
1.定义:球面上两点之间的最短连线的长度,
就是经过这两点的大圆在这两点间 的一段劣孤的长度. 即:球面距离是球面上过 两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度.

Q

0

P

2.两点的球面距离公式
A、B间的球面距离 A B

⌒ AB的长度 ? R ? ?
注:θ的单位为弧度

?
O

R

观察下列现象
经度的定义 纬度的定义

(四)地球的经度与纬度 1.地球的经度
?

北极 P 地 轴 O

地球的经线就是球面上从 北极到南极的半个大圆.
初 子 午 线 A



?某点的经度是经过这点 的经线 和地轴确定的半平面与0度经线 (本初子午线)和地轴确定的半平 面所在同一纬度圈上的交线的夹 角.

?如图:?AOB为P点所在 经线的经度.

道 赤 B

2.地球的纬度
赤道是一个大圆, 其它的纬线都是小圆.
?

北极

?某点的纬度就是经过 这点的球半径与赤道 面所成角的度数. ?由地理知识知: ?AOP为P点纬度.

地 P 轴 O

道 赤 A

二、课堂练习
例1.判断正误:(对的打√,错的打×.) (1)半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球.( ) × (2)在空间,到定点的距离等于定长的所有点的集合 叫球.( ) (3)球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所 在平面.(√ )

×

(4)经过球面上不同的两点只能作一个大圆. (× ) (5)球半径是5,截面圆半径为3,则球心到截面圆所在 平面的距离为4. ( √)

例( 2 1)设地球的半径为R,在北纬30 °纬线上有 甲乙两地,它们的经度相差120 ° ,那么这两 地的纬线的长为
解: Rt?AKO中,
3?R . 3

3 ? AK ? O A? CO S 30? ? ?R 2 30°
2? ?甲 乙 两 地 弧 长 ? ? AK 3
? 3 ?R 3

C 地

B

K轴
O

A

纬度30 °

经度120 °





(2)设地球的半径为R,在北纬30 °圈上有A、B 两点,它们的经度相差180 ° ,则A、B两点的 2?R . 球面距离是___________ 3

(2)解:∵∠POB=30 ° ∴∠AOB=120° 又AB的球面距即大圆ACB 上的劣弧 ACB 的长
2 ?R ACB 的弧长 3

C 地
30 °

A

K轴
30 ° 30 °

B

O 赤 道

P

球的体积与表面积

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

H

h

小 球 它 的 排 体 等 开 积 于 液 体 的 体 积

中国数学史
祖冲之(公元429-500)

刘徽(生于公元250左右)

刘徽的“牟合方盖” 祖暅的“幂势既同,则积不容异 ”

阿基米德的“力学原理”与“穷竭 法”

先来看这一段动画, 你能从中想到什么?
? 当分割的层数

不断增加,每 一层就越接近 一个圆柱体。

公式的推导
设球的半径为R,它的 体积只与半径R有关。 将半球分割成n层,每 一层都近似于圆柱形状 的“小圆片”。这些 “小圆片”的体积之和 就是球的体积。选第i 层(由下而上),如右 图。

c
R (i ? 1) n

ri R

B

o

“小圆片”的体积近似于圆柱体体积 R 它的高就是“小圆片”的厚度 n 底面就是“小圆片”的下底面 。
ri

R ri ? R ? [ (i ? 1)]2 ,(i ? 1, 2..., n) n
2

c
R (i ? 1) n

ri R

B

第i层“小圆片”的体积

R ?R i ?1 2 Vi ? ? ri ? ? [1 ? ( ) ] n n n
3 2

o

(i ? 1, 2,..., n)

半球的体积
V半球=V1 ? V2 ? ??? ? Vn
12 22 (n ? 1) 2 ? {1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ??? ? [1 ? ]} 2 n n n n

? R3

12 ? 22 ? ??? ? (n ? 1)2 ? [n ? ] 2 n n
1 (n ? 1) ? n ? (2n ? 1) ? [n ? 2 ? ] n n 6 ( n ? 1)(2n ? 1) 3 ? ? R [1 ? ] 2 6n

? R3

? R3

1 1 (1 ? )(2 ? ) n n ] ? ? R3[1 ? 6

结论
V半球

1 1 (1 ? )(2 ? ) n n ] ? ? R3[1 ? 6

当分层越多,即n越大时上式越接近半球的体积,当 n无限大时,就能从上式得到球的体积公式。
1 当n无限变大时, 趋于0 n

所以

2 3 V半球= ? R 3

4 V球= ? R 3 3

(二)球的表面积 探究

分割

求近似值
无限分割逼近精确值

化为精确值

(二)球的表面积 探究
?S i
?Vi

准锥体

?S i
?Vi

R
1 1 1 1 V球 ? RS1 ? RS 2 ? RS 3 ? ? ? RS n 3 3 3 3 1 ? R( S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ) 3

S球面 ? 4?R

2

当n足够大时

1 V球 ? RS 球 面 3

例3、某街心花园有许多钢球,每个钢球重145kg,并且 外径等于50cm,试根据以上数据,判断钢球是实心的还 是空心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(钢的 密度是7.9g/cm3,π取3.14,结果精确到1cm). 解:由于外径为50cm的钢球的质量为:
因为145000<517054,所以钢球是空心的, 设其内径是2
4 ? 50 ? 7.9 ? ? ? ? ? ? 517054 ( g ) 3 ? 2?
3

x cm,那么球的质量为:
x3 ? 11239.42,

3 ?4 ? 50 ? 4 3 ? 7.9 ? ? ? ? ? ? ? ? x ? ? 145000 ? 2 ? 3 ? ? ?3 ?

解得:

所以2 x = 44.8≈45 答:钢球是空心的.其内径约为45cm.

x ? 22.4.

例4、把半径为3cm钢球放入一个正方体的有盖 纸盒中,至少要用多少纸制作纸盒? 分析:用料最省时,球与正方体有什么位置关系? 球内切于正方体

侧棱长为6cm

S侧 ? 6 ? 6 ? 216cm
2

2

例5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的体积。
分析:正方体内接于球,则由球和 正方体都是中心对称图形可知,它 们中心重合,则正方体对角线与球 的直径相等。

D A D1 A1 D A O B B

C

略解:Rt?B1 D1 D中 : (2 R ) ? a ? ( 2a ) , 得
2 2 2

O
C1 B1 C

3 R? a 2 4 3 3 ?V ? ?R ? ?R 3 3 2

D1
A1 B1

C1

三、课堂小结
1:球的概念,球截面的性质 2:球面上两点间的距离 3:地球经、纬度的含义 4 3 V = ? R 4:球的体积公式: 球 3 5:求的表面积公式: S ? 4?R2
球面


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