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重庆一中2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)


重庆一中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(文科)
一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. ) 1. (5 分)已知 sinα= ,α∈( A. B. ,π) ,则 cosα 的值为() C. D.

2. (5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 3. (5 分)函数 A.(﹣1,+∞) ∪(1,+∞) 4. (5 分)已知 A.2 ,

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

的定义域是() B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D. [﹣1,1)

是夹角为 B. 4

的两个单位向量,若向量 =3 C. 5
2

﹣2 D.7

,则 ?

=()

5. (5 分)已知等差数列{an}中,a2,a2013 是方程 x ﹣2x﹣2=0 的两根,则 S2014=() A.﹣2014 B.﹣1007 C.1007 D.2014 6. (5 分)函数 f(x)=2 +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

7. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知命题 p:若

,则

A=45°;命题 q:若 acosA=bcosB,则△ ABC 为等腰三角形或直角三角形,则下列判断正确的 是() A.p 为真 B.p∧q 为假 C.¬q 为真 D.p∨q 为假 8. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.16
2

D.32

9. (5 分)设对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 () A.a>0 B. C.a>0 或 a<﹣12 D.

10. (5 分)过双曲线
2

的左焦点 F(﹣c,0) (c>0)作圆 x +y =a

2

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P.若 心率为() A. B. C. D.

,则双曲线的离

二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11. (5 分)复数 z= (i 是虚数单位) ,则 z+z =.
x 2

12. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2 ﹣3x+2m(m 为实常数) , 则 f(1)=.

13. (5 分)不等式组

,所表示的平面区域面积为.

14. (5 分)如图是某算法的程序框图,若任意输入[ ,19]中的实数 x,则输出的 x 大于 25 的概率为.

15. (5 分)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)﹣g (x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间 2 [a,b]称为“关联区间”.若 f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (13 分)某公司近年来科研费用支出 x 万元与公司所获得利润 y 万元之间有如下的统计数 据: x 2 3 4 5 Y 18 27 32 35 (Ⅰ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ; (Ⅱ)试根据(2)求出的线性回归方程,预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得 的利润. 参考公式:若变量 x 和 y 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程为: = x+ ,其中:

=

, = ﹣

,参考数值:2×18+3×27+4×32+5×35=420.

17. (13 分)已知 f(x)=x +ax ﹣a x+2. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间. 18. (13 分)先将函数 f(x)=cos(2x+ )的图象上所有的点都向右平移 个单位,再把

3

2

2

所有的点的横坐标都伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象. (1)求函数 g(x)的解析式和单调递减区间;

(2)若 A 为三角形的内角,且 g(A)= ,求 f( )的值.

19. (12 分)已知三棱锥 A﹣BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, 且△ PMB 为正三角形. (1)求证:BC⊥平面 APC; (2)若 BC=3,AB=10,求三棱锥 B﹣MDC 的体积 VB﹣MDC.

20. (12 分)已知数列{an}中,a1= ,点(2an+1﹣an,2)在直线 y=x+1 上,其中 n=1,2,3… (1)求证:{an﹣1}为等比数列并求出{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 b1=1,Sn= Tn. bn,令 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和

21. (12 分)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)过点 A(1,

) ,其焦距为 2.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 + =1(a>b>0) ,则椭圆在其上一点 A

(x0,y0)处的切线方程为

+

=1,试运用该性质解决以下问题:

(i)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l,l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求△ OCD 面积的最小值; (ii)如图(2) ,过椭圆 C2: + =1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN,切点分别

为 M,N.当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,求出圆的 方程;若不存在,请说明理由.

重庆一中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. ) 1. (5 分)已知 sinα= ,α∈( A. B. ,π) ,则 cosα 的值为() C. D.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: 首先根据 α 所在的象限,利用已知条件求得 cosα 值的符号,然后根据 sin α+cos α=1 进一步求出 cosα 的值. 解答: 解:已知 α∈( ,π) ,则 α 的中终边在第二象限内.
2 2

已知 sinα= 根据三角恒等式 sin α+cos α=1 进一步求出 cosα=﹣ , 故选:D. 点评: 本题考查的知识点:三角恒等式,根据已知 α 所在的象限角确定三角函数的符号. 2. (5 分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 充要条件. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件.

故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键, 比较基础.

3. (5 分)函数 A.(﹣1,+∞) ∪(1,+∞)

的定义域是() B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D. [﹣1,1)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依题意可知要使函数有意义需要 x+1>0 且 x﹣1≠0,进而可求得 x 的范围. 解答: 解:要使函数有意义需 解得 x>﹣1 且 x≠1. ∴函数 的定义域是(﹣1,1)∪(1,+∞) . ,

故选 C. 点评: 本题主要考查对数函数的定义域及其求法,熟练解不等式组是基础,属于基础题.

4. (5 分)已知 A.2



是夹角为 B. 4

的两个单位向量,若向量 =3 C. 5

﹣2 D.7

,则 ?

=()

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 ? 解答: 解:∵ ∴ ? =(3 , =(3 是夹角为 )? =3 ﹣2 )? =3 ﹣2 ,代入已知数据化简可得. ﹣2 ,

的两个单位向量,且 =3 ﹣2

﹣2 =4

=3﹣2×1×1×cos

故选:B 点评: 本题考查平面向量数量积的运算,属基础题. 5. (5 分)已知等差数列{an}中,a2,a2013 是方程 x ﹣2x﹣2=0 的两根,则 S2014=() A.﹣2014 B.﹣1007 C.1007 D.2014 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.
2

分析: 由韦达定理和等差数列的求和公式和性质可得 S2014= = ,计算可得.
2

解答: 解:∵等差数列{an}中,a2,a2013 是方程 x ﹣2x﹣2=0 的两根, ∴a2+a2013=2,∴a1+a2014=a2+a2013=2, ∴S2014= =2014

故选:D. 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,涉及韦达定理的应用,属基础题. 6. (5 分)函数 f(x)=2 +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的零点判定定理,先判断函数的单调性,然后判断端点值的符合关系. x 解答: 解:∵f(x)=2 +x﹣2 在 R 上单调递增 又∵f(0)=﹣1<0,f(1)=1>0 由函数的零点判定定理可知,函数的零点所在的一个区间是(0,1) 故选 C 点评: 本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断 函数在给定区间端点处的符号是否相反.

7. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知命题 p:若

,则

A=45°;命题 q:若 acosA=bcosB,则△ ABC 为等腰三角形或直角三角形,则下列判断正确的 是() A.p 为真 B.p∧q 为假 C.¬q 为真 D.p∨q 为假 考点: 复合命题的真假. 专题: 解三角形. 分析: 由题意可得 p: 若 , 则 A=45°为假命题, 命题 q: 若 acosA=bcosB, 则△ ABC

为等腰三角形或直角三角形为真命题,从而可求¬p 为真命题,¬q 为假命题,从而可判断. 解答: 解:在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 由若 可得 A=45°或 A=135°.故 p:若 ,则 A=45°为假命题;

在△ ABC 中,∵cosA=

,cosB=





?a=

?b,

化简得:a c ﹣a =b c ﹣b ,即(a ﹣b )c =(a ﹣b ) (a +b ) , 2 2 ①若 a ﹣b =0 时,a=b,此时△ ABC 是等腰三角形; 2 2 2 2 2 ②若 a ﹣b ≠0,a +b =c ,此时△ ABC 是直角三角形, 所以△ ABC 是等腰三角形或直角三角形.即 q 为真. ∴¬p 为真命题,¬q 为假命题 ∴p∧q 为假命题,p∨q 为真命题. 故选 B. 点评: 本题主要考查了复合命题的真假关系的判断,解题的关键是准确判断命题 p,q 的真 假. 8. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

2 2

4

2 2

4

2

2

2

2

2

2

2

A.

B.

C.16

D.32

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体为四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,由三视图判断四棱锥的高为 4, 底面是对角线长为 4 的正方形,求出正方形的边长,把数据代入棱锥的体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体为四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,高为 2, 四棱锥的底面是对角线长为 4 的正方形, ∴底面正方形的边长为 2 , ∴几何体的体积 V= × ×2= .

故选:A. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是关键. 9. (5 分)设对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 () A.a>0 B. C.a>0 或 a<﹣12 D.
2

考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质. 分析: 法一:y=x +ax﹣3a 的对称轴是 x= 与 a≤﹣2 相矛盾. ②当
2

.①当﹣ ≥1 时,x=﹣1 时有最大值 a> ,

时, x=﹣1 或 x=1 时, 有最大值. x=﹣1 有最大值 a> ,



;当 x=1 有最大值 1﹣2a<0,a

,故

.③当

≤﹣1,即 a≥2 时,

x=1 时有最大值 1﹣2a<0,a
2

,a≥2.由此能求出实数 a 的范围.
2

法二:设 f(x)=x +ax﹣3a,由对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,知 ,由此能求出实数 a 的范围.
2

解答: 解法一:y=x +ax﹣3a 的对称轴是 x=



①当﹣ ≥1,即 a≤﹣2 时,x=﹣1 离对称轴最远,而函数开口向上,所以有最大值, 其最大值是 a> ,与 a≤﹣2 相矛盾. ∴a∈?; ②当 ,即﹣2<a<2 时,

x=﹣1 或 x=1 时,有最大值. 由①知,x=﹣1 有最大值时,其最大值是 a> ,故 当 x=1 有最大值时,其最大值是 1﹣2a<0,即 a ∴ ③当 ; ≤﹣1,即 a≥2 时, ,故 ; .

x=1 时有最大值, 其最大值是 1﹣2a<0,a ∴a≥2. 综上所述,a> . 故选 B. 2 解法二:设 f(x)=x +ax﹣3a, 2 ∵对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立, ∴ , ,







,故



故选 B. 点评: 本题考查函数的恒成立问题,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化 思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是 2015 届高考的重 点.解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讲座思想的合理运用.

10. (5 分)过双曲线
2

的左焦点 F(﹣c,0) (c>0)作圆 x +y =a

2

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交抛物线 y =4cx 于点 P.若 心率为() A. B. C. D.

,则双曲线的离

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 综合题. 分析: 先设双曲线的右焦点为 F',则 F'的坐标为(c,0) ,因为抛物线为 y =4cx,所以 F'为 抛物线的焦点, O 为 FF'的中点, 又可得 E 为 FP 的中点, 所以 OE 为△ PFF'的中位线, 得到|PF|=2b, 再设 P(x,y) 过点 F 作 x 轴的垂线,由勾股定理得出关于 a,c 的关系式,最后即可求得离 心率. 解答: 解:设双曲线的右焦点为 F',则 F'的坐标为(c,0) ∵抛物线为 y =4cx, ∴F'为抛物线的焦点,O 为 FF'的中点, ∵ ∴E 为 FP 的中点 ∴OE 为△ PFF'的中位线, ∵O 为 FF'的中点 ∴OE∥PF' ∵|OE|=a ∴|PF'|=2a ∵PF 切圆 O 于 E ∴OE⊥PF ∴PF'⊥PF, ∵|FF'|=2c ∴|PF|=2b 设 P(x,y) ,则 x+c=2a,∴x=2a﹣c 过点 F 作 x 轴的垂线,则点 P 到该垂线的距离为 2a 2 2 2 2 2 2 由勾股定理 y +4a =4b ∴4c(2a﹣c)+4a =4(c ﹣a ) 2 ∴e ﹣e﹣1=0
2 2

∵e>1 ∴e= .

故选 B. 点评: 本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用等基础知识,考查 运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题. 二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11. (5 分)复数 z= (i 是虚数单位) ,则 z+z =﹣1.
2

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵复数 z=
2

,z =

2

i,

∴z+z =﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 12. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2 ﹣3x+2m(m 为实常数) , 则 f(1)= .
x

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数是奇函数,由 f(0)=0,可得 m,然后利用 f(﹣1)=﹣f(1) ,即可得到 结论. 解答: 解:∵f(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,即 1+2m=0, 解得 m=﹣ , ∴f(﹣1)=﹣f(1)= ∴f(1)= 故答案为: 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用函数的奇偶性的性质求出 m 是解决本题的关键, 注意要学会转化. , = ,

13. (5 分)不等式组

,所表示的平面区域面积为 .

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,根据对应图形的面积公式即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 则 A(﹣1,0) ,C(2,0) ,



,解得

,即 B( , ) ,

则三角形的面积 S= 故答案为:

= ,

点评: 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域,利用数形结合是解决本题的关键. 14. (5 分)如图是某算法的程序框图,若任意输入[ ,19]中的实数 x,则输出的 x 大于 25 的概率为 .

考点: 循环结构. 专题: 图表型.

分析: 利用程序框图可得所有的结果 2(2x﹣1)﹣1>25,解此不等式求出 x 的取值范围, 是几何概型中的长度类型,由“输入[ ,19]中的实数 x“求出构成的区域长度,再求出不等式求 出 x 的取值范围构成的区域长度,再求两长度的比值.由此求得输出的 x 大于 25 的概率. 解答: 解:根据算法的程序框图,若任意输入[ ,19]中的实数 x,则输出的是 2(2x﹣1) ﹣1=4x﹣3, 由 4x﹣3>25,得 x>7. 此数大于 0.5 而小于等于 19, 则构成的区域长度为:19﹣7=12, 在区间[ ,19]上任取一个数 x 构成的区域长度为 19﹣ , 输出的 x 大于 25 的概率为 = ;

故答案为:



点评: 本题主要考查循环结构,概率的建模和解模能力,本题是长度类型,思路是先求得 试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度,再求比值. 15. (5 分)设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)﹣g (x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间 [a,b]称为“关联区间”.若 f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围 .
2

考点: 函数的零点;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 由题意可得 h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,

故有

,由此求得 m 的取值范围.

解答: 解:∵f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”, 2 故函数 y=h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点,

2

故有

,即

,解得﹣ <m≤﹣2,

故答案为



点评: 本题考查函数零点的判定定理,“关联函数”的定义,二次函数的性质,体现了转化的 数学思想,属于基础题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (13 分)某公司近年来科研费用支出 x 万元与公司所获得利润 y 万元之间有如下的统计数 据: x 2 3 4 5 Y 18 27 32 35 (Ⅰ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ; (Ⅱ)试根据(2)求出的线性回归方程,预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得 的利润. 参考公式:若变量 x 和 y 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程为: = x+ ,其中:

=

, = ﹣

,参考数值:2×18+3×27+4×32+5×35=420.

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据表中所给的数据,做出利用最小二乘法所用的四个量,利用最小二乘法 做出线性回归方程的系数,写出线性回归方程. (Ⅱ)把所给的 x 的值,代入上一问求出的线性回归方程中,做出对应的 y 的值,这是一个估 计值,是一个预报值. 解答: 解: (Ⅰ) =3, ,



,…(5 分)

=



a=

=28﹣5.6×3.5=8.4…(9 分) .…. (10 分)

所求线性回归方程为:

(Ⅱ)当 x=10 时,

(万元) ,…. . (11 分)

故预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的利润为 64.4 万元…(12 分) 点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用,解题的关键是细心地做出线性回归方程要用 的系数,这里不能出错,不然会引起第二问也是错误的. 17. (13 分)已知 f(x)=x +ax ﹣a x+2. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数的表达式,通过求导得出斜率 k 的值,再求出切点坐标,从而求出 切线方程; (2)先求出函数的导数,分别令 f′(x)>0,f′(x)<0,从而求出函数的单调区间. 3 2 解答: 解: (1)∵a=1,∴f(x)=x +x ﹣x+2, 2 ∴f′(x)=3x +2x﹣1 ∴k=f′(1)=4,又 f(1)=3, ∴切点坐标为(1,3) , ∴所求切线方程为 y﹣3=4(x﹣1) , 即 4x﹣y﹣1=0. 2 2 (2)f′(x)=3x +2ax﹣a =(x+a) (3x﹣a) 由 f′(x)=0 得 x=﹣a 或 ∵a>0,由 f′(x)<0,得 由 f′(x)>0,得 x<﹣a 或 此时 f(x)的单调递减区间为 , ,单调递增区间为(﹣∞,﹣a)和 . , ,
3 2 2

点评: 本题考查了导数的应用,求曲线的切线方程,考查了函数的单调性,是一道基础题.

18. (13 分)先将函数 f(x)=cos(2x+

)的图象上所有的点都向右平移

个单位,再把

所有的点的横坐标都伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象. (1)求函数 g(x)的解析式和单调递减区间; (2)若 A 为三角形的内角,且 g(A)= ,求 f( )的值.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性;余弦函数的单调 性. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: (1)依题意,易求 g(x)=sin(x﹣ 的单调递减区间; (2) 由 (1) 知, g (A) =sin (A﹣ f( )=sinA=sin[(A﹣ )+

) ,利用正弦函数的单调性可求得函数 g(x)

) = , 易知 0<A﹣



, 于是得 cos (A﹣

) =



],利用两角和的正弦即可求得答案. )=sin2x,

解答: 解: (1)∵f(x)=cos(2x+ ∴依题意,有 g(x)=sin(x﹣ 由 +2kπ≤x﹣ ≤ +2kπ 得: ) ,

+2kπ≤x≤

+2kπ,k∈Z. +2kπ, +2kπ]k∈Z.

∴g(x)=sin(x﹣

) ,且它的单调递减区间为[ )= ,

(2)由(1)知,g(A)=sin(A﹣ ∵0<A<π, ∴﹣ <A﹣ < < , , )+

,又 0<sin(A﹣

)< ,

∴0<A﹣ ∴cos(A﹣

)=

∴f( )=sinA=sin[(A﹣

]= ×

+

× =



点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查正弦函数的单调性,考查诱导公式 与两角和的正弦,考查转化思想与综合运算能力,属于中档题. 19. (12 分)已知三棱锥 A﹣BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, 且△ PMB 为正三角形. (1)求证:BC⊥平面 APC; (2)若 BC=3,AB=10,求三棱锥 B﹣MDC 的体积 VB﹣MDC.

考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)运用等边三角形的性质和中位线定理,证得 AP⊥平面 PBC,再由线面垂直的 性质得,AP⊥BC,结合条件 AC⊥BC,即可得证; (2) 运用 VM﹣BCD=VB﹣MDC. 由棱锥的体积公式, 计算三角形 BCD 的面积和 MD, 即可得到. 解答: (1)证明:∵△PMB 为正三角形, 且 D 为 PB 的中点,∴MD⊥PB. 又∵M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, ∴MD∥AP,∴AP⊥PB. 又已知 AP⊥PC,∴AP⊥平面 PBC, ∴AP⊥BC,又∵AC⊥BC,AC∩AP=A, ∴BC⊥平面 APC; (2)解:有 VM﹣BCD=VB﹣MDC. ∵AB=10,∴MB=PB=5, 又 BC=3,BC⊥PC,∴PC=4, ∴ 又 ,∴ . .

点评: 本题考查线面垂直的判定和性质,注意两个定理的运用,同时考查三棱锥的体积公 式,注意顶点转换法的运用,考查运算能力,属于中档题.

20. (12 分)已知数列{an}中,a1= ,点(2an+1﹣an,2)在直线 y=x+1 上,其中 n=1,2,3… (1)求证:{an﹣1}为等比数列并求出{an}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 b1=1,Sn= Tn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件 2an+1﹣an+1=2,从而 2(an+1﹣1)=an﹣1,由此能证明{an﹣1}是以 为公比的等比数列,首项为 ,从而得到 an=﹣( ) +1.
n

bn,令 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和

(2)Sn=


n

,两式作差,得
n

,利用累加法能求出 bn=n,

cn=an?bn=[﹣( ) +1]?n=﹣( ) ?n+n,由此利用分组求和法能求出数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解答: (1)证明:∵数列{an}中,a1= ,点(2an+1﹣an,2)在直线 y=x+1 上, ∴2an+1﹣an+1=2, ∴2(an+1﹣1)=an﹣1, ∴ = ,

∴{an﹣1}是以 为公比的等比数列,首项为 ∴an=﹣( ) +1. (2)解:Sn= , bn﹣ , ,
n



两式作差,Sn﹣Sn﹣1=

整理,得





=



,∴bn=n, ∵cn=an?bn, ∴cn=[﹣( ) +1]?n=﹣( ) ?n+n, 令 ,其和为 Rn, ,① =﹣1× 错项相减后
2 3 n n

﹣…﹣ =﹣( )﹣( ) ﹣( ) ﹣…﹣( ) +n( )
n n+1



=﹣

= ∴ ∴Tn=Rn+

, , =(2+n)?( ) +
n



点评: 本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求 法,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用.

21. (12 分)已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)过点 A(1,

) ,其焦距为 2.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为 + =1(a>b>0) ,则椭圆在其上一点 A

(x0,y0)处的切线方程为

+

=1,试运用该性质解决以下问题:

(i)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l,l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求△ OCD 面积的最小值; (ii)如图(2) ,过椭圆 C2: + =1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN,切点分别

为 M,N.当点 P 在椭圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 MN 相切?若存在,求出圆的 方程;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ) 依题意得: 椭圆的焦点为 F1 (﹣1, 0) , F2 (1, 0) , 由椭圆定义知: 2a=|AF1|+|AF2|, 即可求出 a,b,从而可求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ) (i)确定 ,再结合基本不等式,即可求△ OCD 面积的最小值;

(ii)先求出直线 MN 的方程,再求出原点 O 到直线 MN 的距离,即可得出结论.

解答: 解: (I) 依题意得: 椭圆的焦点为 F( 0) , F( 0) , 由椭圆定义知: 2a=|AF1|+|AF2|, 1 ﹣1, 2 1, ∴ ,所以椭圆 C1 的方程为 .…(4 分)

(II) (ⅰ)设 B(x2,y2) ,则椭圆 C1 在点 B 处的切线方程为 令 x=0, ,令 ,所以 …(5 分)

又点 B 在椭圆的第一象限上,所以





…(7 分)



,当且仅当

所以当

时,三角形 OCD 的面积的最小值为

…(9 分)

(ii)设 P(m,n) ,则椭圆 C1 在点 M(x3,y3)处的切线为:

又 PM 过点 P(m,n) ,所以 所以 M,N 都在直线 即:直线 MN 的方程为 所以原点 O 到直线 MN 的距离 上,

,同理点 N(x4,y4)也满足



…(12 分) = ,…(13 分)

所以直线 MN 始终与圆

相切.…(14 分)

点评: 本题考查椭圆的方程,考查三角形面积的计算,考查直线与圆的位置关系,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题.


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