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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 大题专项练3 高考中的数列 文 北师大版


高考大题专项练 3

高考中的数列

高考大题专项练第 6 页 1.(2015 大连一模)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比为,满足 S3=15,a1+2b1=3,a2+4b2=6. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设{an}的公差为 d, 所以 解得 a1=2,d=3,b1=, 所以 an=3n-1,bn=. (2)由(1)知 Tn=2×+5×+8×+…+(3n-4)·+(3n-1),① ①×Tn=2×+5×+…+(3n-4)×+(3n-1),② ①-②得 Tn=2×+3×-(3n-1)·=1+3×-(3n-1)·, 整理得 Tn=-(3n+5)+5.?导学号 32470870? 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1;数列{bn}满足 bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N+),b1=1. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列的前 n 项和 Tn. 解:(1)由 Sn=2an-1,得 S1=a1=2a1-1,故 a1=1. 又 Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1(n≥2), 两式相减,得 Sn-Sn-1=2an-2an-1,即 an=2an-2an-1. 故 an=2an-1,n≥2. 所以数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. n-1 n-1 故 an=1·2 =2 . 由 bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N+), 得=1. 又 b1=1,∴数列是首项为 1,公差为 1 的等差数列. ∴=1+(n-1)·1=n.∴bn=. n-1 (2)由(1)得=n·2 . ∴Tn=1·20+2·21+…+n·2n-1, ∴2Tn=1·21+2·22+…+n·2n. 1 n-1 n 两式相减,得-Tn=1+2 +…+2 -n·2 n n n =-n·2 =-1+2 -n·2 . ∴Tn=(n-1)·2n+1.?导学号 32470871? 3.(2015 山东滨州一模)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+an=1(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=lo(1-Sn+1)(n∈N+),令 Tn=+…+,求 Tn. 解:(1)当 n=1 时,a1=S1,由 S1+a1=1,得 a1=. 当 n≥2 时,Sn=1-an,Sn-1=1-an-1, 则 Sn-Sn-1=(an-1-an),即 an=(an-1-an), 所以 an=an-1(n≥2). 故数列{an}是以为首项,为公比的等比数列. 故 an==2·. (2)因为 1-Sn=an=, 所以 bn=lo(1-Sn+1)=lo=n+1, 因为, 所以 Tn=+…+ =+…+ =.?导学号 32470872? n 4.(2015 江西上饶一模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-3·2 +4(n∈N+). 1

(1)证明:数列是等差数列; (2)设 bn=,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n (1)证明:∵Sn=2an-3·2 +4(n∈N+), ∴n=1 时,a1=S1=2a1-6+4,解得 a1=2. n n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-3×2 +4-(2an-1-3×2 +4), n-1 化为 an=2an-1+3×2 , 变形为, ∴数列是等差数列,首项为=1,公差为. (2)解:由(1)可得=1+(n-1)=,

∴bn= =, ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=+…+.?导学号 32470873? 5.(2015 长沙二模改编)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a10=15,且 a3,a4,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设数列{an}的公差为 d(d≠0),由已知得
即 解得

∴an=2n-5. (2)证明:∵bn=,n∈N+, ∴Tn=+…+,① Tn=+…+,② ①-②,得 Tn=+2+…+ =-, ∴Tn=-1-(n∈N+).?导学号 32470874? 2 6.已知等差数列{an}的公差大于 0,且 a3,a5 是方程 x -14x+45=0 的两根,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=(n∈N+). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,求证:cn+1≤cn; (3)求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 2 解:(1)因为 a3,a5 是方程 x -14x+45=0 的两根,且数列{an}的公差 d>0, 所以 a3=5,a5=9,公差 d==2. 所以 an=a5+(n-5)d=2n-1. 当 n=1 时,b1=S1=,解得 b1=. 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=(bn-1-bn), 所以(n≥2). 所以数列{bn}是首项 b1=,公比 q=的等比数列, n-1 所以 bn=b1q =. (2)由(1),知 cn=anbn=,cn+1=, 所以 cn+1-cn=≤0. 所以 cn+1≤cn. (3)由(2),知 cn=anbn=, 则 Tn=+…+,① Tn=+…+,② ①-②,得 Tn=+…++2,化简得 Tn=1-. 故数列{cn}的前 n 项和 Tn=1-.?导学号 32470875?

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