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【创新设计】2015-2016学年高中数学 3.1.5空间向量运算的坐标表示课时作业 新人教A版选修2-1


3.1.5

空间向量运算的坐标表示

课时目标 1.理解空间向量坐标的概念, 会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空 间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公 式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.

1.空间向量的直角坐标运算律 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a+b=______________; (2)a-b=________________; (3)λ a=____________(λ ∈R); (4)a·b=________________; (5)a∥b?________________; (6)a⊥b?________________. 2.几个重要公式 → (1)若 A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则AB=________________________.即一个向量在 空 间 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 等 于 表 示 这 个 向 量 的 有 向 线 段 的 ________ 的 坐 标 减 去 ________的坐标. (2)模长公式:若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|= a·a=______________, |b|= b·b=________________. (3)夹角公式:cos〈a,b〉=________________ =________________________ (a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)). (4)两点间的距离公式:若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).则 AB =

??? ?

??? ?2 AB =_________.

一、选择题 1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知点 A 的坐标为(-1,2,1),点 B 的坐标为(1,3,4), 则( ) → → A.AB=(-1,2,1) B.AB=(1,3,4) → → C..AB=(2,1,3) D.AB=(-2,-1,-3) 2.已知 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( ) 1 1 A.x= ,y=1 B.x= ,y=-4 3 2 1 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 4 3.若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 = = 是 a∥b 的(

a 1 a2 a3 b1 b2 b3

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4. 已知向量 a=(1,1,0), b=(-1,0,2), 且 ka+b 与 2a-b 互相垂直, 则 k 的值是( 1 3 7 A.1 B. C. D. 5 5 5 5.已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a、b 为邻边的平行四边形的面积为(

)

)

1

65 C.4 D.8 2 6.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)则|b-a|的最小值是( ) 5 55 3 5 11 A. B. C. D. 5 5 5 5 二、填空题 7. 已知 A(4,1,3), B(2,3,1), C(3,7, -5), 点 P(x, -1,3)在平面 ABC 内, 则 x=______. 8. 若(a+3b)⊥(7a-5b), 且(a-4b)⊥(7a-5b), 则 a 与 b 的夹角的余弦值为________. → → 9.已知 A(1,-1,2) ,B(5,-6,2)C(1,3-1)则AB在AC上的投影为______. 三、解答题 10.设 a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求 k; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求 k. A. 65 B.

11.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=BC=1,∠BCA=90°,AA1=2, 并取 A1B1、A1A 的 中点分别为 P、Q. → (1)求向量BQ的长; → → → → → → → → (2)cos〈BQ,CB1〉 ,cos〈BA1,CB1〉 ,并比较〈BQ,CB1〉与〈BA1,CB1〉的大小; (3)求证:AB1⊥C1P.

2

能力提升 12.在长方体 OABC—O1A1B1C1 中,OA=2,AB=3,AA1=2,E 是 BC 的中点,建立空间直 角坐标系,用向量方法解下列问题: (1)求直线 AO1 与 B1E 所成的角的余弦值; (2)作 O1D⊥AC 于 D,求点 O1 到点 D 的距离.

13.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、BC 的中点,在棱 BB1 上是 否存在点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1?

1.空间向量在几何中的应用
3

有了向量的坐标表示,利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直,利 用向量长度公式、 夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角, 只需通过简单运算 即可.在此处,要认真体会向量的工具性作用. 2.关于空间直角坐标系的建立 建系时,要根据图形特点,充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴.同时,使 尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内.这样可以较方便的写出点的坐标. 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 知识梳理 1.(1)(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (2)(a1-b1,a2-b2,a3-b3) (3)(λ a1,λ a2,λ a3) (4)a1b1+a2b2+a3b3 (5)a1=λ b1,a2=λ b2,a3=λ b3(λ ∈R) (6)a1b1+a2b2+a3b3=0 2.(1)(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 终点 起点 2 2 2 2 2 (2) a1+a2+a3 b2 1+b2+b3 a·b a1b1+a2b2+a3b3 (3) 2 2 2 2 2 2 |a||b| a1+a2 +a3 b1+b2+b3 (4)

? x ?x ? ?? y ? y ? ?? z ?z ?
2 2 2 1 2 1 2 1

2

作业设计 1.C 2. B [∵a+2b=(1+2x,4,4-y), 2a-b=(2-x,3, -2y-2), 且(a+2b)∥(2a-b), 1 ∴3(1+2x)=4(2-x)且 3(4-y)=4(-2y-2),∴x= ,y=-4.] 2

a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1 a2 a3 虽有 a∥b,但条件 = = 显然不成立,所以条件不具有必要性,故选 A.] b1 b2 b3 4.D [∵ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),
7 ∴3(k-1)+2k-4=0.∴k= .] 5 5.A [设向量 a、b 的夹角为 θ , 4-2+2 4 65 于是 cos θ = = ,由此可得 sin θ = . 3×3 9 9 所以以 a、b 为邻边的平行四边形的面积为 1 65 S=2× ×3×3× = 65.] 2 9 6.C [∵|b-a|= ?b-a? = ?1+t? +?2t-1? 9 3 5 ? 1?2 9 = 5?t- ? + ≥ = , 5 5 ? 5? 5 3 5 ∴|b-a|的最小值是 .] 5 7.11 解析 ∵点 P 在平面 ABC 内,∴存在实数 k1,k2, → → → 使AP=k1AB+k2AC, 即(x-4,-2,0)=k1(-2,2,-2)+k2(-1,6,-8), ? ? ?2k1+6k2=-2, ?k1=-4, ∴? 解得? ?k1+4k2=0, ?k2=1. ? ? ∴x-4=-2k1-k2=8-1=7,即 x=11. 8.1
2 2 2

3.A [设 = = =k,易知 a∥b,即条件具有充分性.又若 b=0 时,b=(0,0,0),

4

解析 由题意知(a+3b)·(7a-5b)=7|a| -5a·b+21a·b-15|b| =7|a| +16a·b 2 -15b =0,① 2 2 且(a-4b)·(7a-5b)=7|a| -33a·b+20|b| =0,② 2 ①-②得 49a·b=35|b| . 25 |b| 7 2 2 ∴|a| = |b| ,∴ = . 49 |a| 5 35 2 |b| 49 a·b 35 |b| ∴cos〈a,b〉= = = · =1. |a||b| |a||b| 49 |a| 9.-4 → 解析 ∵AB=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0). → AC=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), → → 0 ? 20 ? 0 ∴cos〈AB,AC〉=

2

2

2

4

2

?

? ?5 ?

2

4

2

?

? ?3 ?

2

20 =- , 5 41 → → → → → AB在AC上的投影为|AB|cos〈AB,AC〉 2 ? 20 ? = 4 2 ? ?5 ×?- ?=-4. ? 5 41? 10.解 ka+b=(k-2,5k+3,-k+5), a-3b=(7,-4,-16). (1)若(ka+b)∥(a-3b), k-2 5k+3 -k+5 则 = = , 7 -4 -16 1 解得 k=- . 3 (2)若(ka+b)⊥(a-3b),则(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0,解 106 得 k= . 3 11.解

?

?

以 C 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz, 则由已知, 得 C(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C1(0,0,2), ?1 1 ? P? , ,2?,Q(1,0,1), ?2 2 ? B1(0,1,2),A1(1,0,2). → → ∴BQ=(1,-1,1),CB1=(0,1,2), → → BA1=(1,-1,2),AB1=(-1,1,2), → ?1 1 ? C1P=? , ,0?. ?2 2 ?
5

??? ? ??? ? → 2 2 2 (1)| BQ|= BQ ? BQ = 1 +?-1? +1 = 3.
→ → → (2)∵BQ·CB1=0-1+2=1,|BQ|= 3, → 2 2 2 |CB1|= 0 +1 +2 = 5, 1 15 → → ∴cos〈BQ,CB1〉= = . 15 3× 5 → → 又BA1·CB1=0-1+4=3, → → |BA1|= 1+1+4= 6,|CB1|= 5, 3 30 → → ∴cos〈BA1,CB1〉= = . 10 30 又 0< 15 30 < <1, 15 10

→ → → → ? π? ∴〈BQ,CB1〉 , 〈BA1,CB1〉∈?0, ?. 2? ? ? π? 又 y=cos x 在?0, ?内单调递减, 2? ? → → → → ∴〈BQ,CB1〉>〈BA1,CB1〉 . → → ?1 1 ? (3)证明 ∵AB1·C1P=(-1,1,2)·? , ,0?=0, ?2 2 ? → → ∴AB1⊥C1P. 12.解

建立如图所示的空间直角坐标系. (1)由题意得 A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0). → ∴AO1=(-2,0,2), → B1E=(-1,0,-2), -2 10 → → ∴cos〈AO1,B1E〉= =- , 10 2 10 ∴AO1 与 B1E 所成角的余弦值为 10 . 10

→ → → → (2)由题意得O1D⊥AC,AD∥AC, ∵C(0,3,0),设 D(x,y,0), → → → ∴O1D=(x,y,-2),AD=(x-2,y,0),AC=(-2,3,0), -2x+3y=0, ? ? ∴?x-2 y ? -2 =3, ? 18 ? ?x=13, 解得? 12 ? ?y=13.

?18 12 ? ∴D? , ,0?, ?13 13 ?

6

→ ∴O1D=|O1D|=

?18?2+?12?2+4=2 286. ?13? ?13? 13 ? ? ? ?

2 286 即点 O1 到点 D 的距离为 . 13 13.解

→ → → 如图所示, 分别以DA, DC, DD1为单位正交基底, 建立空间直角坐标系 Dxyz, 则 D1(0,0,1), B1(1,1,1), → ? 1 1 ? ? 1 ? ?1 ? E?1, ,0?,F? ,1,0?,设 M(1,1,m),∴EF=?- , ,0?, ? 2 ? ?2 ? ? 2 2 ? 1 → ? ? → B1E=?0,- ,-1?,D1M=(1,1,m-1). 2 ? ? 若 D1M⊥平面 EFB1, 则 D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. → → → → 即D1M·EF=0,D1M·B1E=0, 1 1 ? ?-2+2+?m-1?×0=0 ∴? 1 0- +1-m=0 ? ? 2 1 ,∴m= , 2

即存在点 M 且为 B1B 的中点,使 D1M⊥平面 EFB1.

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