当前位置:首页 >> 数学 >>

【创新设计】2015-2016学年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课时作业 新人教A版必修4

二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换,并能灵活地将公式变形运用.

1.倍角公式 α α 1 cos = sin α ; 2 2 2 2 2 2 (2)C2α :cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1 2 =1-2sin α ; 2tan α (3)T2α :tan 2α = . 2 1-tan α 2.倍角公式常用变形 sin 2α sin 2α (1) =__________, =__________; 2sin α 2cos α 2 (2)(sin α ±cos α ) =__________; 2 2 (3)sin α =______________,cos α =______________. (1)S2α :sin 2α =2sin α cos α ,sin

一、选择题 2 1.计算 1-2sin 22.5°的结果等于( ) 1 2 3 3 A. B. C. D. 2 2 3 2 π 2 2.函数 y=2cos (x- )-1 是( ) 4 A.最小正周期为 π 的奇函数 π B.最小正周期为 的奇函数 2 C.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2 π 1 2π 3.若 sin( -α )= ,则 cos( +2α )的值为( 6 3 3 1 7 1 7 A.- B.- C. D. 3 9 3 9 1-tan θ cos 2θ 4.若 =1,则 的值为( ) 2+tan θ 1+sin 2θ A.3 B.-3 C.-2 1 D.- 2

)

1 5π θ 5.如果|cos θ |= , <θ <3π ,则 sin 的值是( 5 2 2 A.- 10 5 B. 10 5 C.- 15 5 D.

) 15 5

1

π 1+ 2cos?2α - ? 4 3 6.已知角 α 在第一象限且 cos α = ,则 等于( 5 π sin?α + ? 2 2 7 14 2 A. B. C. D.- 5 5 5 5 题 号 1 2 3 4 5 答 案 二、填空题 3-sin 70° 7. 的值是________. 2 2-cos 10°

)

6

7 2 8.函数 f(x)=cos x-sin x-cos 2x+ 的最大值是______. 4 θ 1-cos θ +sin θ 9.已知 tan =3,则 =______. 2 1+cos θ +sin θ π 2 10.已知 sin 2α +sin 2α cos α -cos 2α =1,α ∈(0, ),则 α =________. 2 三、解答题 3-4cos 2A+cos 4A 4 11.求证: =tan A. 3+4cos 2A+cos 4A

12.若 cos?

?π -x?=-4,5π <x<7π ,求sin 2x-2sin x的值. ? 5 4 4 1+tan x ?4 ?

2

能力提升 13.求值:cos 20°cos 40°cos 80°. 14.求值:tan 70°?cos 10°?( 3tan 20°-1).

2

1.对于“二倍角”应该有广义上的理解,如: 3 α α 8α 是 4α 的二倍;6α 是 3α 的二倍;4α 是 2α 的二倍;3α 是 α 的二倍; 是 的二 2 2 4 α α α 2?α * 倍; 是 的二倍; n = n+1 (n∈N ). 3 6 2 2 2.二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中,二倍角的余弦公式最为灵活多样,应用广泛,二倍角的常用形式: ①1 1+cos 2α 2 2 2 2 +cos 2α =2cos α ,②cos α = ,③1-cos 2α =2sin α ,④sin α = 2 1-cos 2α . 2 3.1.3 知识梳理 2.(1)cos α 作业设计 1.B 2.A 2π π π 3.B [cos( +2α )=-cos( -2α )=-cos[2( -α )] 3 3 6 7 2 π 2 π =-[1-2sin ( -α )]=2sin ( -α )-1=- .] 6 6 9 1-tan θ 1 4.A [∵ =1,∴tan θ =- . 2+tan θ 2 sin α (2)1±sin 2α 1-cos 2α (3) 2 1+cos 2α 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式 答案

? 1? 1-?- ? cos 2θ cos θ -sin θ cos θ -sin θ 1-tan θ ? 2? ∴ = = = =3.] 2= 1+sin 2θ ?sin θ +cos θ ? cos θ +sin θ 1+tan θ 1? ? 1+?- ? ? 2? 5π 1 5.C [∵ <θ <3π ,|cos θ |= , 2 5 1 ∴cos θ <0,cos θ =- . 5 5π θ 3 θ ∵ < < π ,∴sin <0. 4 2 2 2 θ 1 - cos θ 3 2 由 sin = = , 2 2 5
2 2

θ 15 =- .] 2 5 3 4 6.C [∵cos α = 且 α 在第一象限,∴sin α = . 5 5 7 2 2 ∴cos 2α =cos α -sin α =- , 25 ∴sin

3

24 sin 2α =2sin α cos α = , 25 π π 1+ 2?cos 2α cos +sin 2α sin ? 4 4 1+cos 2α +sin 2α 14 原式= = = .] cos α cos α 5 7.2 3-sin 70° 3-sin 70° 2?3-cos 20°? 解析 = = =2. 2 2-cos 10° 1+cos 20° 3-cos 20° 2- 2 8.2 1?2 7 7 ? 2 2 2 解析 f(x)=cos x-(1-cos x)-(2cos x-1)+ =-cos x+cos x+ =-?cos x- ? + 2? 4 4 ? 2. 1 ∴当 cos x= 时,f(x)max=2. 2 9.3 θ θ ? θ θ θ ? 2θ 2sin +2sin cos 2sin ?sin +cos ? 2 2? 2 2 2 2? 1-cos θ +sin θ 解析 = = =tan 1+cos θ +sin θ θ θ θ θ ? θ ? 2θ 2cos +2sin cos 2cos ?cos +sin ? 2 2 2 2 2? 2? θ =3. 2 π 10. 6 2 解析 ∵sin 2α +sin 2α cos α -(cos 2α +1)=0. 2 2 2 2 ∴4sin α cos α +2sin α cos α -2cos α =0. π 2 ∵α ∈(0, ).∴2cos α >0. 2 2 ∴2sin α +sin α -1=0. 1 ∴sin α = (sin α =-1 舍). 2 π ∴α = . 6 2 2 3-4cos 2A+2cos 2A-1 ?1-cos 2A?2 ?2sin A?2 11.证明 ∵左边= =? 2 ? =? ? =(tan2 A)2 2 3+4cos 2A+2cos 2A-1 ?1+cos 2A? ?2cos A? 4 =tan A=右边. 3-4cos 2A+cos 4A 4 ∴ =tan A. 3+4cos 2A+cos 4A 2 sin 2x-2sin x 2sin x?cos x-sin x?cos x sin 2x?cos x-sin x? 12. 解 = = =sin 1+tan x cos x+sin x cos x+sin x 1-tan x ?π ? ?π ? ?π ? ? ? ? ?π ? 2?π 2x =sin 2xtan? -x?=cos? -2x?tan? -x?=?2cos ? -x?-1?tan? -x?, 1+tan x ?4 ? ?2 ? ?4 ? ? ?4 ? ? ?4 ? 5π 7π ∵ <x< , 4 4 3π π ∴- < -x<-π . 2 4 4 ?π ? 又∵cos? -x?=- , 5 ?4 ?

4

3 ?π ? 3 ?π ? ∴sin? -x?= ,tan? -x?=- . 4 ?4 ? 5 ?4 ? 16 3 21 ? ? ? ? ∴原式=?2? -1???- ?=- . 100 ? 25 ? ? 4? 2sin 20°?cos 20°?cos 40°?cos 80° 13.解 原式= = 2sin 20° 2sin 40°?cos 40°?cos 80° 2sin 80°?cos 80° = 4sin 20° 8sin 20° sin 160° 1 = = . 8sin 20° 8 sin 70° ? sin 20°-1? 14.解 原式= ?cos 10°? 3 ? cos 70° ? cos 20° ? sin 70° ? sin 20°-cos 20°? = ?cos 10°?? 3 ? cos 20° cos 70° ? ? 1 ? 3 ? cos 20° sin 20°- cos 20°? 2 = ?cos 10°?2? 2 ? ? sin 20° cos 20° ? ? 2cos 10°?sin?-10°? -sin 20° = = =-1. sin 20° sin 20°

5