2007-2008 学年度增城市高一上学期期末考试
数
学
试
题
满分 150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
3 1. 若 ?2,?
M
?1,,,,? , 则 M 的个数为: 2345
B. 6 C. 7
? lg (3 x ? 1)
A. 5 2. 函数 A.
f (x) ?
D. 8
3x
2
1? x
的定义域是: C.
? 1 1? ?? , ? ? 3 3?
? 1 ? ? ? , ?? ? ? 3 ?
B.
1? ? ? ?? , ? ? 3? ?
D.
? 1 ? ? ? ,1 ? ? 3 ?
3. 一个圆柱的侧面展开图是正方形,这个圆柱的表面积与侧面积之比是: A.
1 ? 2? 2?
B.
1 ? 4? 4?
1
C.
1 ? 2?
?
1
D.
1 ? 4?
?
4. 下列函数中既是奇函数,又是其定义域上的增函数的是: A. y ? x
2
B. y ? x 2 B. AC ? BD
2
C. y ? x 3 C. CD ? 平面 ABC C. [ ? 4 , 5 ]
D. y ? x
?3
5. 把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二角后,下列命题正确的是: A. AB ? BC A. [ ? 4 , ? ? ) D. 平面 ABC ? 平面 ACD D. [ ? 4, 5) 7 -129.6 6. 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x , x ? [1, 5) ,则此函数的值域为: B. [ ? 3, 5 ) 7. 已知函数 f ? x ? 的图像是连续不断的,有如下的 x , f ? x ? 对应值表: x 1 2 3 4 5 6
f
?x?
123.5
21.5
-7.82
11.57
-53.7
-126.7
那么函数 f ? x ? 在区间 ?1, 6 ? 上的零点至少有: A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
8. 若函数 f ? x ? 在 R 上是单调递减的奇函数,则下列关系式成立的是: A. f ? 3 ? ? f ? 4 ? B. f ? 3 ? ? ? f ? ? 4 ? C. ? f ? ? 3 ? ? f ? ? 4 ?
1 2
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D. f ? ? 3 ? ? f ? ? 4 ?
9. 已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1,且垂直于直线 y ?
x ,则 l 的方程是:
A. y ? ? 2 x ? 2
B. y ? ? 2 x ? 1
C. y ? 2 x ? 2
2 2
D. y ? 2 x ? 1
10. 若两直线 y ? x ? 2 k 与 y ? 2 x ? k ? 1 的交点在圆 x ? y ? 4 上,则 k 的值是: A. ?
1 5
或?1
B. ?
1 5
或1
C. ?
1 3
或1
D. ? 2 或 2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中的横线上. 11. 圆台的上,下底面积分别为 ? , 4 ? ,侧面积为 6 ? ,则这个圆台的体积是
1
x ? x?
2
3 4
12. 对于函数 y ? ( )
2
的值域
13. 若平面 ? ∥ 平面 ? ,点 A , C ? ? , 点 B , D ? ? , 且 AB ? 48 , CD ? 25 , 又 CD 在平面 ? 内 的射影长为 7,则 AB 于平面 ? 所长角的度数是 14. 若 a ? ? 2 ? 3 ? , b ? ? 2 ? 3 ? ,则 ? a ? 1 ? ? ? b ? 1 ? 的值是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15(本小题满分 12 分)
?2 ?2
?1
?1
若 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4 16(本小题满分 12 分)
x?
1 2
? 3 ? 2 ? 5 的最大值和最小值.
x
求过点 A ? 2 , ? 1 ? ,圆心在直线 y ? ? 2 x 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切的圆的方程. 17(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?
2 x
.
(1)判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明:函数 f ( x ) 在
?
2 , ?? 内是增函数.
D
A B
?
18(本小题满分 14 分) (本小题 14 分)如图,棱长为 1 的正方体
ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,
C
D1
(1)求证: AC ? 平面 B 1 D 1 DB ;
A1
C1
B1
(2) 求三棱锥 B ? ACB
1
的体积.
19. (本小题满分 12 分) 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若最初时含杂质 2%,每
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过滤一次可使杂质含量减少
1 3
,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?
(已知 lg 2 ? 0 .3 0 1 0 , lg 3 ? 0 .4 7 7 1 ) 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? lg ? a ? b
x x
??a ? 1 ? b ? 0?.
(1)求 y ? f ? x ? 的定义域; (2)在函数 y ? f ? x ? 的图像上是否存在不同的两点,使过此两点的直线平行于 x 轴; (3)当 a , b 满足什么关系时, f ? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上恒取正值. 答案: 一. B D A C B 二. 11.
7 3 3
D B C A B 12. ? ? ? , ?
?
? 1 2
?
?
2? ? 2 ?
x
13. 30
?
14.
2 3
三. 15. 解:原式可变形为 y ? 4 ? 4
x
? 3?2 ? 5 ,
(2 分) (4 分) (6 分) (8 分)
即y ?
x
1 2
? ?2
x
?
2
? 3 ? 2 ? 5 ?0 ? x ? 2?
x
令 2 ? t ,则问题转化为 y ? 将函数配方有 y ?
1 2
1 2 1 2
t ? 3t ? 5 ?1 ? t ? 4 ?
2
?t ? 3?
2
?
?1 ?
x ? 4?
根据二次函数的区间及最值可知: 当 t ? 3 ,即 2 ? 3 时,函数取得最小值,最小值为
x
1 2
.
(10 分) (12 分)
当 t ? 1 ,即 x ? 0 时,函数取得最大值,最大值为 16. 解:设圆心为 ? a ,? 2 a ? ,圆的方程为
5 2
.
? x ? a ?2
? ?y ? 2a ? ? r
2
2
(2 分)
? ?2 ? a ? 2 ? ?? 1 ? 2 a ? 2 ? r 2 ? 则? a ? 2a ? 1 ? r ? 2 ?
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(6 分)
解得 a ? 1 , r ?
2
2 2
(10 分) (12 分) (1 分)
因此,所求得圆的方程为 ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 17. 解: (1)函数的定义域是 ? ? ? , 0 ? ? ? 0 , ?? ?
? f (? x) ? ? x ?
? f ( x ) 是奇函数
2 ? x
? ?(x ?
2 x
) ? ? f (x)
(5 分)
(2)设
x1 , x 2 ?
?
2 , ? ? ,且 x 1 ? x 2
2 x1 ? (x2 ? 2 x2
?
(6 分)
则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ?
)
(7 分)
? ( x1 ? x 2 ) ? ( ? ( x 1 ? x 2 )(
?
2 x1
?
2 x2 )
)
x1 x 2 ? 2 x1 x 2
(10 分)
2 ? x 1 ? x 2 ,? x 1 ? x 2 ? 0 , x 1 x 2 ? 2 ? 0 , x 1 x 2 ? 0 (12 分)
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 )
(13 分) (14 分)
故 f (x) 在
?
2,+ ? 内是增函数
?
18. 解:(1)证明:? ?
? BB 1 ? 平面 ABCD ? AC ? 平面 ABCD
? BB 1 ? AC
(3 分) (5 分) (7 分)
在正方形 ABCD 中, AC ? BD ,
? AC ? 平面 B 1 D 1 DB
(2) V 三棱锥
B ? ACB
1
? V 三棱锥
C ? ABB
?
1
1 3
? CB ? S ? ABB 1 ? 1 3
1 6 2 3
(14 分) ,那么过滤 n 次后杂
19.解:每过滤一次可使杂质含量减少
?2? ?? ? , 质含量为 100 ? 3 ? 2
n
,则杂质含量降为原来的
(2 分)
结合按市场要求杂质含量不能超过 0.1%,
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1 ?2? ?2? ? ? ? ? 0 .1 % ,即 ? ? ? 则有 , 100 ? 3 ? 20 ?3? 2
n
n
(6 分)
则 n ? lg 2 ? lg 3 ? ? ? ? 1 ? lg 2 ? , 故n ?
1 ? lg 2 lg 3 ? lg 2 ? 7 .4 ,
(8 分)
(10 分) (12 分) (2 分)
考虑到 n ? N ,故 n ? 8 ,即至少要过滤 8 次才能达到市场要求. 20. 解: (1)由 a ? b ? 0 得 ?
x x
?a? ? ?1, ?b ?
x
由已知
a b
? 1 ,故 x ? 0 ,
(3 分) (4 分) (5 分)
x2
即函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ? ? ? . (2)设 x1 ? x 2 ? 0,? a ? 1 ? b ? 0,
?a
x1
? a
?b
x1
x2
,b
x1
? b 2 , 则 ?b
x
x2
x1
? ?b
.
(6 分) (7 分) (9 分) (10 分)
故a
x1
x1
? a
x1
?b
x2
? 0,
?b
x2
? lg ? a
?b
? ? lg ? a
x2
?
即 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? .? f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上为增函数.
假设函数 y ? f ? x ? 的图像上存在不同的两点 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,使直线 A B 平行于 x 轴,即 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ,这与 f ? x ? 是增函数矛盾.故函数 y ? f ? x ? 的图像上不存在不同 的两点,使过这两点的直线平行于 x 轴. (3)由(2)知, f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 是增函数,
? f
(11 分)
? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上也是增函数. ?x? ?
f ?1 ? .
(12 分) (13 分) (15 分)
? 当 x ? ? 1, ? ? ? 时, f
? 只需 f ? 1 ? ? 0 ,即 lg ? a ? b ? ? 0 ,即 a ? b ? 1 ,
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a ? b ? 1 时, f
? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上恒取正值.
(16 分)
全市平均分估计为 80 分
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