2007-2008学年度增城市高一上学期期末考试高一数学试题

2007-2008 学年度增城市高一上学期期末考试

数

学

试

题

满分 150 分 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
3 1. 若 ?2，?
M

?1，，，，? ， 则 M 的个数为： 2345
B. 6 C. 7
? lg (3 x ? 1)

A. 5 2. 函数 A.
f (x) ?

D. 8

3x

2

1? x

的定义域是： C.
? 1 1? ?? , ? ? 3 3?

? 1 ? ? ? , ?? ? ? 3 ?

B.

1? ? ? ?? , ? ? 3? ?

D.

? 1 ? ? ? ,1 ? ? 3 ?

3. 一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的表面积与侧面积之比是： A．
1 ? 2? 2?

B.

1 ? 4? 4?
1

C.

1 ? 2?

?
1

D.

1 ? 4?

?

4. 下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是： A. y ? x
2

B. y ? x 2 B. AC ? BD
2

C. y ? x 3 C. CD ? 平面 ABC C. [ ? 4 , 5 ]

D. y ? x

?3

5. 把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二角后，下列命题正确的是： A. AB ? BC A. [ ? 4 , ? ? ) D. 平面 ABC ? 平面 ACD D. [ ? 4, 5) 7 －129.6 6. 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x , x ? [1, 5) ，则此函数的值域为： B. [ ? 3, 5 ) 7. 已知函数 f ? x ? 的图像是连续不断的，有如下的 x , f ? x ? 对应值表： x 1 2 3 4 5 6
f

?x?

123.5

21.5

－7.82

11.57

－53.7

－126.7

那么函数 f ? x ? 在区间 ?1, 6 ? 上的零点至少有： A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

8. 若函数 f ? x ? 在 R 上是单调递减的奇函数，则下列关系式成立的是： A. f ? 3 ? ? f ? 4 ? B. f ? 3 ? ? ? f ? ? 4 ? C. ? f ? ? 3 ? ? f ? ? 4 ?
1 2
第 1 页（共 5 页）

D. f ? ? 3 ? ? f ? ? 4 ?

9. 已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1，且垂直于直线 y ?

x ，则 l 的方程是：

A. y ? ? 2 x ? 2

B. y ? ? 2 x ? 1

C. y ? 2 x ? 2
2 2

D. y ? 2 x ? 1

10. 若两直线 y ? x ? 2 k 与 y ? 2 x ? k ? 1 的交点在圆 x ? y ? 4 上，则 k 的值是： A. ?
1 5

或?1

B. ?

1 5

或1

C. ?

1 3

或1

D. ? 2 或 2

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在题中的横线上. 11. 圆台的上，下底面积分别为 ? , 4 ? ，侧面积为 6 ? ，则这个圆台的体积是
1
x ? x?
2

3 4

12. 对于函数 y ? ( )
2

的值域

13. 若平面 ? ∥ 平面 ? ，点 A , C ? ? , 点 B , D ? ? , 且 AB ? 48 , CD ? 25 , 又 CD 在平面 ? 内 的射影长为 7，则 AB 于平面 ? 所长角的度数是 14. 若 a ? ? 2 ? 3 ? , b ? ? 2 ? 3 ? ，则 ? a ? 1 ? ? ? b ? 1 ? 的值是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15（本小题满分 12 分）
?2 ?2

?1

?1

若 0 ? x ? 2 ，求函数 y ? 4 16（本小题满分 12 分）

x?

1 2

? 3 ? 2 ? 5 的最大值和最小值.
x

求过点 A ? 2 , ? 1 ? ,圆心在直线 y ? ? 2 x 上，且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切的圆的方程. 17（本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x ) ? x ?
2 x

.

（1）判断 f ( x ) 的奇偶性，并证明你的结论； （2）证明：函数 f ( x ) 在

?

2 , ?? 内是增函数.
D
A B

?

18（本小题满分 14 分） （本小题 14 分）如图，棱长为 1 的正方体
ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中，

C

D1

（1）求证： AC ? 平面 B 1 D 1 DB ;
A1

C1
B1

(2) 求三棱锥 B ? ACB

1

的体积.

19． （本小题满分 12 分） 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1％，若最初时含杂质 2％，每
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过滤一次可使杂质含量减少

1 3

，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？

（已知 lg 2 ? 0 .3 0 1 0 ， lg 3 ? 0 .4 7 7 1 ） 20． （本小题满分 16 分） 已知函数 f ? x ? ? lg ? a ? b
x x

??a ? 1 ? b ? 0?.

（1）求 y ? f ? x ? 的定义域； （2）在函数 y ? f ? x ? 的图像上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于 x 轴； （3）当 a , b 满足什么关系时， f ? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上恒取正值. 答案： 一. B D A C B 二. 11.
7 3 3

D B C A B 12. ? ? ? , ?
?
? 1 2

?

?

2? ? 2 ?
x

13. 30

?

14.

2 3

三. 15. 解：原式可变形为 y ? 4 ? 4
x

? 3?2 ? 5 ，

(2 分) (4 分) （6 分） （8 分）

即y ?
x

1 2

? ?2

x

?

2

? 3 ? 2 ? 5 ?0 ? x ? 2?
x

令 2 ? t ，则问题转化为 y ? 将函数配方有 y ?
1 2

1 2 1 2

t ? 3t ? 5 ?1 ? t ? 4 ?
2

?t ? 3?

2

?

?1 ?

x ? 4?

根据二次函数的区间及最值可知： 当 t ? 3 ，即 2 ? 3 时，函数取得最小值，最小值为
x

1 2

.

（10 分） （12 分）

当 t ? 1 ，即 x ? 0 时，函数取得最大值，最大值为 16. 解：设圆心为 ? a ,? 2 a ? ，圆的方程为

5 2

.

? x ? a ?2

? ?y ? 2a ? ? r
2

2

（2 分）

? ?2 ? a ? 2 ? ?? 1 ? 2 a ? 2 ? r 2 ? 则? a ? 2a ? 1 ? r ? 2 ?
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（6 分）

解得 a ? 1 ， r ?

2
2 2

（10 分） （12 分） （1 分）

因此，所求得圆的方程为 ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 17. 解： （1）函数的定义域是 ? ? ? , 0 ? ? ? 0 , ?? ?
? f (? x) ? ? x ?
? f ( x ) 是奇函数

2 ? x

? ?(x ?

2 x

) ? ? f (x)

（5 分）

（2）设

x1 , x 2 ?

?

2 , ? ? ，且 x 1 ? x 2
2 x1 ? (x2 ? 2 x2

?

（6 分）

则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ?

)

（7 分）

? ( x1 ? x 2 ) ? ( ? ( x 1 ? x 2 )(
?

2 x1

?

2 x2 )

)

x1 x 2 ? 2 x1 x 2

（10 分）

2 ? x 1 ? x 2 ，? x 1 ? x 2 ? 0 , x 1 x 2 ? 2 ? 0 , x 1 x 2 ? 0 （12 分）

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 )

（13 分） （14 分）

故 f (x) 在

?

2，＋ ? 内是增函数

?

18. 解:(1)证明：? ?

? BB 1 ? 平面 ABCD ? AC ? 平面 ABCD

? BB 1 ? AC

（3 分） （5 分） （7 分）

在正方形 ABCD 中， AC ? BD ,
? AC ? 平面 B 1 D 1 DB

(2) V 三棱锥

B ? ACB

1

? V 三棱锥

C ? ABB

?
1

1 3

? CB ? S ? ABB 1 ? 1 3

1 6 2 3

（14 分） ，那么过滤 n 次后杂

19.解：每过滤一次可使杂质含量减少
?2? ?? ? ， 质含量为 100 ? 3 ? 2
n

，则杂质含量降为原来的

（2 分）

结合按市场要求杂质含量不能超过 0.1％，
第 4 页（共 5 页）

1 ?2? ?2? ? ? ? ? 0 .1 % ，即 ? ? ? 则有 ， 100 ? 3 ? 20 ?3? 2

n

n

（6 分）

则 n ? lg 2 ? lg 3 ? ? ? ? 1 ? lg 2 ? ， 故n ?
1 ? lg 2 lg 3 ? lg 2 ? 7 .4 ，

（8 分）

（10 分） （12 分） （2 分）

考虑到 n ? N ，故 n ? 8 ，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求. 20. 解： （1）由 a ? b ? 0 得 ?
x x

?a? ? ?1， ?b ?

x

由已知

a b

? 1 ，故 x ? 0 ，

（3 分） （4 分） （5 分）
x2

即函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ? ? ? . （2）设 x1 ? x 2 ? 0,? a ? 1 ? b ? 0,
?a
x1

? a
?b
x1

x2

,b

x1

? b 2 , 则 ?b
x
x2

x1

? ?b

.

（6 分） （7 分） （9 分） （10 分）

故a

x1

x1

? a
x1

?b

x2

? 0，
?b
x2

? lg ? a

?b

? ? lg ? a

x2

?

即 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? .? f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上为增函数.

假设函数 y ? f ? x ? 的图像上存在不同的两点 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ，使直线 A B 平行于 x 轴，即 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ，这与 f ? x ? 是增函数矛盾.故函数 y ? f ? x ? 的图像上不存在不同 的两点，使过这两点的直线平行于 x 轴. （3）由（2）知， f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 是增函数，
? f

（11 分）

? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上也是增函数. ?x? ?
f ?1 ? .

（12 分） （13 分） （15 分）

? 当 x ? ? 1, ? ? ? 时， f

? 只需 f ? 1 ? ? 0 ，即 lg ? a ? b ? ? 0 ，即 a ? b ? 1 ，
第 5 页（共 5 页）

a ? b ? 1 时， f

? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上恒取正值.

（16 分）

全市平均分估计为 80 分

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