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2007-2008学年度增城市高一上学期期末考试高一数学试题


2007-2008 学年度增城市高一上学期期末考试









满分 150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
3 1. 若 ?2,?
M

?1,,,,? , 则 M 的个数为: 2345
B. 6 C. 7
? lg (3 x ? 1)

A. 5 2. 函数 A.
f (x) ?

D. 8

3x

2

1? x

的定义域是: C.
? 1 1? ?? , ? ? 3 3?

? 1 ? ? ? , ?? ? ? 3 ?

B.

1? ? ? ?? , ? ? 3? ?

D.

? 1 ? ? ? ,1 ? ? 3 ?

3. 一个圆柱的侧面展开图是正方形,这个圆柱的表面积与侧面积之比是: A.
1 ? 2? 2?

B.

1 ? 4? 4?
1

C.

1 ? 2?

?
1

D.

1 ? 4?

?

4. 下列函数中既是奇函数,又是其定义域上的增函数的是: A. y ? x
2

B. y ? x 2 B. AC ? BD
2

C. y ? x 3 C. CD ? 平面 ABC C. [ ? 4 , 5 ]

D. y ? x

?3

5. 把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二角后,下列命题正确的是: A. AB ? BC A. [ ? 4 , ? ? ) D. 平面 ABC ? 平面 ACD D. [ ? 4, 5) 7 -129.6 6. 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x , x ? [1, 5) ,则此函数的值域为: B. [ ? 3, 5 ) 7. 已知函数 f ? x ? 的图像是连续不断的,有如下的 x , f ? x ? 对应值表: x 1 2 3 4 5 6
f

?x?

123.5

21.5

-7.82

11.57

-53.7

-126.7

那么函数 f ? x ? 在区间 ?1, 6 ? 上的零点至少有: A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

8. 若函数 f ? x ? 在 R 上是单调递减的奇函数,则下列关系式成立的是: A. f ? 3 ? ? f ? 4 ? B. f ? 3 ? ? ? f ? ? 4 ? C. ? f ? ? 3 ? ? f ? ? 4 ?
1 2
第 1 页(共 5 页)

D. f ? ? 3 ? ? f ? ? 4 ?

9. 已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1,且垂直于直线 y ?

x ,则 l 的方程是:

A. y ? ? 2 x ? 2

B. y ? ? 2 x ? 1

C. y ? 2 x ? 2
2 2

D. y ? 2 x ? 1

10. 若两直线 y ? x ? 2 k 与 y ? 2 x ? k ? 1 的交点在圆 x ? y ? 4 上,则 k 的值是: A. ?
1 5

或?1

B. ?

1 5

或1

C. ?

1 3

或1

D. ? 2 或 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中的横线上. 11. 圆台的上,下底面积分别为 ? , 4 ? ,侧面积为 6 ? ,则这个圆台的体积是
1
x ? x?
2

3 4

12. 对于函数 y ? ( )
2

的值域

13. 若平面 ? ∥ 平面 ? ,点 A , C ? ? , 点 B , D ? ? , 且 AB ? 48 , CD ? 25 , 又 CD 在平面 ? 内 的射影长为 7,则 AB 于平面 ? 所长角的度数是 14. 若 a ? ? 2 ? 3 ? , b ? ? 2 ? 3 ? ,则 ? a ? 1 ? ? ? b ? 1 ? 的值是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15(本小题满分 12 分)
?2 ?2

?1

?1

若 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4 16(本小题满分 12 分)

x?

1 2

? 3 ? 2 ? 5 的最大值和最小值.
x

求过点 A ? 2 , ? 1 ? ,圆心在直线 y ? ? 2 x 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切的圆的方程. 17(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?
2 x

.

(1)判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明:函数 f ( x ) 在

?

2 , ?? 内是增函数.
D
A B

?

18(本小题满分 14 分) (本小题 14 分)如图,棱长为 1 的正方体
ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,

C

D1

(1)求证: AC ? 平面 B 1 D 1 DB ;
A1

C1
B1

(2) 求三棱锥 B ? ACB

1

的体积.

19. (本小题满分 12 分) 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若最初时含杂质 2%,每
第 2 页(共 5 页)

过滤一次可使杂质含量减少

1 3

,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?

(已知 lg 2 ? 0 .3 0 1 0 , lg 3 ? 0 .4 7 7 1 ) 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? lg ? a ? b
x x

??a ? 1 ? b ? 0?.

(1)求 y ? f ? x ? 的定义域; (2)在函数 y ? f ? x ? 的图像上是否存在不同的两点,使过此两点的直线平行于 x 轴; (3)当 a , b 满足什么关系时, f ? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上恒取正值. 答案: 一. B D A C B 二. 11.
7 3 3

D B C A B 12. ? ? ? , ?
?
? 1 2

?

?

2? ? 2 ?
x

13. 30

?

14.

2 3

三. 15. 解:原式可变形为 y ? 4 ? 4
x

? 3?2 ? 5 ,

(2 分) (4 分) (6 分) (8 分)

即y ?
x

1 2

? ?2

x

?

2

? 3 ? 2 ? 5 ?0 ? x ? 2?
x

令 2 ? t ,则问题转化为 y ? 将函数配方有 y ?
1 2

1 2 1 2

t ? 3t ? 5 ?1 ? t ? 4 ?
2

?t ? 3?

2

?

?1 ?

x ? 4?

根据二次函数的区间及最值可知: 当 t ? 3 ,即 2 ? 3 时,函数取得最小值,最小值为
x

1 2

.

(10 分) (12 分)

当 t ? 1 ,即 x ? 0 时,函数取得最大值,最大值为 16. 解:设圆心为 ? a ,? 2 a ? ,圆的方程为

5 2

.

? x ? a ?2

? ?y ? 2a ? ? r
2

2

(2 分)

? ?2 ? a ? 2 ? ?? 1 ? 2 a ? 2 ? r 2 ? 则? a ? 2a ? 1 ? r ? 2 ?
第 3 页(共 5 页)

(6 分)

解得 a ? 1 , r ?

2
2 2

(10 分) (12 分) (1 分)

因此,所求得圆的方程为 ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 17. 解: (1)函数的定义域是 ? ? ? , 0 ? ? ? 0 , ?? ?
? f (? x) ? ? x ?
? f ( x ) 是奇函数

2 ? x

? ?(x ?

2 x

) ? ? f (x)

(5 分)

(2)设

x1 , x 2 ?

?

2 , ? ? ,且 x 1 ? x 2
2 x1 ? (x2 ? 2 x2

?

(6 分)

则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ?

)

(7 分)

? ( x1 ? x 2 ) ? ( ? ( x 1 ? x 2 )(
?

2 x1

?

2 x2 )

)

x1 x 2 ? 2 x1 x 2

(10 分)

2 ? x 1 ? x 2 ,? x 1 ? x 2 ? 0 , x 1 x 2 ? 2 ? 0 , x 1 x 2 ? 0 (12 分)

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 )

(13 分) (14 分)

故 f (x) 在

?

2,+ ? 内是增函数

?

18. 解:(1)证明:? ?

? BB 1 ? 平面 ABCD ? AC ? 平面 ABCD

? BB 1 ? AC

(3 分) (5 分) (7 分)

在正方形 ABCD 中, AC ? BD ,
? AC ? 平面 B 1 D 1 DB

(2) V 三棱锥

B ? ACB

1

? V 三棱锥

C ? ABB

?
1

1 3

? CB ? S ? ABB 1 ? 1 3

1 6 2 3

(14 分) ,那么过滤 n 次后杂

19.解:每过滤一次可使杂质含量减少
?2? ?? ? , 质含量为 100 ? 3 ? 2
n

,则杂质含量降为原来的

(2 分)

结合按市场要求杂质含量不能超过 0.1%,
第 4 页(共 5 页)

1 ?2? ?2? ? ? ? ? 0 .1 % ,即 ? ? ? 则有 , 100 ? 3 ? 20 ?3? 2

n

n

(6 分)

则 n ? lg 2 ? lg 3 ? ? ? ? 1 ? lg 2 ? , 故n ?
1 ? lg 2 lg 3 ? lg 2 ? 7 .4 ,

(8 分)

(10 分) (12 分) (2 分)

考虑到 n ? N ,故 n ? 8 ,即至少要过滤 8 次才能达到市场要求. 20. 解: (1)由 a ? b ? 0 得 ?
x x

?a? ? ?1, ?b ?

x

由已知

a b

? 1 ,故 x ? 0 ,

(3 分) (4 分) (5 分)
x2

即函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ? ? ? . (2)设 x1 ? x 2 ? 0,? a ? 1 ? b ? 0,
?a
x1

? a
?b
x1

x2

,b

x1

? b 2 , 则 ?b
x
x2

x1

? ?b

.

(6 分) (7 分) (9 分) (10 分)

故a

x1

x1

? a
x1

?b

x2

? 0,
?b
x2

? lg ? a

?b

? ? lg ? a

x2

?

即 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? .? f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上为增函数.

假设函数 y ? f ? x ? 的图像上存在不同的两点 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,使直线 A B 平行于 x 轴,即 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ,这与 f ? x ? 是增函数矛盾.故函数 y ? f ? x ? 的图像上不存在不同 的两点,使过这两点的直线平行于 x 轴. (3)由(2)知, f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 是增函数,
? f

(11 分)

? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上也是增函数. ?x? ?
f ?1 ? .

(12 分) (13 分) (15 分)

? 当 x ? ? 1, ? ? ? 时, f

? 只需 f ? 1 ? ? 0 ,即 lg ? a ? b ? ? 0 ,即 a ? b ? 1 ,
第 5 页(共 5 页)

a ? b ? 1 时, f

? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上恒取正值.

(16 分)

全市平均分估计为 80 分

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