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山东省济宁市鱼台一中2013-2014学年高二上学期期中检测 数学理 Word版含答案

鱼台一中 2013—2014 学年高二上学期期中检测 数学(理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题只有一个选项符合题目要 求.) 1.设 M ? {1, 2} , N ? {a 2 } ,则“ a ? 1 ”是“ N ? M ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) C. y ? lg x ? logx 10 D. y )

2.在下列函数中,最小值不是 2 的是( A. y ? x ?

1 x

B. y ?

x2 ? 2 x ?1
2

? 3 x ? 3? x

3.抛物线 y ? 2x2 的焦点坐标是 ( A. (1,0) B. (0, )



1 4

C. ( ,0)

1 4

D. (0, )

1 8

4.过点(2,1)的直线中,被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得弦长最长的直线方程为( A. 3 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 3 x ? y ? 7 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0



2 5.已知 p : 4 x ? m ? 0, q : x ? x ? 2 ? 0, 若 p 是 q 的一个充分不必要条件,则实数 m 的

取值范围是( A. ?8,???
2 2

) B. ?4,??? C.

?? ?,4?

D.

?? ?,?4?

6.椭圆 4 x +y ? k 上两点间最大距离是 8,那么 k =( A.32 B.16 C.8 7. 已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x = 则 ? =( ) π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4

) D. 4

? 5? 和x= 是 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻对称轴, 4 4

8.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? n
1

? Sn

,称 Tn 为数列 a1 ,a2 ,??,an

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a502 的“理想数”为 2012, 的“理想数”, 已知数列 a1 , ??, 那么数列 3, ??, a2 , a1 , a2 , a502 的“理想数”为( )
A .2011 9.若双曲线 离为( A.2 B. 2012 C. 2013 D .2014

5 x2 y2 x ,则双曲线焦点 F 到渐近线 l 的距 ? ? 1 的渐近线 l 方程为 y ? ? 9 m 3
) B. 14 C.2 5 D.

5

10. 设定点 F1 ?0,?3? , F2 ?0,3? ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? a ? 迹是( A.椭圆 C.线段 ) B.椭圆或线段 D.无法判断
2 2

9 a

?a ? 0? ,则点 P 的轨

11.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c -b )tan B= 3ac,则角 B 的值为( A. C. π 6 π 5π 或 6 6
2

2

) B. D. π 3 π 2π 或 3 3

12.试在抛物线 y ? ?4 x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A?? 2,1? 的距离之 和最小,则该点坐标为 ( A. ? ? ) C. ? 2,?2 2

? 1 ? ,1? ? 4 ?

B. ? ,1?

?1 ? ?4 ?
2

?

?
.

D. ? 2,2 2

?

?

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 。 13.命题“存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 ”的否定为

14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后,水面 宽度是________米. 15 . 设 命 题

? p : 4x ? 3 ≤1 , 命 题 q : 2x? ( 2a

1? x )


a≤ ? (a

, 若 1 )

0

“ ?p是?q的必要而不充分条件 ”则实数 a 的取值范围是

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2,过原点 O 作直线与椭圆相交于 A,B 两点. 16.椭圆 45 20
若 ?ABF2 的面积是 20,则直线 AB 的方程是_______________________.
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三、 解答题 (本题共 6 小题, 共 70 分.解答时要写出必要的文字说明、 推理过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ?各项均为正数, b1 ? 1 ,且

b2 ? S 2 ? 12 , ?bn ?的公比 q ?

S2 b2

(1)求数列 ?an ?与 ?bn ?的通项公式; (2)求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn ? Sn ?

18. (本小题满分 12 分)

p : ?x0 ? R, 使得 ax02 ? 2x0 ?1 ? 0 成立; q :方程 x 2 ? ?a ? 3?x ? a ? 0 有两个不相等正
实根; (1) 写出

?p ; ? p 为真命题,求实数 a 的取值范围;

(2) 若命题

( 3 ) 若命题“ p 或 q ”为真命题,且“ p 且 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x 2 ? ? y ? 1? ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 , m ? R 。
2

(1)若直线 l 过圆 C 的圆心,求 m 的值;(5 分) (2)若直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,且 AB ? 17 ,求直线 l 的倾斜角. (7 分)
山东、北京、天津、云南、贵州、江西 3 六地区试卷投稿 QQ 2355394694

20. (本小题满分 12 分) 点 M ( m ,4) m ? 0 为抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 上一点, F 为其焦点,已知 FM ? 5 , (1)求 m 与 p 的值; (4 分) (2)以 M 点为切点作抛物线的切线,交 y 轴与点 N ,求 ?FMN 的面积。 (8 分)

21. (本小题满分 12 分) 已知双曲线过点 P (?3 2 ,4) ,它的渐近线方程为 y ? ? (1)求双曲线的标准方程; (5 分) (2) 设 F1 和 F2 是该双曲线的左、 右焦点, 点 P 在双曲线上, 且 PF1 ? PF2 ? 55 , 求 ?F1 PF2 的余弦值.(7 分)

4 x 3

22. (本小题满分 12 分)

x2 y2 6 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 2 a b 3 3 A(0,-b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 . 2
如图,已知椭圆 (1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

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鱼台一中 2013—2014 学年高二上学期期中检测
参考答案: 1-5 ACDAB 6-10 BAADB 11-12 DA 13. 任意有理数 x ,使 x ? 2 ? 0
2

14:

4 2

? 1? 0, ? ? 2? ? 15.
17.(1)设 ?an ?公差为d,由已知可得

16:

4 y?? x 3

?q ? 3 ? (3 ? d ) ? 12 ? 3 ? (3 ? d ) ? q ? ? q ?
又 q ? 0 ??

?d ? 3 ?q ? 3

? an ? 3 ? (n ? 1)3 ? 3n
bn ? 3n ?1
(2)由(1)知数列 ?an ?中, a1 ? 3 , an ? 3n

? Sn ?

n(3 ? 3n) 2

?

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1
1 1 1 ? ?? S1 S 2 Sn

? Tn ?

2 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ] 3 2 2 3 n n ?1
2 1 2n (1 ? )? 3 n ?1 ( 3 n ? 1) ? p : ?x ? R, ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 成立. 18.(1) ?
2 (2) a ? 0 时 ax ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立.

由?

?a ? 0 得 a ? ?1 . ?? ? 0
2

(3)设方程 x ? ?a ? 3?x ? a ? 0 两个不相等正实根为 x1 、 x2
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?? ? 0 ? 命题 q 为真 ? ? x1 ? x 2 ? 0 ? 0 ? a ? 1 ?x x ? 0 ? 1 2
由命题“ p 或 q”为真,且“ p 且 q”为假,得命题 p 、q 一真一假 ①当 p 真 q 假时,则 ?

? a ? ?1 得 ?1 ? a ? 0 或a ? 1 ? a ? 0或a ? 1

②当 p 假 q 真时,则 ?

?a ? ?1 无解; ?0 ? a ? 1

∴实数 a 的取值范围是 ?1 ? a ? 0 或a ? 1 . 19.解: (1)圆心 C (0, 1) ,由 C 在直线上,代入直线方程解得: m ? 0 (2)设 d 为圆心到直线的距离,则 d ? 由 AB ? 2 r ? d
2 2

m 1 ? m2



? 17 解得: m ? ? 3 ,

而该直线的斜率为 m ,所以倾斜角 ? (? ? ?0, ? ?) 的正切值 tan? ? ? 3 , 所以 ? ?

?
3

或? ?

2? 3 p ? 4 ? 5 ,所以: p ? 2 2

20.解: (1)由抛物线定义知: FM ?

所以:抛物线的方程为: x 2 ? 4 y ,又由 M (m,4) 在抛物线上,? m ? 4 故: p ? 2 , m ? 4 (2)设过 M 点的切线方程为: y ? 4 ? k ( x ? 4) ,代入抛物线方程消去 y 得:

x 2 ? 4kx ? 16k ? 16 ? 0 ,其判别式 ? ? 16k 2 ? 64(k ? 1) ? 0 ,所以: k ? 2
切线方程为: y ? 2 x ? 4 切线与 y 轴的交点为 N (0,?4) 抛物线的焦点 F (0,1) 所以: S ?FMN ?

1 1 FN ? m ? ? 5 ? 4 ? 10 2 2

x2 y2 ? ? m ,由于 P(?3 2,4) 在该双曲线上, 21.解: (1)设所求双曲线的方程为: 9 16

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代入方程解得 m ? 1 , 所以所求双曲线方程为:

x2 y2 ? ?1 9 16

(2)由双曲线定义: PF1 ? PF2 ? 6 ,在 ?F1 PF2 中,由余弦定理:

cos?F1 PF2 ?

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2

2

2

2

?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 ? F1 F2 2 PF1 PF2

2

?

23 55

22.解: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1
椭圆方程为



x2 ? y2 ? 1 . 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? 得 (1 ? 3k 2 ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .
2

? y ? kx ? 2,
2 2 ?x ? 3 y ? 3 ? 0



? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则



y1 ? y2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1
③--10 分

即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

∴ (k ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0
2

7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6

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7

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