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2.4平面向量数量积导学案


2014-2015 莱芜一中高一数学必修一导学案 编制人:张永华

审核人:

张俊峰

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系列

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
使用说明及学法指导
先阅读教材 P103-P105.在理解物理学中作“功”的实例引出数量积的几何概念之后,学习 向量数量积的性质与运算律。

? ? 当 a 与 b 反向时, ? ? 180? , a ? b = ? ? ? ? ? ⑶当 a ? b ,即 a ? a = ,或 a ?

; ;

? ? a ?b ⑷cos? = ? ? | a || b |

? ? ⑸因为 cos? ? 1 ,所以 a ? b

? ? a b .

学习目标:
1、了解平面向量数量积的物理背景,理解向量的数量积概念及几何意义;会求两个向量的数量 积;掌握数量积的运算律及性质; 2、自主学习,合作探究向量数量积的运算性质及应用; 3、激情投入,高效学习,享受学习数学的快乐。

问题 4:向量的数量积(或内积)几何意义 ? ? ? ? ? (1)向量投影的概念:如图,我们把 a cos? 叫做向量 a 在 b 方向上的投影; b cos? 叫做向量 b ? 在 a 方向上的投影. ? 说明:如图, OB1 ? b cos? . 向量投影也是一个数量,不是向量; 当 ? 为锐角时投影为正值;当 ? 为钝角时投影为负值; 当? = 0?时投影为 | b |;当?=90?时投影为 0;当? = 180?时投影 为 ?| b | 作图:

预习案
新知导学: 问题 1:如下图,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ,那么力 F 所做的功 ,其中 ? 是 . W= 思考:这个公式的有什么特点?请完成下列填空: F (力) 是 量; S (位移) 是 量; ; W (功) 是 量; ?是 结论:功是一个标量,功是力与位移两个向量的大小及其夹角余弦的 乘积 启示:能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种运算的结果呢? 问题 2:向量的数量积(或内积)的定义 ? ? ? ? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 和 b , 我们把数量 a b cos ? 叫做 a 和 b 的数量积 (或内积) , 记作 a ? b , ? ? ? ? ? ? 即 a ? b ? a b cos ? .其中 ? 是 a 和 b 的夹角(0≤θ ≤π ) 说明:①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。

?

?

(2)向量的数量积的几何意义:数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上的 投影︱ b ︱cos ? 的乘积。 预习自测:

??? ? ? ??? ? ? ? ? ② 两个非零向量夹角的概念:非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,

??? ? ???? 1.在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 2 , ?BAD ? 120? ,则 AB ? AD 为( A.4 B.-4 C.8 D.-8
2.若 a ? b <0,则 a 与 b 的夹角 ? 的取值范围是( A. ?0, ? ? 2?



? ?

? ? 则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫 a 与 b 的夹角(两向量必须是同起点) ? ? ③“规定” :零向量与任何向量的数量积为零,即 0 ? a ? 0 。
思考:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小因素有哪些? 数量积的符号由 cos?的符号所决定,完成下表:

?

?

) D. ?

? ??

B. ? , ? ? ?2 ?

??

?

C. ?

?? ? ,? ? ?2 ?

?? ? ,? ? ?2 ?
.

? ? ? ? ? ? 2. a ? 4, a 与 b 的夹角为 30 ,则 a 在 b 方向上的投影为
我的疑惑

? 的范围

0°≤ ? <90°

? =90°

0°< ? ≤180°

a · b 的符号
问题 3:由定义得到的数量积的性质。 ? ? 设 a 和 b 都是非零向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ? ? ? ? ⑴当 a 与 b 垂直时, ? ? 90? ,即 a ? b ? a ? b ? ? ? ⑵当 a 与 b 同向时, ? ? 0? , a ? b = ;



2014-2015 莱芜一中高一数学必修一导学案 编制人:张永华

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张俊峰

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系列

探究案
0 例 1(1) 已知| a ? 5, b ? 4 a 与 b 的夹角为 120 求 a ? b
0 0 0

?

?

?

?

??

(2) 夹角为90 (3) 夹角为0 (4) 夹角为180

(5)夹角为θ

例 4:已知非零向量 a 和 b 满足 a ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? 2 b ,且 a ? b 与 a ? 2b 垂直,求证: a ? b .

拓展:已知正三角形 ABC 的边长为 1,求: AB ? BC

??? ? ??? ?
拓展(1) :若向量 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a ? 3 , b ? 1 , c ? 4 , 则 a? b + b?c + a?c =

?

?

?

? ? ?

?

?

?

?

? ? ?? ??

.

例 2: (1) a ? b

? ? ?a
2

2

? 2a ? b ? b

2

(2) a ? b ? a ? b ? a ? b

? ?? ?

2

2

(2) :已知 a , b 是非零向量,且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,求 a 与 b 的夹角

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3:已知 a ? 5, b ? 2, a 与 b 的夹角为 120 ,求 a ? 2b ? a ? 3b 的值.

?

? ?

?

选作:已知 a ? b ,且 a ? 2 , b ? 1 ,若对两个不同时为零的实数 k , t ,使得 a ? (t ? 3)b 与

?

?

?

?

?

?

,求 a ? 2b ? a ? 3b 的值.

?

?

?

? ?

?

?

?

? ? ?ka ? tb 垂直,试求 k 的最小值.

? 变式:已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? 4, b ? 2,求:

?

?

?

?

? ? ? ? (1) a ? b ;(2) 3a ? 4b

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