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天津市部分区2017届高三下学期质量调查(一)数学(理)试题 Word版含答案


天津市部分区 2017 年高三量调查试卷(一) 数学(理工类)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 3, x ? N}, B ? {x | y ? A. ?1, 2? B. ?1, 2,3? C. ?0,1, 2?

x 2 ? 9} ,则 A ? (CR B) ?

D. (0,1)

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 2、若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?
A.-1 B.0 C.1 D.2

3、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为 A.4 B.6 C.8 D.10

4、在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 B ? A.3 B. 2 3
2

?
3

, b ? 6,sin A ? 2sin C ? 0 ,则 a ?

C. 4 3

D.12

5、已知 p : x ? 4 x ? 3 ? 0, q : f ? x ? ? A.充分不必要条件

x2 ? 1 存在最大值和最小值,则 p 是 q 的 x
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B.充要条件

6、已知抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点 F 恰好为双曲线 曲线的渐近线的距离是 4,则双曲线的方程为 A.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点,且点 F 到双 a 2 b2

x2 y 2 ? ?1 41 16

B.

x2 y 2 ? ?1 21 4

C.
0

x2 y 2 ? ?1 3 4

D.

x2 y 2 ? ?1 9 16

M 是 AO 上一点, 7、 在 ?ABC 中, 且 AO ? 3MO , AC ? 2 AB ? 2, ?BAC ? 120 , O 是 BC 的中点,
则 MB ? MC 的值是 A. ?

????

???? ?

???? ???? ?
5 6

B. ?

7 6

C. ?

7 3

D. ?

5 3

8、已知函数 f ? x ? ? ?

?2 x , x ? (??, 0] ? ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ? a 有三个零点, 2 ? ? x ? 2ax ? 1, x ? (0, ??)

则实数 a 的取值范围是 A. (0, ??) B. (??, ?1) C. (??, ?3) D. (?3, 0)

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卷的横线上.. 9、已知 a, b ? R, i 是虚数单位,若复数

2 ? bi ? ai ,则 a ? b ? 1? i
(用数字填写答案)

?1 10、 ( x ? ) 的展开式中, x 的系数是
7

2 x

11、某三棱锥的三视图如图所示,则该几何体的体积为 12、直线 y ? 4 x 与曲线 y ? 4 x2 在第一象限围成的封闭图形 的图形的面积为 13、在直线坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 3 ? t ,曲线 C 的参数方程 (t 为参数, a ? R ) ? y ? 1 ? at

为?

? x ? 2 ? 2cos ? (? 为参数)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,当弦长 AB 最短时,直线 l 的普 ? y ? 2sin ?

通方程为 14 、 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 上 单 调 递 增 , 若 实 数 x 满 足 ,则 x 的取值是 f ( log ? f ? ( 1) 1 x? 1 )
2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin( x ?

?
6

) cos x ? 1 .

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)当 x ? [

, ] 时,求函数 f ? x ? 的最大值和最小值. 12 2

? ?

16、 (本小题满分 13 分) 某校高三年级准备矩形一次座谈会,其中三个班被邀请的学生数如下表所示:

(1)若从这 10 名学生中随机选出 2 名学生发言,求这 2 名学生不属于同一班级的概率; (2)若从这 10 名学生中随机选出 3 名学生发言,设 X 为来自高三(1)班的学生人数,求随机变 量 X 的分布列和数学期望.

17、 (本小题满分 13 分) 如图,五面体 PABCD 中, CD ? 平面 PAD, ABCD 为直角梯形,

?BCD ?

?
2

, PD ? BC ? CD ?

1 AD, AP ? PD . 2

(1)若 E 为 AP 的中点,求证: BE / / 平面 PCD ; (2)求二面角 P ? AB ? C 的余弦值; (3)若点 Q 在线段 PA 上,且 BQ 与平面 ABCD 所成的角为

? ,求 CQ 的长. 6

18、 (本小题满分 13 分) 已知正项数列 ?an ? 满足
2 an?1 an?1 4an ? ? ? 2(n ? 2, n ? N ? ) ,且 a6 ? 11 ,前 9 项和为 81. an?1 an?1 an?1an?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?lg bn ? 的前 n 项和为 lg(2n ? 1) ,记 cn ?

anbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 2n ?1

21、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 b. 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若点 M ( 3,

3 ) 在椭圆 C 上,不过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,与直线 OM 相较 2

于点 N,且 N 是线段 AB 的中点,求 ?OAB 面积的最大值.

20、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ?

1 2 x ? ax ? ln x (a ? R ) . 2

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间; (3)若函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,求证: 4 f ( x1 ) ? 2 f ( x2 ) ? 1 ? 3ln 2 .

天津市部分区 2017 年高三质量调查试卷(一) 数
一、选择题: (1)-(4)ABCC (5)-(8)ADDC 二、填空题: (9)4 (10) ? 280 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解 :( Ⅰ ) f ( x) ? sin( x ? (11) 2 (12) 1 (13) x ? y ? 4=0 (14) ( ?3,? ) ? ( ?

学(理工类)

3 2

1 ,1) 2

?
6
2

) cos x ? 1=(sin x cos

?

? cos x sin ) cos x ? 1 , ..............2 分 6 6

?

?
=

3 1 sin x c oxs? 2 2
1 ? (cos 2 6 si xn ?2

c oxs?

3 1= 4

1 x s? in 2 4

3 xc ?, os 2 4

?

3 1 s i n x c? os 2 ) 6 4 2

? 3 x =? s i n ?( 2 ) .............................4 分 6 4

2? ? ? . .......................................................................................................6 分 2 1 ? 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? , 2 6 4 ? ? ? 5? ] ,...................................................................8 分 因为 x ? [ , ] ,所以 2 x ? ? [0, 12 2 6 6
所以周期 T ? 所以 sin(2 x ? 故当 x?

?

?
3

6

) ? [0,1] ,.................................................................................................10 分 5 ? ;当 x? 时 , 函 数 f ( x) 的 最 小 值 为 4 12

时 , 函 数 f ( x) 的 最 大 值 为

3 . 4

.......................................................................................................................................13 分

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)从 10 名学生随机选出 2 名的方法数为 C10 ,选出 2 人中不属于同一班级的方法数为
1 1 1 2C1 4 ? C3 ? C3 ? C3
2

…………………4 分

设 2 名学生不属于同一班级的事件为 A
1 1 1 2C1 11 4 ? C3 ? C3 ? C3 所以 P( A) ? ? . 2 C10 15

………………………………………………6 分

(Ⅱ) X 可能的取值为 0,1, 2,3

P( X ? 0) ?

C3 7? 6?5 7 7 ; ? ? 3 C10 10 ? 9 ? 8 24
2 1 C7 C3 6 ? 7 ? 6 ? 3 21 ? ? ; 3 C10 2 ?10 ? 9 ? 8 40 2 C1 6? 7?3 7 7 C3 ; ? ? 3 C10 10 ? 9 ? 8 40

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

C3 6 1 . P( X ? 3) ? 33 ? ? C10 10 ? 9 ? 8 120
所以 X 的分布列为

………………………………10 分

X

0

1

2

3

P

7 24

21 40

7 40

1 120

所以

E( X ) ?

7 21 7 1 9 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ……………………………………13 分 24 40 40 120 10

(17)(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:取 PD 的中点 F ,连接 EF, CF ∵ E , F 分别是 PA , PD 的中点, ∴ EF // AD 且 EF ? ∵ BC ?

1 AD ;…………………………1 分 2

1 AD , BC // AD , 2

∴ EF // BC 且 EF ? BC ; ∴ BE // CF . …………………………3 分 又 BE ? 平面 PCD , CF ? 平面 PCD , ∴ BE // 平面 PCD .…………………………4 分 (Ⅱ) (方法一) 以 P 为坐标原点, PD, PA 所在直线分别为 x 轴和 y 轴,建立如图所示的空间直 角坐标系,不妨设 BC ? 1 ,则

1 3 ,1), P(0,0,0), A(0, 3,0), D(1,0,0) , C (1, 0,1), B( , 2 2

??? ? ??? ? 1 ???? 3 PA ? (0, 3,0), AB ? ( , ? ,1), AD ? (1, ? 3,0) .……………………………6 分 2 2
设 平 面 PAB 的 一 个 法 向 量 为 n = ( x, y, z ) , 则

??? ? ? 3 y ? 0, ? n ? PA ? 0, ? ? 从而 ? 1 ? ? ??? 3 n ? AB ? 0, y ? z ? 0. ? ? x? ? ?2 2
令 x ? 2 ,得 n = (2, 0, ?1) . …………………………7 同 理 可 求 平 面 ABD 的 一 个 法 向 量 为 分

m = (3, 3,0) . …………………………8 分

cos n, m ?

n ?m 6 15 . ? ? n m 5 5 ? 12

平面 ABD 和平面 ABC 为同一个平面,

所以二面角 P ? AB ? C 的余弦值为

15 . …………………………10 分 5

(方法二) 以 D 为坐标原点, DA, DC 所在直线分别为 x 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐 标系,

不妨设 BC ? 1 ,则 P( ,

1 3 ,0), A(2,0,0), D(0,0,0) , C (0,0,1), B(1,0,1), 2 2

??? ? 3 ??? ? 3 PA ? ( , ? , 0), AB ? (?1, 0,1), ……………………6 分 2 2
??? ? ?3 3 ? ? n ? PA ? 0 ? x ? y?0 设平面 PAB 的一个法向量为 n = ( x, y, z ) ,则 ? ??? , ?2 ,令 y ? 3 ,得 ? 2 ? ?n ? AB ? 0 ? ? x ? z ? 0 ?
x ? z ? 1 ,即 n = (1, 3,1) . …………………………7 分
易求平面 ABC 的一个法向量为 m = (0,1,0) . …………………………8 分

cos n, m ?

n ?m 3 15 . ? ? n m 5 5
15 . …………………………10 分 5
由 (II) 知 平 面

所以二面角 P ? AB ? C 的余弦值为

(Ⅲ) (方法一)建系同(II)(方法一) ,设 Q(0, x,0), ABCD 的 一 个 法 向 量 为 m = (3, 3,0) ,

??? ? 1 3 BQ ? (? , x ? , ?1) ;…………………………11 分 2 2
若 BQ 与 平 面 ABCD 所 成 的 角 为

??? ? BQ ? m sin ? ??? ? ? 6 BQ m

? ,则 6

?

3x ? 3 2 3? 5 3 2 ? (x ? ) 4 2

解得 x ?

??? ? ??? ? 3 3 3 21 , 0), CQ ? (?1, , ?1), CQ ? ,所以 Q(0, .…………………13 分 3 3 3 3

(方法二)建系同(II)(方法二) ,设 AQ ? ? AP ? (?

????

??? ?

3 3 ? , ? ,0) , 2 2

则 BQ ? BA ? AQ ? (1 ?

??? ?

??? ? ????

??? ? ??? ? ???? 3 3 3 3 ? , ? , ?1), CQ ? CA ? AQ ? (2 ? ? , ? , ?1), 2 2 2 2

由(II)知平面 ABCD 的一个法向量为 m = (0,1,0) .…………………………11 分

??? ? BQ ?m ? ? ? 若 BQ 与平面 ABCD 所成的角为 ,则 sin ? ??? ? 6 6 BQ m

3 ? 2 3 2 3 2 (1 ? ?) ?( ?) ?1 2 2

.

解得 ? ?

??? ? ??? ? 3 3 21 2 ,则 CQ ? (1, ………13 分 , ?1) ,从而 | CQ |? 12 ? ( )2 ? (?1)2 ? 3 3 3 3

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由
2 2

an?1 an?1 4an ? ? ? 2 ,得 an?1 an?1 an?1an?1
2

2

an?1 ? an?1 ? 4an ? 2an?1an?1 ,
整理得 an?1 ? an?1 ? 2an ,所以 ?an ?为等差数列,…………… 2 分 由 a6 ? 11,前 9 项和为 81,得 an ? 2n ? 1;…………… 4 分 当 n ? 1 时, lg b1 ? lg 3 ,即 b1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, lg b1 ? lg b2 ? ? ? lg bn ? lg(2n ? 1) …………………………………①,

lg b1 ? lg b2 ? ?? lg bn?1 ? lg(2n ?1) …………………………………②
① ? ②,得 lg bn ? lg(2n ? 1) ? lg(2n ? 1) ? lg 所以 bn ?

2n ? 1 …………… 7 分 2n ? 1 a ?b 2n ? 1 (Ⅱ) cn ? n n ?1n ? n ?1 …………… 8 分 2 2 3 5 7 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2

2n ? 1 (n≥2) 2n ? 1

2n ? 1 , 2n ? 1

b1 ? 3 满足 bn ,所以 bn ?

又 2Tn ?

3 5 7 2n ? 1 ? 2 ? 3 ?? ? n , 1 2 2 2 2

…………… 9 分

以上两式作差,得 Tn ?

3 2 2 2 2n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2

1 1 ? n 3 1 1 1 2n ? 1 3 2n ? 1 所以 Tn ? ? ( ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? 2 2 ? n ?1 , 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 2
因此, Tn ?

5 2 n? 5 ? n ?1 .……………………………… 13 分 2 2

(19)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意,得 a ? c ?

3 b ,…………………………………1 分 3
1 3

则 (a ? c)2 ? b2 ,结合 b 2 ? a 2 ? c 2 ,得 (a ? c)2 ? (a2 ? c2 ) , 即 2c 2 ? 3ac ? a 2 ? 0 ,……………………………………………………2 分 亦即 2e2 ? 3e ? 1 ? 0 ,结合 0 ? e ? 1 ,解得 e ? 所以椭圆 C 的离心率为

1 3

1 . 2

1 .………………………………………………4 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a ? 2c ,则 b2 ? 3c2 . 将 M ( 3,

x2 y2 3 ) 代入椭圆方程 2 + 2 ? 1 ,解得 c ? 1 . 4c 3c 2 x2 y 2 + ? 1 .………………………………………………6 分 4 3

所以椭圆方程为

易得直线 OM 的方程为 y ?

1 x. 2 1 x 上,故直线 l 的斜率存在. 2

当直线 l 的斜率不存在时, AB 的中点不在直线 y ? 设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) ,与

x2 y 2 + ? 1 联立消 y 得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ,
所以 ? ? 64k m ? 4(3 ? 4k )(4m ?12) ? 48(3 ? 4k ? m ) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8km 4m 2 ? 12 x x ? , .……………………8 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

6m 4km 3m , ), ,得 AB 的中点 N (? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 4km 3m 3 ? 2? 因为 N 在直线 y ? x 上,所以 ? ,解得 k ? ? . ……………10 分 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
由 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 所以 ? ? 48(12 ? m2 ) ? 0 ,得 ? 12 ? m ? 12 ,且 m ? 0 ,

3 13 AB ? 1 ? ( )2 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2 2

?

13 12m 2 4m2 ? 12 39 ( ) ? 4? ? 12 ? m2 . 2 3?9 3?9 6
2m 13
, ………………………………12 分

又原点 O 到直线 l 的距离 d ?

所以 S△OAB ?

2m 1 39 3 ? 12 ? m2 ? ? (12 ? m2 )m2 2 6 6 13
? 3 12 ? m2 ? m2 ? ? 3. 6 2

当且仅当 12 ? m2 ? m2 , m ? ? 6 时等号成立,符合 ? 12 ? m ? 12 ,且 m ? 0 . 所以 △OAB 面积的最大值为 3 . (20)(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x2 ? x ? ln x , f ?( x) ? ? x ? 1 ? 则 f (1) ? ………………………………14 分

1 2

1 , x

1 , f ?(1) ? ?1 , 2 1 ? ?( x ? 1) ,即 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 . 2
1 x 2 ? ax ? 1 ?? . x x

所以所求切线方程为 y ?

(Ⅱ)由 f ( x) ? ? x2 ? ax ? ln x ,得 f ?( x) ? ? x ? a ? 令 g ( x) ? x2 ? ax ? 1 ,则 f ?( x) ? ?

1 2

g ( x) . x g ( x) ?0, x

①当 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 时, g ( x) ? 0 恒成立,则 f ?( x) ? ? 所以 f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数.

②当 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 a ? ?2 时, g ( x) ? x2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0 ,则 f ?( x) ? ?

g ( x) ?0, x

所以 f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数. ③当 ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 a ? ?2 或 a ? 2 . (i) 当 a ? ?2 时 , g ( x) ? x2 ? ax ? 1 是 开 口 向 上 且 过 点 ? 0,1? 的 抛 物 线 , 对 称 轴 方 程 为

a a g ( x) x ? ( ? ?1) ,则 g ( x) ? 0 恒成立,从而 f ?( x) ? ? ?0, 2 2 x
所以 f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数.

(ii)当 a ? 2 时,g ( x) ? x2 ? ax ? 1 是开口向上且过点 ? 0,1? 的抛物线, 对称轴方程为 x ? 则函数 g ( x) 有两个零点 x1 ?

a a ( ? 1) , 2 2

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? (显然x1 ? x2 ) ,列表如下: 2 2

x
f ?( x) f ( x)

(0, x1 )
?

x1
0

( x1 , x2 )
?
增函数

x2
0

( x2 , ??)
?

减函数

极小值

极大值

减函数

综上,当 a ? 2 时, f ( x) 的减区间是 (0, ??) ; 当 a ? 2 时 , f ( x) 的 增 区 间 是 (

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , ) , 减 区 间 是 (0, ) , 2 2 2

(

a ? a2 ? 4 , ??) . 2
(Ⅲ)根据(Ⅱ) ,当 a ? 2 时, f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 则 x1 , x2 是方程 g ( x) ? x2 ? ax ? 1 ? 0 的两个根,
2 从而 ax1 ? x12 ? 1, ax2 ? x2 ?1 .

由韦达定理,得 x1 x2 ? 1, x1 ? x2 ? a . 又 a ? 2 ? 0 ,所以 0 ? x1 ? 1 ? x2 .

1 1 2 4 f ( x1 ) ? 2 f ( x2 ) ? 4(? x12 ? ax1 ? ln x1 ) ? 2(? x2 ? ax2 ? ln x2 ) 2 2
2 ? ?2x12 ? 4ax1 ? 4ln x1 ? x2 ? 2ax2 ? 2ln x2 2 ? ? 2 x12 ?4 ( x12 ? 1 ) ? 4 x l1n ? x 2
2 ? 2 x12 ? x2 ? 2ln

2 ? x 2 ) x 2 2 ( ? 1? 2 ln

x2 ?2 x12

?

2 2 2 ? x2 ? 3ln x2 ? 2. 2 x2

2 令 t ? x2 (t ? 1) , h(t ) ?

2 ? t ? 3ln t ? 2(t ? 1) , t

则 h?(t ) ? ?

2 3 (t ? 1)(t ? 2) . ?1 ? ? ? 2 t t t2

当 1 ? t ? 2 时, h?(t ) ? 0 ;当 t ? 2 时, h?(t ) ? 0 , 则 h(t ) 在 (1, 2) 上是增函数,在 (2, ??) 上是减函数, 从而 h(t )max ? h(2) ? 3ln 2 ? 1 , 于是 4 f ( x1 ) ? 2 f ( x2 ) ? 1 ? 3ln 2 .


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