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高三文科数学一轮复习立体几何7-2


命题要点:?1?平面的基本性质;?2?空间直线与直线之间的位置关系?′11 年 2 考,′10 年 2 考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.下列命题正确的个数为( ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. A.0 B.1 C.2 D.3 ). 满分:60 分)

解析 ①④错误,②③正确. 答案 C 2.(2011· 福州模拟)给出下列四个命题: ①没有公共点的两条直线平行; ②互相垂直的两条直线是相交直线; ③既不平行也不相交的直线是异面直线; ④不同在任一平面内的两条直线是异面直线. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

解析 没有公共点的两条直线也可能异面,故命题①错;互相垂直的两条直线相 交或异面,故命题②错;既不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面 内的两条直线是异面直线,命题③、④正确,故选 B. 答案 B 3.(2011· 浙江)若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 ).

D.α 内的直线与 l 都相交 解析 依题意,直线 l∩α=A(如图).α 内的直线 若经过点 A,则与直线 l 相交;若不经过点 A,则与 直线 l 是异面直线,故选 B. 答案 B 4.(2011· 济宁一模)已知空间中有三条线段 AB、BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD, 那么直线 AB 与 CD 的位置关系是( A.AB∥CD B.AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 解析 若三条线段共面,如果 AB、BC、CD 构成等腰三角形,则直线 AB 与 CD 相交,否则直线 AB 与 CD 平行;若不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直线. 答案 D 5.平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 ). ).

解析 依题意,与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC;与 AB 相交且与 CC1 平行的棱 有 AA1,BB1;与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD,C1D1,故符合条件的棱共有 5 条. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知 a,b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a,b 在 α 上的射影有可 能是: ①两条平行直线; ②两条互相垂直的直线; ③同一条直线; ④一条直线及其外一点. 在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号). 解析 只有当 a∥b 时,a,b 在 α 上的射影才可能是同一条直线,故③错,其余

都有可能. 答案 ①②④ 7.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成 ________部分. 解析 如图所示,三个平面 α、β、γ 两两相交, 交线分别是 a、b、c 且 a∥b∥c.观察图形,可得 α、β、γ 把空间分成 7 部分. 答案 7 8.给出下列命题: ①如果平面 α 与平面 β 相交,那么它们只有有限个公共点; ②两个平面的交线可能是一条线段; ③经过空间任意三点的平面有且只有一个; ④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面就重合为一个平面.

其中,正确命题的序号为________. 解析 根据平面基本性质 3 可知,如果两个平面相交,则它们有无数个公共点, 并且这些公共点在同一条直线——两个平面的交线上,故①②都不正确;由平面 的基本性质 2 可知,经过不共线的三个点有且只有一个平面,若三点共线,则经 过这三点的平面有无数个,所以③不正确,④正确. 答案 ④ 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 D1C1、B1C1 1 的中点,求证:EF∥BD,且 EF=2BD.

证明 如图,连接 B1D1,∵BB1∥DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平面图形,

又∵BB1 綉 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴BD 綉 B1D1. 在△C1D1B1 中,∵E、F 分别是 D1C1 与 B1C1 的中点, 1 1 ∴EF 綉2B1D1,∴EF∥BD,且有 EF=2BD. 10.(12 分)如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯 1 1 形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綉2AD,BE 綉2FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点.

(1)求证:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (1)证明 由题设知,FG=GA,FH=HD,

1 1 所以 GH 綉2AD.又 BC 綉2AD,故 GH 綉 BC. 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)解 C、D、F、E 四点共面.理由如下:

1 由 BE 綉2AF,G 是 FA 的中点知,BE 綉 GF, 所以 EF 綉 BG. 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共面.又点 D 在直线 FH 上,所 以 C、D、F、E 四点共面. B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 是 BD1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于 点 M,则下列结论错误的是( A.A1、M、O 三点共线 ). B.M、O、A1、A 四点共面 满分:40 分)

C.A、O、C、M 四点共面

D.B、B1、O、M 四点共面

解析 因为 O 是 BD1 的中点.由正方体的性质知,O 也是 A1C 的中点,所以点 O 在直线 A1C 上,又直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则 A1、M、O 三点共线, 又直线与直线外一点确定一个平面,所以 B、C 正确. 答案 D 2.在底面为正方形的长方体上任意选择 4 个顶点,则以这 4 个顶点为顶点构成 的几何形体可能是:①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为直角三角 形,一个面为等腰三角形的四面体;④每个面都是等腰三角形的四面体;⑤每个 面都是直角三角形的四面体.则其中正确结论的序号是( A.①③④⑤ 解析 B.①②④⑤ C.①②③⑤ D.①②③④ ).

由长方体的性质知①正确,②不正确;对于③,长方体 ABCDA1B1C1D1

中的四面体 A1ABD 符合条件,③正确;对于④,长方体 ABCDA1B1C1D1 中的四 面体 A1BC1D 符合条件,④正确;对于⑤,长方体 ABCDA1B1C1D1 中的四面体 A1ABC 符合条件. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.已知线段 AB、CD 分别在两条异面直线上,M、N 分别是线段 AB、CD 的中 1 点,则 MN________2(AC+BD)(填“>”,“<”或“=”). 解析 如图所示,四边形 ABCD 是空间四边形,而 不是平面四边形,要想求 MN 与 AB、CD 的关系,必 须将它们转化到平面来考虑.我们可以连接 AD,取 AD 的中点为 G,再连接 MG、NG,在△ABD 中,M、 1 G 分别是线段 AB、AD 的中点,则 MG∥BD,且 MG=2BD, 1 同理,在△ADC 中,NG∥AC,且 NG=2AC,又根据三角形的三边关系知,MN 1 1 1 <MG+NG,即 MN<2BD+2AC=2(AC+BD). 答案 < 4.如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的

中点,在这个正四面体中,

①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN. 答案 ②③④ 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)如图所示,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,A1C 与截面 DBC1 交于 O 点, AC,BD 交于 M 点,求证:C1,O,M 三点共线.

证明 ∵C1∈平面 A1ACC1, 且 C1∈平面 DBC1, ∴C1 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点. 又∵M∈AC,∴M∈平面 A1ACC1. ∵M∈BD,∴M∈平面 DBC1, ∴M 也是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的公共点, ∴C1M 是平面 A1ACC1 与平面 DBC1 的交线. ∵O 为 A1C 与截面 DBC1 的交点, ∴O∈平面 A1ACC1,O∈平面 DBC1, 即 O 也是两平面的公共点, ∴O∈直线 C1M,即 C1,O,M 三点共线.

6.(12 分)如图,空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、AB 的中点,G、H 分 别在 BC、CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2.

(1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)设 FG 与 HE 交于点 P,求证:P、A、C 三点共线. 证明 (1)△ABD 中,E、F 为 AD、AB 中点, ∴EF∥BD. △CBD 中,BG∶GC=DH∶HC=1∶2, ∴GH∥BD,∴EF∥GH(平行线公理), ∴E、F、G、H 四点共面. (2)∵FG∩HE=P,P∈FG,P∈HE, ∴P∈面ABC,P∈面ADC? ??P∈直线 AC. 又面ABC∩面ADC=AC ? ∴P、A、C 三点共线.


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