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2018-2019版高中数学第二章数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用课件新人教A版必修5_图文

第2课时 等比数列前n项和 的性质及应用 课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.掌握等比数列前 n 项和的性质 及其应用. 2.能够运用学过的数列知识解决 等差与等比数列的综合问题. 3.能够运用等比数列的知识解决 有关实际问题. 等比数列前 n 项和的性质 性质及其应用 综合问题 实际应用 等比数列前 n 项和的性质 【问题思考】 1.对于不是常数列的等比数列{an},如果其前 n 项和可以写成 Sn=A· qn+B 的形式,那么系数 A,B 应满足什么条件? 提示 由于 A+B=0. 1 (1- ) 1 n 1 Sn= =- · q + ,所以 1- 1- 1- A=- 1 ,B= 1 ,因此必有 1- 1- 2.如果等比数列{an}的前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是否也构 成等比数列呢? 提示不一定.当{an}的公比q=-1,且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n的各项 均为零,不能构成等比数列.其他情况下,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n可构成等比 数列. 3.做一做: (1)在等比数列{an}中,若a1+a2=20,a3+a4=40,则S6等于( ) A.140 B.120 C.210 D.520 (2)在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和Sn=3n+k,则实数 k等于 . 解析(1)∵S2=20,S4-S2=40,∴S6-S4=80, ∴S6=S4+80=S2+40+80=140. (2)依题意得k+1=0,所以k=-1. 答案(1)A (2)-1 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)若某一数列的前 n 项和为 Sn=4· 3n-1-4,则其必为等比数列. ( (2)若等比数列{an}的前 n 项和为 1 Sn=2· +m,则 3 ) ) m=-2. ( ) (3)若{an}为等比数列,则 S5,S10,S15 仍然构成等比数列. ( 列. ( ) (3)× (4)√ (4)若 an 为等比数列,则 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9 仍然构成等比数 答案(1)× (2)√ 1 2 3 【例 1】 (1)在等比数列{an}中,若 S2=7,S6=91,则 S4= (2)已知等比数列{an}共有 2n 项,其和为-240,且 (a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比 q= 于 . ; ; (3)若数列{an}是等比数列,且其前 n 项和为 Sn=3n+1-2k,则实数 k 等 思路分析 运用等比数列前 n 项和的性质求解. 解析 (1)∵数列{an}是等比数列,且易知公比 q≠-1, ∴S2,S4-S2,S6-S4 也构成等比数列, 即 7,S4-7,91-S4 构成等比数列, ∴(S4-7)2=7(91-S4),解得 S4=28 或 S4=-21. 又 S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2 =(a1+a2)(1+q2)=S2· (1+q2)>0, ∴S4=28. (2)由题意知 S 奇+S 偶=-240,S 奇-S 偶=80, ∴S 奇=-80,S 偶=-160,∴q= =2. 奇 偶 (3)∵Sn=3n+1-2k=3· 3n-2k,且{an}为等比数列, ∴3-2k=0,即 k=2. 3 答案 (1)28 (2)2 3 (3) 2 反思感悟等比数列前 n 项和的性质 1.若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前 n 项和为 Sn=A· qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有 A+B=0;反之,若某一非常数列 的前 n 项和为 Sn=A· qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列. 2.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),特别地,如 果公比 q≠-1 或虽 q=-1 但 n 为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等比数列. 3.当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比 等于公比 q,即 偶 奇 =q. 本例(3)中,若将条件改为“若数列{an}是等比数列,且其前 n 项和为 1 -1 Sn=a· +5”,再求实数 3 a 的值. 3a+5=0,故 5 a=- . 3 解由 1 -1 1 Sn=a· +5,可得 Sn=3a· +5,依题意有 3 3 1 2 3 【例 2】 导学号 04994048 已知 Sn 是无穷等比数列{an}的前 n 项和, 且公比 q≠1,1 是 S2 和 S3 的等差中项,6 是 2S2 和 3S3 的等比中项. (1)求 S2 和 S3; (2)求数列{an}的前 n 项和; (3)求数列{Sn}的前 n 项和. 思路分析 先利用等差中项与等比中项求出 S2 与 S3,进而求出 a1 与公 比 q,再写出 Sn,根据 Sn 的特点求{Sn}的前 n 项和. 1 2 1 3 解 (1)根据已知条件 1 2 2 (22 )· (33 ) = 62 , 解得 2 = 2, 3 = 3. 1 + 3 3 = 2, 整理得 32 + 23 = 12, 2 3 = 6, 1 (1 + ) = 2, (2)因为 q≠1,所以 1 (1 + + 2 ) = 3, = - , 2 解得 所以 1 = 4. 1 1 -2 1- -2 8 8 = n- · 1 3 3 1- -2 1 1 4 1- -2 Sn= 1 1+2 = 8 8 ? 3 3 1 . 2 (3)由(2)得 S1+S2+…+Sn 8 8 = n+ 3 9 1- 1 2 . 反思感悟1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的 重点,特别是等差、等比数列的通