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3.6 三角形的中位线_图文

三角形的中位线
单位:三树中学

教学目标
1、探索并掌握三角形中位线的概念、性质 2、会利用三角形的中位线的性质解决有关问 题 3、经历探索三角形中位线性质的过程,体会 转化的思想方法

小明要测量一个他家后园池塘的宽AB,又没有足够长的尺,
怎么办呢?

A

E

C

D

小明想出一个好办法:在池塘的一 侧的平地上选一点C,再分别找出 线段BC、AC的中点D、E,量出 DE的长为18米,就马上可以得出 AB的长了。你知道AB等于多少?

B
首先我们看刚才测量的线段DE,它特殊在哪里? 线段两端分别是三角形两边的中点。

定义:连结三角形两边中点的线段叫三角形的 中位线

1、一个三角形共有几条中位 线? 答:三条

A D E

B

F

C

1、画图:请同学们在纸上任意画一个三角形, 叫作△ABC

A

B

C

2、分别取边AB、AC的中点D、E,并连接DE。 3、请同学们观察并猜测DE、 BC的位置和数量关系。 4、请你通过测量来验证一下 你的猜测是否正确。
B D

A

E C

5、你的结论能加以证明吗?

探究与 思考
沿DE将△ABC剪成两部 分,并将△ADE绕点E按 顺时针方向旋转180゜到 △CFE的位置,得四边形 BCFD,如右图。 B 四边形BCFD是平行四边 形吗?DE与BC有什么关 系
A E F

D

C

方法1:由题意知,点D,E,F在一条直线上。 由中心对称的性质,得△ADE≌△CFE ∴ ∠ADE=∠F,AD=CF,DE=EF ∴AB∥CD 又∵AD=BD=CF

∴四边形BCFD是平行四边形 ∴ DE∥BC,DF=BC ∴ DE= 1/2 DF =1/2 BC

还有其他证法吗?

方法2:如图,延长DE至F,使 EF=DE,连接CF. ∵ AE=CE ∠AED=∠CEF A ∴△ADE≌△CFE ∴AD=CF ∠ADE=∠F E D ∴BD∥CF ∵AD=BD ∴BD=CF B C ∴四边形ABCD是平行四边形 ∴DF∥BC,DF=BC, ∴ DE∥BC,DE=1/2BC

F

性质:三角形的中位线平行于第三边, 并且等于它的一半.

练习
D B B D A 4 5 F 3
图2 图1

A

E C

如图1:在△ABC中,DE是中位线 (1)若∠ADE=60°, 则∠B= 60 度,为什么? (2)若BC=8cm, 则DE= 4 cm,为什么?

如图2:在△ABC中,D、E、F分别 是各边中点 AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm, 则△DEF的周长= 12 cm

E

C

例题:
已知:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H 分别是AB、 BC、CD、DA的中点. D H A 求证:四边形EFGH是平行四边形.

E
B

G

C F 解:连接AC. 在△ABC中, ∵E、F分别是AB、BC的中点,即EF 是△ABC的中位线, ∴EF∥AC ,EF= 1/2 AC 在△ADC中,同样可得HG∥AC ,HG= 1/2 AC, ∴ EF∥HG , EF=HG ∴四边形EFGH是平行四边形

思考: (1)如图,若两对角线AC=BD 时,四边形 EFGH是什么四边形?为什么?
A H E B F

D G C

(2)如图,若两对角线AC?BD 时,四边形 EFGH是什么四边形?为什么?
A E G B H D

F

C

拓展延 伸 ①顺次连结平行四边形四边中点所得的四边 平行四边形 形是———————— ②顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 菱形 是—————— ③顺次连结矩形四边中点所得的四边形是— 菱形 —————
④顺次连结菱形四边中点所得的四边形是—
矩形 —————

⑤顺次连结正方形四边中点所得的四边形是—
正方形 ————

小结
1、三角形中位线的定义 2、三角形中位线的性质 3、研究三角形中位线性质的过程: 画图—观察—猜想—验证(通过测 量)— 得出初步结论—证明结论


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