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2013届高三理科数学二轮复习热点 专题一 高考中选择填空题解题能力突破 5 考查函数零点区间的判断及方程根


考查函数零点区间的判断及方程根的问题 ? 数形结合法? 数形结合法:根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图 形,借助几何图形的直观性作 出正确的判断,习惯上也叫数形结合法. 有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何 意义,作出函数的图象或几何图形,借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等,综 合 图象的特征得出结论.图形化策略就是以数形结合为指导的一种解题策略. 图形化策略是依靠图形的直观性进行研究的, 用这种策略解题比直接计算求解更能抓住问题 的实质、简捷迅速地得到结果.不过,运用数形结合法解题一定要对有关函数图象 、方程 曲线、几何图形较熟悉,否则,错误的图象会导致错误的选择. 【例 17】? (20 12· 天津)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 解析 法一 因为 f(0)=1+0-2=-1, f(1)=2+1-2=1,即 f(0)· f(1)<0,

且函数 f(x)在(0,1)内连续不断 ,故 f(x)在(0,1)内的零点个数是 1. 法二 设 y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中作出两函数的图象如图所示,可知 B 正确. 答案 B |x2-1| 【例 18】? (2012· 天津)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点, x-1 则实数 k 的取值范围是________. 解析 去掉绝对值转 化为分段函数后,作出图象利用数形结合的方法求解.因为函数 y=
? |x2-1| ?x+1,x≤-1或x>1, =? 根据图象易知,函数 y=kx-2 的图象恒过点(0,-2),所 x-1 ? ?-x-1,-1<x<1,

以两个函数图象有两个交点时,0<k<1 或 1<k<4. 答案 (0,1)∪(1,4) 【例 19】? (20 12· 福建)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=?
? ?a2-ab,a≤b, ?b2-ab,a>b. ?

设 f (x)=(2x

-1)*(x-1), 且关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根 x1, x3, x1x2x3 x2, 则 的取值范围 是________. 解析 f(x)=(2x-1)*(x-1)
?? 2x-1? 2-? 2x-1? ? x-1? ,x≤0, ? =? ? ?? x-1? 2-? 2x-1? ? x-1? ,x>0, ? ?2x2-x,x≤0, 即 f(x)=? ?-x2+x,x>0. ?

如图所示,关于 x 的方程 f(x)=m 恰有三个 互不相等的实根 x1,x2,x3,即函数 f(x)的图象 1 与直线 y=m 有三个不同的交点,则 0<m<4.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为 x1, x2,x3. 当 x>0 时,-x2+x =m,即 x2-x+m=0,∴x2+x3=1, ∴0<x2x3<

?x2+x3?2,即 0<x2x3<1; 4 ? 2 ?

?2x2-x=1, ? 1- 3 4 当 x<0 时,由? 得 x= 4 , ?x<0, ?
1- 3 3-1 ∴ 4 <x1<0,∴0<-x1< 4 . 3-1 1- 3 ∴0<-x1x2x3< 16 ,∴ 16 <x1x2x3<0. 答案 ?

?1- 3 ? ,0? ? 16 ?

命题研究:1.以初等函数为载体求函数零点的个数或判断零点所在的区间. 2.以初等函数为载体考查两图象的交点与方程的解的关系. 1 【押题 13】 已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-log2x,h(x)=log2x- x的零点分别为 x1,x2, x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是( ). A.x1>x2>x3 B.x2>x1>x3 C.x1>x3>x2 D.x3>x2>x1 1 答案: D [由 f(x)=x+2x=0,得-x=2x,则其零点 x1<0;由 g(x)=x-log2x=0,得 x= 1 log2x,则其零点 0<x2<1;由 h(x)=log2x- x=0,得 x=log2x,则其零点 x3>1.因此 x1 <x2<x3.]
?log2? x+1? ,x>0, ? [押题 14] 已知函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点, 则实数 m ? ?-x2-2x,x≤0,

的取值范围是________.

答案: 解析 函数 f(x)的图象如图所示,函数 f(x)=-x2-2x(x≤0)的最大值是 1,故只要 0

<m <1 即可使方程 f(x)=m 有三个相异的实数根,即函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点. 答案 (0,1)


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