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山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编7:立体几何


山东省各地市 2013 届高三理科数学试题分类汇编 7:立体几何
一、选择题 1 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和

左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为

( A. 21 3 B. 6 ? 15 3 C. 30 ? 6 3 D.42



【答案】 C 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱 AA1

? 2 .底面

边 长 AD ? 3 , 平 行 六 面 体 的 高 为

3 . BE ? 2 , 又 AE ? AA12 ? A1 E 2 ? 22 ? ( 3) 2 ? 1 , 所 以

AB ? 1 ? 2 ? 3 . 所 以 平 行 六 面 体 的 表 面 积 为 2(3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2)=30 ? 6 3 , 选

C.
2 . (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)如图所示是以建筑物的三视图,现需将其外

壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆 0.2kg,则共需油漆大约公斤数为(尺寸如图所示,单位:米 π 取 3)





A.20
【答案】B

B.22.2

C.111

D.110

【解析】由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体.长方体的底面是边长为 3 的正方形, 高为 4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为 4 ? (3 ? 4)=48( m ) .圆锥的底面半径为 3,母线为
2

5, 所 以 圆 锥 的 侧 面 积 为 ? ? 3 ? 5 ? 15? ? 45( m ) , 底 面 积 ( 去 掉 一 个 正 方 形 ) 为
2

9? ? 3 ? 3 ? 9? ? 9 ? 18( m 2 ) , 所 以 该 几 何 体 的 总 面 积 为 48 ? 45 ? 18 ? 111(m 2 ) , 所 以 共 需 油 漆

0.2 ?111 ? 22.2 公斤,选

B.

3 . (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视

图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的表面积是

正视图

左视图

俯视图

( B. 14? C. 12? D. 8?



A. 16?
【答案】A

由三视图可知,该几何体是一挖去

1 3 半球的球.其中两个半圆的面积为 ? ? 22 ? 4? . 个 2 4
( )

球的表面积为 A.

3 ? 4? ? 22 ? 12? ,所以这个几何体的表面积是 12? ? 4? ? 16? ,选 4

4 . (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知 m 、 n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不

同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ?
【答案】D





根据线面垂直的性质可知,选项 D 正确.

5 . (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)设 a,b 是不同的直线, ?、? 是不同的

平面,则下列命题: ①若 a ? b, a // ? , 则b // ? ②若 a // ? , ? ? ? , 则a ? ?

③若 a ? ? , ? ? ? , 则a // ? 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 【答案】B

④若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ? ( C.2 D.3 )

【 解析】①当 a ? b, a / /? , 时 b 与 ? 可能相交,所以①错误.②中 a ? ? 不一定成立.③中 a ? ? 或 B. 6 . (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)如右图,某几何体的三视图均为边长为 l 的正方 形,则该几何体的体积是

a / /? ,所以错误.④正确,所以正确的个数有 1 个,所以选

( A.



5 6

B.

2 3

C.1

D.

1 2


【答案】A 由题意三视图对应的几何体如图所示,

所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即 13 ? ?

1 1 5 ? 1? 1? 1 ? ,选 ( 3 2 6

A.
7 . (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)已知直线 l ⊥平面 α ,直线 m ? 平面 β ,给

出下列命题: ①α ∥β ? l⊥m ②α ⊥β ? l∥m 其中正确命题的序号是 A.①②③ B.②③④ 【答案】C ③l∥m ? α ⊥β C.①③ ④l⊥m ? α ∥β ( D.②④ )

【解析】当 ? / / ? 时,有 l ? ? ,所以 l ? m , 所以①正确.若 l / / m ,则 m ? ? ,又 m ? 平面 β ,所以

? / / ? ,所以③正确,②④不正确,所以选 C.
8 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,

给出四个命题: ①若 ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m ,则 ? ? ? ②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ?

③若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ?

④若 m / /? , n / / ? m / / n ,则 ? / / ? ( D.②④ )

其中正确的命题是 A.①② B.②③ C.①④ 【答案】B 由面面垂直的性质可知②③正确.

9 . (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)下列命题正确的是

( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C 【解析】 ( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等 ,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误.B 中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误.C 正确.D 若两个平面都垂直于第三个平 面,则这两个平面平行或相交,所以错误.所以命题正确的为 C,选 C. 10. (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为

( A. 1 B.



1 3

C

1 .2

D

3 .2

【答案】B 由三视图可知,该几何体是四棱锥,以俯视图为底,高为 1,俯视图的面积为 1? 1=1 ,使用四棱

锥的体积为 ? 1? 1 ?

1 3

1 ,选 3

B.

11. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是

两个不同的平面,给出下列命题: ① 若 ? ? ? , m / /? , 则 ? ? ? ;② 若 m ? ? , n ? ? , 且 m ? n, 则 ? ? ? ;③ 若 m ? ? , m / /? , 则

? ? ? ;④若 m / /? , n / / ? ,且 m / / n ,则 ? / / ? .其中正确命题的序号是
A.①④
【答案】B





B.②③

C.②④

D.①③

【解析】①当 ? ? ? , m / /? 时, ? ? ? 不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④ m / /? , n / / ? ,且

m / / n , ? , ? 也可能相交,所以错误.所以选

B.

12. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单

位为 cm,则该几何体的体积为(

)cm .

3

( A.18
【答案】D



B.48

C.45

D.54

由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯视图为底,底面直角梯形的上底为 4,下底为 5,高 为 3.棱柱的高为 4,所以四棱柱的体积为

4?5 ? 3 ? 4 ? 54cm3 ,选 2

D.

13. (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大

的几何体的表面积为

( A.13 B.7+3 2 C. ?



7 2

D.14

【答案】D 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆

柱 . 由 图 象 可 知 四 棱 柱 的 体 积 最 大 . 四 棱 柱 的 高 为 1, 底 面 边 长 分 别 为 1,3, 所 以 表 面 积 为

2(1? 3 ? 1?1 ? 3 ?1) ? 14 ,选

D.

14. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积

不可能是

( A. 1
【 答 案 】 D



B. 1.5 C. 2 D. 3 由 三 视 图 可 知 , 该 几 何 体 时 一 个 侧 面 和 底 面 垂 直 的 的 三 棱

锥 ,

, 其 中 底 面 三 角 形

BAC 为 直 径 三 角

形, PA ? ABC , AB ? 2 , PC ? 4 ,设 AC ? x, 0 ? x ? 4 ,则 PA ?

42 ? x 2 ? 16 ? x 2 ,所以三棱锥

的 体 积 为

1 1 x ? 16 ? x 2 1 x 2 ? ( 16 ? x 2 )2 16 8 ? ? 2 x ? 16 ? x 2 ? ? ? ? ? , 当 且 仅 当 3 2 3 3 2 6 3

8 2 x ? 16 ? x 2 ,即 x 2 ? 8, x ? 8 ? 2 2 时取等号,此时体积有最大值 ? 2 ,所以该三棱锥的体积不 3 3
可能是 3,选 D.
15. ( 【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )已知 m,n 是空间两条不同的直线, ? ,? ,?

是三个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若 ? //? , m ? ? , n ? ? ,则 m //n C.若 m ? ? ,? ? ? , 则 m ? ?
【答案】D

( B.若 ? ? ? =m,? ? ? =n,m //n ,则 ? //? D.若 m ? ? ,m //? , 则 ? ? ?



【解析】根据线面垂直的判和性质可知,D 正确.
16. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 ( ) A. ) 一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,若

该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 A. 12?
【答案】D

( D. 48?



B. 24?

C. 32?

【解析】该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面 ABCD 是边长 为 4 的正方形,高为 CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为
2

AC1 ? 4 3 ? 2 R
2

,所以 , 选

球 的 半 径 为 R ? 2 3 ,, 所 以 球 的 表 面 积 是 4? R ? 4? ? (2 3) ? 48?

D.
17. (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,

不可能是该锥体的俯视图的是

【答案】C

【 解析】若俯视图为 C,则俯视图的宽和左视图的宽长度不同,所以俯视图不可能是 视图如图所示,则这个四棱锥的体积是

C.

18. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)一个四棱锥的底面为正方形,其三

( A.1
【答案】 B



B.2 C.3 D.4 由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为 2 的正方形,故其底面积

为 4?

1 ?1?1 ? 2 .由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组 2
2 2

成一个直角三角形由于此侧棱长为 13 ,对角线长为 2,故棱锥的高为 ( 13) ? 2 ? 9 ? 3 .此棱 锥的体积为 ? 2 ? 3 ? 2 ,选

1 3

B.

19. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为

第 11 题图

( B.



A.

20 3

40 3

C. 20

D. 40

【答案】B

由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥 ,其中四棱锥的底面是主视图,为直角梯形,直角梯形的 上 底 为 1, 下 底 为 4, 高 为 4. 棱 锥 的 高 位 4, 所 以 四 棱 锥 的 体 积 为

1 1? 4 40 ,选 ? ? 4? 4 ? 3 2 3

B.
20. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视

图都是直角三角形,其直角边均为 1,则该几何体的体积为

( A.



1 3

B.

1 2

C.

1 6

D.1

【答案】A

【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为 1 的正方形,高为 1 的四棱锥,所以体积为

1 1 ?1? 1? 1 ? ,选 3 3
A.





21( .山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) 某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),

2 6 4 正视图 4 第 7 题图 5 俯视图 侧视图

则该几何体的表面积为 A. 92 ? 14 π

( C. 92 ? 24 π D. 82 ? 24 π



B. 82 ? 14 π

【答案】A 由几何体的三视图,知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为 2,高为 5 的圆柱的

一 半 . 长 方 体 的 中 EH ? 4,HG ? 4,GK ? 5 , 所 以 长 方 体 的 表 面 积 为 ( 去 掉 一 个 上 底 面) 2(4 ? 4 ? 4 ? 5) ? 4 ? 5=92 .半圆柱的两个底面积为 ? ? 22 =4? ,半圆柱的侧面积为 ? ? 2 ? 5=10? , 所以整个组合体的表面积为 92+4? ? 10? =92+14? ,选 ( )

A.

.

22. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)一个几何体的三视图如下所示,则该几何体

的表面积是 A. 6 ? 8 3
【答案】C

( B. 12 ? 7 3 C. 12 ? 8 3 D. 18 ? 2 3



【解析】 由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,三棱柱的底面是一个腰长为 2,底面上的高是 1 的等 腰三角形,侧棱长是 3,所以该几何体的表面积为 2 ?
23. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A. )设 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是

1 ? 2 3 ?1 ? 3(2 ? 2 ? 2 3) ? 12 ? 8 3 ,选 C. 2
( )





A. m / /? , n / / ? 且? / / ? , 则m / / n C. m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ?

B. m ? ? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n D. m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ?

【答案】B

【解析】 A 中直线 m, n 也有可能异面,所以不正确.B 正确.C 中 ? , ? 不一定垂直,错误.D 当 m, n 相交时, 结论成立,当 m, n 不相交时,结论错误.所以选
二、填空题 24. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知一圆柱内接于球 O,且圆柱的底面直径与母线

B.

长均为 2,则球为 O 的表面积为_____.

8? 【答案】

圆柱的底面直径与母线长均为 2,所以球的直径 2 ? 2 ? 8 ? 2 2 ,即球半径为 2 ,
2 2

所以球的表面积为 4? ? ( 2) 2 ? 8? .
25. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的

球 O 的球面上,且 AB ? 8, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为______.
【答案】 16

2
2 2

球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上 .所以对角线长为 8 ? (2 3) ? 2 19 ,所以棱锥的高为

1 52 ? ( 19) 2 ? 6 ,所以棱锥的体积为 ? 6 ? 8 ? 2 3 ? 16 2 . 3
26. (山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学) 一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为

16? ?

8 5 ,则图中 x 的值为_______________. 3
8 5 8h 1 1 8h , 所以 16? ? , 所以 ? 16? ? ? 4 ? 4 ? 8 , 所以四棱锥的体积为 ? 8 ? h ? 3 3 2 3 3

【答案】3 由三视图可知,该几何体下面是个圆柱,上面是个四棱锥.圆柱的体积为 4? ? 4 ? 16? ,四棱

锥的底面积为

四棱锥的高 h ? 5 .所以 x 2 ? h 2 ? 22 ? 5 ? 4 ? 9 ,即 x ? 3 .
三、解答题 27 .( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 3 月 诊 断 性 测 试 数 学 理 试 题 ) 如 图 , 在 梯 形 ABCD

中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60 ,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1. (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 ? (? ≤90 ),试求 cos ? 的取
o

o

值范围.

【答案】

28. ( 【解析】 山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 ) 如图 1, ?

O 的直径 AB=4,点 C、 D 为? O 上

两点,且 ? CAB=45°, ? DAB=60°,F 为弧 BC 的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直,如 图 2. (I)求证:OF // 平面 ACD; (Ⅱ)求二面角 C—AD—B 的余弦值; (Ⅲ)在弧 BD 上是否存在点 G,使得 FG // 平面 ACD?若存在,试指出点 G 的位置;若不存在,请说明理由.

【答案】(方法一):证明:(Ⅰ)如右图,连接 CO ,
?
A E D
C

?F
? O

B
G

?

? ?CAB ? 45 ? ,? CO ? AB

又? F 为弧 BC 的中点 ,? ?FOB ? 45 ? ,? OF // AC .

? OF ?

平面 ACD , AC ? 平面 ACD , ? OF // 平面 ACD . 解:(Ⅱ)过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE . ? CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD . ? CO ⊥ 平 面 ABD . 又 ? AD ? 平 面 ABD , ? CO ? AD , ? AD ? 平 面 CEO , AD ? CE , 则 ∠ CEO 是 二 面 角 C - AD - B 的 平 面 角.? ?OAD ? 60 ? , OA ? 2 , ? OE ? 直角三角形,? CO ? 2 ,? CE ?

3 . 由 CO ⊥平面 ABD , OE ? 平面 ABD ,得 ?CEO 为
3 21 = 7 7

7 ? cos ?CEO =

(Ⅲ)取弧 BD 的中点 G ,连结 OG 、 FG ,则 ?BOG =?BAD =60? ? OG // AD ? OF // 平面 ACD ,? 平面 OFG // 平面 ACD FG //平面 ACD . 因此,在弧 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为弧 BD 的中点 (方法二):证明:(Ⅰ)如图,以 AB 所在的直线为 y 轴,以 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为原点,建立空 间直角坐标系 O ? xyz

z

?

C
?F

A

O? G

B

y

?

D

x
则 A ? 0, ?2 , 0 ? C ?0 ,0 ,2 ? AC ? (0,0,2) ? (0,?2,0) ? (0,2,2) ,

? 点 F 为弧 BC 的中点,? 点 F 的坐标为 0, 2 , 2 , OF ? (0, 2 , 2 ) .

?

?

??? ? ? OF ?

???? 2 ???? AC 解:(Ⅱ)? ?DAB ? 60? ,? 点 D 的坐标 D 3, ? 1,0 , AD ? ( 3,1, 0) . 2 ?? 设二面角 C - AD - B 的大小为 ? , n1 ? ? x, y, z ? 为平面 ACD 的一个法向量.

?

?

?? ???? ?? x, y, z ? ? ? 0, 2, 2 ? ? 0, ?n1 ? AC ? 0, ? ? ? ?2 y ? 2 z ? 0, 由 ? ?? ???? 有? 即? ? x, y, z ? ? 3,1, 0 ? 0, ? ? ? 3 x ? y ? 0. ? ?n1 ? AD ? 0, ?

?

?

取 x ? 1 ,解得 y ? ? 3 , z ?

?? 3 . ? n1 = 1,- 3, 3

?

?

取平面 ADB 的一个法向量 n2 = ?0 ,0 ,1? ,

?? ?

?? ?? ? 1? 0 ? (? 3) ? 0 ? 3 ?1 n1 ? n2 21 ? ? ? cos ? ? ?? ?? ? 7 | n1 | ? | n2 | 7 ?1
(Ⅲ)设在弧 BD 上存在点 G ( x, y,0) ,
FG ? ( x, y ? 2 ,? 2 ) ,由(Ⅱ)知平面 ACD 的一个法向量为 n = 1,- 3, 3 . FG ? n ? ( x, y ? 2 ,? 2 ) ? 1,- 3, 3 = x ? 3 ( y ? 2 ) ? 6 ? x ? 3 y ? 0 ①

?

?

?

?

又因为 x 2 ? y 2 ? 4

②由①②两式联立解得 G ( 3 ,1,0) , ? OG ?

????

?

???? 3 ,1, 0 ,因为 AD ? ( 3,1, 0) ,所

?

以 OG // AD ,则 G 为弧 BD 的中点,因此,在弧 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为弧 BD 的中点 29. (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)在如图所示的几何体中, ?ABC 是 边长为 2 的正三角形, AE ? 1, AE ? 平面 ABC,平面 BCD ? 平面 ABC,BD=CD,且 BD ? CD. (I)若 AE=2,求证:AC、 、平面 BDE; (II)若二面角 A—DE—B 为 60°,求 AE 的长.

【答案】解: (Ⅰ)分别取 BC,BA,BE 的中点 M ,N,P ,连接 DM ,MN,NP,DP ,

E P

D A C M

N

B

则 MN ∥ AC , NP ∥ AE ,且 NP =

因为 BD ? CD , BC ? 2 , M 为 BC 的中点, 所以 DM ? BC , DM ? 1 又因为平面 BCD ⊥平面 ABC , 所以 DM ? 平面 ABC 又 AE ? 平面 ABC , 所以 DM ∥ AE

1 AE ? 1 2

所以 DM ∥ NP ,且 DM ? NP ,因此四边形 DMNP 为平行四边形, 所以 MN ∥ DP ,所以 AC ∥ DP ,又 AC ? 平面 BDE , DP ? 平面 BDE , 所以 AC ∥平面 BDE (或者建立空间直角坐标系,求出平面 BDE 的法向量 n1 ,计算 n1 ? AC ? 0 即证) E

????

D N C M A B

(Ⅱ)解法一: 过 M 作 MN ? ED 的延长线于 N ,连接 BN . 因为 BC ? AM , BC ? DM , 所以 BC ? 平面 DMAE , ED ? 平面 DMAE 则有 BC ? ED . 所以 ED ? 平面 BMN , BN ? 平面 BMN , 所以 ED ? BN . 所以 ?MNB 为二面角 A ? ED ? B 的平面角, 即 ?MNB =60? 在 Rt ?BMN 中, BM =1 ,则 MN =

1 2 , BN = . 3 3

在 Rt ?MND 中, DN =

6 . 3

设 AE ? h ? 1 ,则 DE ?

h 2 ? 3 ,所以 NE ? h 2 ? 3 ?

6 ,又 BE ? 3
2

? h ? 1?

2

? 22
2

6? ? 2 ? ? 2 在 Rt ?BNE 中, BE ? BN ? NE ,即 ? h ? 1? ? 2 = ? h ? 3 ? ? ? ?? 3 ? ? 3? ? ? ?
2 2 2

2

2

解得 h ? 解法二:

6 ,所以 AE ? 6 ? 1

z

E

D y A C M B x

由(Ⅰ)知 DM ? 平面 ABC , AM ? MB , 建立如图所示的空间直角坐标系 M ? xyz . 设 AE ? h ,则 M ? 0, 0, 0 ? , B ?1, 0, 0 ? ,

? ? ??? ? ??? ? BD ? ? ?1, 0,1? , BE ? ? ?1,
??? ? ? ? BD ? n1 ? 0, 则 ? ??? ? ? ? BE ? n1 ? 0.
令 x ? 1 , 所以 n1 ? (1,

D ? 0, 0,1? A 0, 3, 0 , E 0, 3, h ,
3, h .

?

?

?

设平面 BDE 的法向量 n1 ? ( x, y , z ) 所以 ?

? ?? x ? z ? 0, ? ?? x ? 3 y ? zh ? 0.

1? h ,1) 3

又平面 ADE 的法向量 n2 ? (1, 0, 0) 所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 ? n1 ? n2

1 12 ? 12 ?

?1 ? h ?
3

2

?

1 2

解得 h ?

6 ? 1 , 即 AE ? 6 ? 1

30. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD

是矩形,AB//EF, ?EAB ? 90 , AB ? 2,AD ? AE ? EF ? 1 ,平面 ABFE ? 平面ABCD .
?

(1)求证: 面DAF ? 面BAF . (2)求钝二面角 B-FC-D 的大小.

【答案】解:(1)? 平面ABFE ? 平面ABCD,AD ? AB, ? AD ? 平面BAF

又 ? AD ? 面DAF ? 面DAF ? 面BAF
(2)分别以 AD,AB,AE 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立的空间直角坐标系,

则 A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1)

? DC ? (0, 2, 0), DE ? ( ? 1, 0, 1 ),
? ?n 1 .DC ? 0 ? y ? 0 设n1 ? ( x, y, z )为平面CDEF的一个法向量,则? ?? ?? x ? z ? 0 ? n . DE ? 0 ? 1 令x ? 1, 得z ? 1,即n1 ? (1,0,1)

由平面ABFE ? 平面ABCD知AF ? BC,在?AFB中AF ? 2,AB ? 2, BF ? 2 ? AF ? 面FBC

? n2 ? AF ? (0,1,1)为平面BCF的一个法向量,

? cos? n1 , n2 ?

n1 .n2 n1 . n 2

?

1 2

? 二面角B ? FC ? D的平面角为钝角, ? 二面角B ? FC ? D的大小为120 ?
31. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 如图,几何体 ABCD ? B1C1 D1 中,四边形 ABCD 为

菱形, ?BAD ? 60? , AB ? a ,面 B1C1 D1 ∥面 ABCD , BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,且

BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点, F 为 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: ?DB1 E 为等腰直角三角形;(Ⅱ)求二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值.
D1 B1
E

C1

D A

C

F

B
?

【答案】解:(I)连接 BD ,交 AC 于 O ,因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,所以 BD ? a

因为 BB1 、 CC1 都垂直于面 ABCD ,? BB1 // CC1 ,又面 B1C1 D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1 所以四边形 BCC1 B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a 因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则 DB1 ?

DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a

DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ?

a2 6a ? 2 2

a2 6a B1 E ? B1C ? C1 E ? a ? ? 2 2
2 1 2 2

所以 DE ? B1 E ?
2 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 4

所以 ?DB1 E 为等腰直角三角形 (II) 取 DB1 的中点 H , 因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点 , 所以 OH ∥ BB1 以 OA, OB, OH 分别为 ,

x, y, z 轴建立坐标系
z
D1

C1 B1
E

H
D
C

O

x A
则 D (0, ?

F

B

y

a 3 2 a 3 a , 0), E (? a, 0, a), B1 (0, , 2a), F ( a, , 0) 2 2 2 2 4 4

所以 DB1 ? (0, a, 2a ), DE ? ( ?

???? ?

????

???? 3 a 2 3 3 a, , a), DF ? ( a, a, 0) 2 2 2 4 4

设面 DB1 E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 n1 ? DB1 ? 0, n1 ? DE ? 0 ,即 ay1 ? 2az1 ? 0 且 ? 令 z1 ? 1 ,则 n1 ? (0, ? 2,1) 设面 DFE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则 n2 ? DF ? 0, n2 ? DE ? 0 即

??

?? ???? ?

?? ????

3 a 2 ax1 ? y1 ? az1 ? 0 2 2 2

??

?? ?

?? ? ????

?? ? ????

3 3 3 a 2 ax2 ? ay2 ? 0 且 ? ax2 ? y2 ? az2 ? 0 4 4 2 2 2

令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, ?

?? ?

3 2 6 , ) 3 3

?? ?? ? 则 cos n1 , n2 ?

6 2 6 ? 2 2 3 3 ,则二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值为 ? 2 2 1 8 3 ? 1? ? 3 3

32 . ( 2013 年 临 沂 市 高 三 教 学 质 量 检 测 考 试 理 科 数 学 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ,PD ? 平 面

ABCD,PD//QA,QA=AD=

1 PD 2

(I)求证:平面 PQC ? 平面 DCQ; (Ⅱ)若二面角 Q-BP-C 的余弦值为 ?

3 AB ,求 的值 5 AD

【答案】

33. (山东省滨州市 2013 届高三第一次 (3 月) 模拟考试数学 (理) 试题) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ?

底面 ABCD, ?DAB 为直角, AB ∥ CD , AD ? CD ? 2 AB, E , F 分别为 PC , CD 的中点. (Ⅰ)求证: CD ? 平面 BEF ; (Ⅱ)设 PA ? kAB (k > 0 ,且二面角 E ? BD ? C 的大小为 30? ,求此时 k 的值.

【答案】

34. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯



,

AB / / CD,



AC ? BD,

AC与BD交于O, PO ? 底面ABCD, PO ? 2, AB ? 2CD ? 2 2, E、F 分 别 是

AB、 AP 的中点.
(1)求证: AC ? EF ; (2)求二面角 F ? OE ? A 的余弦值.

P

F D O A E
第 18 题图
【答案】证明:(1) E、F 分别是 AB、AP 的中点.

C

B

EF 是 PB 的中位线,? EF / / PB, ----由已知可知 PO ? ABCD,? PO ? AC ,

? AC ? BD, ? AC ? 面POB, PB ? 面POB ? AC ? PB ----------------------------------5 分

? AC ? EF .
P

F D O A E B C

(2)以 OB, OC , OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建系 {OB, OC , OP}

??? ? ???? ??? ?

z
P

F D O A E B C

y

x

由题设, OA ? OB ? 2, OC ? OD ? 1 ,

A ? 0, ?2, 0 ? , B ? 2, 0, 0 ? , C ? 0,1, 0 ? , D ? ?1, 0, 0 ? , P(0, 0, 2)
??? ? ??? ? OE ? (1, ?1, 0), OF ? (0, ?1,1),
设平面 OEF 的法向量为 m ? ( x, y, z )

??

?? ??? ? ?? ? ?m ? OE ? 0 可得 m ? (1,1,1) , ? ? ?? ??? ? ? ?m ? OF ? 0 ? 平面 OAE 的法向量为 n ? (0, 0,1)
设二面角 F ? OE ? A 为 ? ,

?? ? m?n 3 ?? cos ? ? ?? ?? | m || n | 3
35. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学) 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB =2, AA1

? 3,

点 D 为 AC 的中点,点 E 在线段 AA1 上 (I)当 AE : EA1 ? 1: 2 时,求证 DE ? BC1 ; (Ⅱ)是否存在点 E,使二面角 D-BE-A 等于 60? 若存在求 AE 的长;若不存在,请说明理由

【答案】

36( .山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 (A) ) 如图,五面体中,四边形 ABCD 是矩形,DA ? 面 ABEF,

且 DA=1,AB//EF, AB ?

1 EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点. 2

(I)求证:PQ//平面 BCE; (II)求证:AM ? 平面 ADF;
【答案】

37. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)如图在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为正方

形,ED ? 平面 ABCD,FB//ED,且 AD=DE=2BF=2. (I)求证: AC ? EF ; (II)求二面角 C—EF—D 的大小; (III)设 G 为 CD 上一动点,试确定 G 的位置使得 BG//平面 CEF,并证明你的结论.

【答案】

38 . (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形 ,

1 AB / / CD, AD ? AB, AD ? AB ? CD ? 1 , PD ? 面ABCD , PD ? 2 , E 是 PC 的中点 2
(1)证明: BE / / 面PAD ; (2)求二面角 E ? BD ? C 的大小.

(第 20 题)
【答案】证明:取 PD 的中点为 F , 连接 EF ,

z

EF // CD, EF ?

1 CD, 2

1 AB // CD且AB ? CD, 又 2 ? EF // AB, EF ? AB,
? ABEF 是平行四边形, ? BE // AF , 又BE ? 面PAD,AF ? 面PAD, ? BE / / 面PAD.
(2)建系:以 DA,DB,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,

F y

x

B(1,1,0), C (0,2,0), P(0,0, 2 ), 则

E (0,1,

2 ) 2

??? ? ??? ? 2 DB ? (1,1, 0), BE ? (?1, 0, ) 2

? 设平面EDB的法向量为n ? ( x, y, z )

?x ? y ? 0 ? ? 2 z?0 ?? x ? ? 2 ? ? n ? ( x, ? x, 2 x) ? x(1, ?1, 2)

? ? n ? (1, ?1, 2) 令 x=1,则
又因为 平面ABCD的法向量为m ? (0, 0,1),

??

cos m, n ?

2 , 二面角 E ? BD ? C 为 450. 2

39. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)如图所示,在棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平

面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形, PA ? AD ? DC ? 2, AB ? 4 且 AB // CD , ?BAD ? 90 ,
?

(Ⅰ)求证: BC ? PC (Ⅱ)求 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.
【答案】解:(Ⅰ)在直角梯形 ABCD 中,AC= 2

2,

取 AB 中点 E,连接 CE, 则四边形 AECD 为正方形,

? AE=CE=2,又 BE=

则 ?ABC 为等腰直角三角形, ? AC ? BC , 又? PA ? 平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD , ? PA ? BC ,由 AC ? PA ? A 得 BC ? 平面 PAC, ? PC ? 平面 PAC,所以 BC ? PC (Ⅱ)以 A 为坐标原点,AD,AB,AP 分别为 x, y, z 轴, 建立如图所示的坐标系.则 P (0,0,2) ,B(0,4,0), C(2,2,0),

1 AB ? 2 , 2

BP ? (0,?4,2), BC ? (2,?2,0)
由(Ⅰ)知 BC 即为平面 PAC 的一个法向量,

cos ? BC , BP ??

BC ? BP | BC || BP |

?

10 , 5
10 5

即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为

40. (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理) 如图,四棱锥 P—ABCD 中, PB ? 底面 ABCD.底面 ABCD

为直角梯形, ?ABC ? 90? , AD / / BC , AB ? AD ? PB, BC ? 2 AD. 点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA. (I)求证: CD ? 平面 PBD;
【答案】

(II)求二面角 A—BE—D 的余弦值.

41. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,将四条边对

应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥 P-ABCD.

(1)当 Q 为 PC 为中点时,证明 PA//平面 BDQ; (2)当等腰三角形的腰长为多少时,异面直线 PA 与 BC 所成的角为 60 ; (3)当侧棱与底面所成的角为 60 时,求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值.
【答案】
o o

42 . ( 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 3 月 模 拟 检 测 理 科 数 学 ) 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 是 菱 形

∠BCD=60°,AB=PB=PD=2,PC= 3 ,AC 与 BD 交于 O 点,H 为 OC 的中点.

(1)求证 PH 平面 ABCD; (2)求侧面 PAB 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值.
【答案】

43. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)三棱锥 P ? ABC ,底面 ABC 为边长为 2

3 的正

三角形 , 平面 PBC ? 平面 ABC , PB ? PC ? 2 , D 为 AP 上一点 , AD ? 2 DP , O 为底面三角形中 心. (Ⅰ)求证 DO ∥面 PBC ; (Ⅱ)求证: BD ? AC ; (Ⅲ)设 M 为 PC 中点,求二面角 M ? BD ? O 的余弦值. P D

A

C O B

【答案】证明:(Ⅰ)连结 AO 交 BC 于点 E ,连结 PE .

? O 为正三角形 ABC 的中心,∴ AO ? 2OE , 且 E 为 BC 中点.又 AD ? 2 DP , ∴ DO ∥ PE , ? DO ? 平面 PBC , PE ? 平面 PBC ∴ DO ∥面 PBC (Ⅱ)? PB ? PC ,且 E 为 BC 中点, ∴ PE ? BC , 又平面 PBC ? 平面 ABC , ∴ PE ? 平面 ABC , 由(Ⅰ)知, DO ∥ PE , ∴ DO ? 平面 PBC , x ∴ DO ? AC 连结 BO ,则 AC ? BO ,又 DO ? BO ? O , ∴ AC ? 平面 DOB ,∴ AC ? BD

z
P D M

A

C O E B

y (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知, EA, EB, EP 两两互相垂直,且 E 为 BC 中点,所以分别以 EA, EB, EP 所在直线为
x, y , z
轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 如 图 , 则

2 3 1 A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), P(0, 0,1),D(1, 0, ), C (0, ? 3, 0), M (0, ? , ) 3 2 2
∴ BM ? (0, ?

???? ?

? 3 3 1 ??? 2 , ), DB ? (?1, 3, ? ) 2 2 3

? 2 ? ? ??? n ? DB ? ? x ? 3 y ? z?0 ? ?? ? 3 ? 设平面 BDM 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? , ? ???? ? ?n ? BM ? ? 3 3 y ? 1 z ? 0 ? ? 2 2 ? 令 y ? 1 ,则 n ? (? 3,1,3 3)
由 (Ⅱ) 知

???? AC ? 平 面 DBO ,∴ AC ? (?3, ? 3, 0) 为 平 面 DBO 的 法 向

? ???? ? ???? n ? AC 3 3? 3 31 量,∴ cos ? n, AC ?? ? ???? ? , ? 31 | n || AC | 3 ? 1 ? 27 ? 9 ? 3
由图可知,二面角 M ? BD ? O 的余弦值为

31 31

44 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) ( 本 小 题 满 分 1 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD

中, AB ? AD ,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点 E,F 分别在 BC,AD 上,且 E 为 BC 中点,EF∥AB.现将四边 形 ABEF 沿 EF 折起,使二面角 A ? EF ? D 等于 60? . ( I )设这 P 为 AD 的中点,求证:CP∥平面 ABEF; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取 AF 的中点 Q ,连 QE 、 QP ,

则 QP 所以 PQ

1 DF ,又 DF = 4, EC = 2, 且DF ∥ EC , 2

EC ,即四边形 PQEC 为平行四边形,

所以 CP ∥ QE ,又 QE ? 平面 ABEF , CP ? 平面ABEF , 故 CP ∥平面 ABEF . (Ⅱ)由题知折叠后仍有 EF ^ AF , EF ^ FD ,则 EF ^ 面AFD ,

AFD 为二面角 A - EF - D 的平面角, 即 ? AFD 60 , 过 A
AO ^ FD于O , 又 Q AO ^ EF , \ AO ^ 平面CDFE ,
作 OG ∥ EF 交 EC 于 G ,则 OG ^ FD, AO ^ OG ,

\



分别以 OG , OD, OA 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 O - xyz ,

在 RtD AOF 中, AF = 2, ? AFO

60 ,则 FO = 1, OA =

3,

\ F (0, - 1,0), A(0,0, 3), D(0,3,0), C (2,1,0)

uuu r 3), CD = (- 2, 2,0) , uuu r ì n ?AD 0 ì ? ? 3 y - 3z = 0 ? 即 设平面 ACD 的一个法向量 n = ( x, y , z ) 则 镲 , r 眄 uuu 镲 2 x + 2 y = 0 n ? CD 0 镲 ? ? ?
令z=

uuu r \ AF = (0, - 1, -

uuu r 3), AD = (0,3, -

3, 得y = 1, x = 1,

\ n = (1,1, 3),
则 cos < n, AF > =

uuu r

| - 1- 3 | 2 = 5, 5 2? 5
2 5 5

\ 直线 AF 与平面 ACD 所成角的正弦值为

45. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)(本小题满分 12 分)

如 图 所 示 的 几 何 体 中 ,ABCD 是 等 腰 梯 形 ,AB//CD,ACFE 是 矩 形 , 平 面 ACFE⊥ 平 面 ABCD,AD=DC=CB=CF=a,∠ACB=

?
2

.

(1)若 M ? EF , AM //平面 BDF,求 EM 的长度; (2)求二面角 B—EF—C 的平面角 ? 的大小.

【答案】

46. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)如图,已知矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 的中点,

沿 AO 将三角形 AOD 折起,使 DB = 3 . (Ⅰ)求证:平面 AOD⊥ABCO; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

D D O C

O

C

A

B

A 第 20 题图

B

【答案】(Ⅰ)∵在矩形 ABCD 中,AB=2AD=2,O 为 CD 中点,

∴△AOD,△BOC 为等腰直角三角形, ∴∠AOB=90?,即 OB⊥OA. 取 AO 中点 H,连结 DH,BH,则 OH=DH=
2 2 2

2 , 2

在 Rt△BOH 中,BH =BO +OH =

5 , 2

在△BHD 中,DH +BH = (
2 2 2

2

2

2 2 5 ) ? ? 3, 又 DB2=3, 2 2

∴DH +BH =DB ,∴DH⊥BH. 又 DH⊥OA, OA∩BH=H ∴DH⊥面 ABCO, 而 DH∈平面 AOD, ∴平面 AOD⊥平面 ABCO. (Ⅱ)解 : 分别以直线 OA,OB 为 x 轴和 y 轴 ,O 为坐标原点 , 建立如图所示的空间直角坐标系 , 则

B(0, 2, 0) , A( 2, 0, 0) , D(

2 2 2 2 , 0, ) , C (? , , 0) . 2 2 2 2
? 2 2 ??? 2 2 , 0, ), BC ? ( ? ,? , 0). 2 2 2 2
D z

∴ AB ? (? 2, 2, 0), AD ? ( ?

??? ?

????

设平面 ABD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ),

??? ? ?? 2 x ? 2 y ? 0, ? ?n ? AB ? 0, ? 由 ? ???? 得? 2 2 n ? AD ? 0, x? z ? 0, ? ?? ? ? 2 2
即 x ? y, x ? z , 令 x ? 1, 则 y ? z ? 1 ,
x A

O H

C

B

y

取 n ? (1,1,1). 设 ? 为直线 BC 与平面 ABD 所成的角,

??? ? BC ? n 2 6 则 sin ? ? ??? ? ? . ? 3 3 BC ? n

即直线 BC 与平面 ABD 所成角的正弦值为

6 . 3

47. (山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学 (理) ) 如图,五面体中,四边形 ABCD 是矩形,DA ? 面 ABEF,

且 DA=1,AB//EF, AB ?

1 EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点. 2
(II)求证:AM ? 平面 ADF;(III)求二面角,A—DF—E 的余弦值.

(I)求证:PQ//平面 BCE;

【答案】


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