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2010级数学分析第1学期期中考试2010-11-10


上 海 交 通 大 学 试 卷
( 2010 至 2011 学年 第 1 学期 2010 年 11 月 10 日 ) 姓名 成绩 班级号_________________ 课程名称

学号

《数学分析》 (电院、管院期中考试)

题 号 应得分 得 分

一 16

二 15

三 12

四 27

五 12

六 10

七 8

总 分 100

一. 填空题 (每小题 4 分,共 16 分) 1.函数 f ( x) = . (e x + e)sin x x(e ? e) 其类型为___________________________________________.
1 x 1

的间断点是 x =

,

? x = cos t + cos 2 t , π 2.曲线 ? 上对应于 t = 的点处的切线斜率为 . 4 ? y = 1 + sin t
3.设函数 y = .
1 ,则 y (2010) (0) = x ?1
2

.

.

4. . 已知函数 f (x ) 在任意点 x 处的增量 ?f = (arctan x 2 )?x + o(?x) , y = f ( 2 x ? 1) , 又 则 dy x = 0 = ______________. 二. 单项选择题 (每小题 3 分,共 15 分) 1.设正数列 {an } 满足 lim .
an +1 = 0 ,则 n →∞ a n
n →∞

…… (

)

(A) lim an = 0 . (B) lim an = C > 0 . (C) lim an 不存在. (D) {an } 的收敛性不能确定.
n →∞ n →∞

2. . 设函数 f ( x) =

1 1 sin , 则当 x → 0 时, x x
(B) f ( x) 无极限,但有界. (D) f ( x) 是无穷大.

…… (

)

(A) f ( x) 存在有限极限.

(C) f ( x) 无界,但不是无穷大.

3. 当 x → 0 时,与 ln(cos x + 2 x 2 ) 等价的无穷小是
(A) x2 . 2 (B) x 2 . 3 (C) x 2 . 2 (D) 2x 2 .

…… (

)

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4. 设 f (x ) 在 x = 0 的某邻域内可导,且 f (0) = 0 , f ' (0) > 0 ,则 ?δ > 0 ,使得 …… ( (A) 对 ?x ∈ (0, δ ) 有 f ' ( x) > 0 . (C) 对 ?x ∈ ( ?δ ,0) 有 f ' ( x) > 0 . (B) 对 ?x ∈ (0, δ ) 有 f ( x ) > 0 . (D) 对 ?x ∈ ( ?δ ,0) 有 f ( x ) > 0 . …… (
)

)

? x3e ? x , x > 0 5. 设函数 f ( x) = ? ,则 f ( x) 在 x = 0 处 x, x ≤ 0 ?
(A) 可导. (C) 右可导而左不可导. (B) 左可导而右不可导. (D) 连续但不可导.

三. 判断题 (正确的给出证明,错误的举出反例说明. 每小题 6 分,共 12 分) 1. f 在 (a, b) 内连续 ? ?[α , β ] ? (a, b) , f 在 [α , β ] 上连续. .

2.若函数 f ( x) 在 (0, +∞) 上可导,且 lim f ( x) = ∞ ,则必有 lim f ′( x) = ∞ . .
x →+∞ x →+∞

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四、计算题 (每小题 9 分,共 27 分)

[ ln( x + 1)] enx + ax + b . (1) 1.设函数 f ( x) = lim .
n →+∞

e nx + 1 (2) 试确定常数 a, b ,使 f (x) 在 x = 0 处可导.

求 f (x) 的表达式(无极限符号);

2.设方程 e xy + sin x ? y = 0 确定了函数 y = y ( x) ,求 .

dy dx


x = 0

d2 y dx 2

.
x =0

3.令 x = sin t ,以 t 为新自变量,试变换方程 (1 ? x 2 ) y′′ ? xy′ + a 2 y = 0 ( a 为常数). .

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五.(本题共 12 分) 设 y =

1 1 ? x2

arcsin x .

(1) 证明: (1 ? x 2 ) y′ ? xy = 1 ; (2) 证明: (1 ? x 2 ) y ( n +1) ? (2n + 1) xy ( n ) ? n 2 y ( n ?1) = 0 (n ≥ 1) ; (3) 求 y ( n ) (0) .

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六.(本题共 10 分) (1) 证明:若 f ∈ U .C (a, b), g ∈ U .C (a, b) ,则 f ? g ∈ U .C (a, b) ; (2) 试问:若将区间 (a, b) 改为 (?∞, + ∞) ,上述结论是否仍成立?请说明理由.

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七.(本题共 8 分) 设 f n ( x) = sin x + sin 2 x + L + sin n x (n ≥ 2) ,证明:
π π (1) 关于 x 的方程 f n ( x) = 1 在 ( , ] 内有唯一实根 xn ; 6 2

(2) lim xn =
n →∞

π . 6

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