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人教版高中数学《三角函数》全部教案11


三角函数

第一教时
教材:角的概念的推广 目的:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,并进而理解“正角” “负角” “象 限角” “终边相同的角”的含义。 过程:一、提出课题: “三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值 来定义的。相对于现在,我们研究的三角函数是“任意角的三角函数” , 它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用,并且在各门学科技术 中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1.回忆: 初中是任何定义角的?(从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形) 这种概念的优点是形象、 直观、 容易理解, 但它的弊端在于 “狭 隘” 2.讲解: “旋转”形成角(P4) 突出“旋转” 注意: “顶点” “始边” “终边” “始边”往往合于 x 轴正半轴 3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法:角 ? 或 ?? 1? 角有正负之分 2? 角可以任意大 实例:体操动作:旋转 2 周(360?×2=720?) 3 周(360?×3=1080?) 3? 还有零角 三、关于“象限角” 为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点, 角的始边合于 x 轴的正半轴, 这样一来, 角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在 坐标轴上,则此角不属于任何一个象限) 例如: 30? 限角 585? 等 1180?是第Ⅲ象限角 ?2000?是第Ⅱ象限角 390? ?330?是第Ⅰ象限角 300? ?60?是第Ⅳ象 一条射线,没有旋转 可以简记成 ? 如:?=210? ?=?150? ?=?660? 4.由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。

四、关于终边相同的角 1.观察:390?,?330?角,它们的终边都与 30?角的终边相同 2.终边相同的角都可以表示成一个 0?到 360?的角与 k (k ? Z ) 个周角的和 390?=30?+360? ?330?=30??360?
(k ? 0) (k ? 1)

(k ? ?1)
(k ? 4)

30?=30?+0×360?

1470?=30?+4×360?

?1770?=30??5×360? (k ? ?5) 3.所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合

S ? ? | ? ? ? ? k ? 3 6 ?0 k ? Z ,

?

?

即: 任何一个与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和 4.例一 (P5 略) 用“旋转”定义角 角的范围的扩大 五、小结: 1? 角的概念的推广 2?“象限角”与“终边相同的角”

第二教时
教材:弧度制 目的:要求学生掌握弧度制的定义,学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的 集合与实数集 R 一一对应关系的概念。 过程:一、回忆(复习)度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题:弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是 rad 读作弧度
B r o 1rad A o C l=2 r 2rad r A

定义:长度等于半径长的弧所对的圆心 角称为 1 弧度的角。 如图:?AOB=1rad ?AOC=2rad 周角=2?rad

1.正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0

l ( l 为弧长, r 为半径) r 3.用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是 0)

2.角?的弧度数的绝对值 ? ?

用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 抓住:360?=2?rad ∴180?=? rad ? rad ? 0.01745 rad ∴ 1?= 180

? 180? ? ? 1rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ?
例一 把 67? 30' 化成弧度
? ?

?

? 1? 解: 67 30' ? ? 67 ? ? 2?
例二

∴ 67 ? 30' ?

?
180

rad ? 67

1 3 ? ?rad 2 8

3 把 ?rad 化成度 5 3 3 解: ?rad ? ? 180 ? ? 108 ? 5 5 注意几点:1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器” 《中学数学用表》进

行; 2.今后在具体运算时, “弧度”二字和单位符号“rad”可以省 略 表) 4.应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是 弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应 的关系。 例三 用弧度制表示:1?终边在 x 轴上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合 2?终边在 y 轴 如:3 表示 3rad sin?表示?rad 角的正弦 3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住(见课本 P9

上的角的集合

解:1?终边在 x 轴上的角的集合 S1 ? ?? | ? ? k? , k ? Z ?

? ? ? 2?终边在 y 轴上的角的集合 S 2 ? ?? | ? ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
k? ? ? 3?终边在坐标轴上的角的集合 S 3 ? ?? | ? ? ,k ? Z? 2 ? ?

第三教时
教材:弧度制(续) 目的:加深学生对弧度制的理解,逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的 问题。 过程:一、复习:弧度制的定义,它与角度制互化的方法。 口答 《教学与测试》 P101-102 练习题 1—5 并注意紧扣, 巩固弧度制的概念,然后再讲 P101 例二 l n?r 二、由公式: ? ? ? 比相应的公式 l ? 简单 l ?r?? r 180 弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积 例一 (课本 P10 例三) 利用弧度制证明扇形面积公式 S ? 形弧长, R 是圆的半径。 证:
R o S l

1 lR 其中 l 是扇 2
1 ?R 2 2?

如图:圆心角为 1rad 的扇形面积为: 弧长为 l 的扇形圆心角为 ∴S ? 比较这与扇形面积公式 S 扇 ?
l 1 1 ? ? ?R 2 ? lR R 2? 2 l rad R

n?R 2 要简单 360

例二 《教学与测试》P101 例一 直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对 4? 的弧长 ⑴ ⑵ 165? 3 4? 40? ? 10 ? (cm ) 解: r ? 10cm ⑴: l ? ? ? r ? 3 3 ? 11? ? 165 (r a )d ? r a d ∴ ⑵ : 165 ? ? 180 12 11? 55? l? ? 10 ? (cm ) 12 6 例三 如图,已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形 的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 解:设扇形的半径为 r,弧长为 l ,则有
A B

o

?2r ? l ? 6 ?r ? 2 ?l ?? ? ?1 ?l ? 2 ?r ? ? 例四 计算 sin 4

∴ 扇形的面积 S ?
t a n .5 1

1 rl ? 2(cm ) 2 2

解:∵

?
4

? 45 ?

∴ sin

?
4

? sin 45? ?

2 2

1.5rad? 57.30? ? 1.5 ? 85.95? ? 85? 57'

∴ tan1.5 ? tan85? 57' ? 14.12 例五 ⑴ 解: 将下列各角化成 0 到 2? 的角加上 2k? (k ? Z ) 的形式
19 ? 3



? 315?

19 ? ? ? ? 6? 3 3

? 315 ? ? 45 ? ? 360 ? ?

例六

? 2? 4 求图中公路弯道处弧 AB 的长 l (精确到 1m)

?

60 R=45

图中长度单位为:m ? 解: ∵ 60 ? ? 3 ? ∴ l ? ? ? R ? ? 45 ? 3.14 ? 15 ? 47 (m) 3 三、练习:P11 6、7 《教学与测试》P102 练习 6 四、作业: 课本 P11 -12 P12-13 《教学与测试》P102 练习 8、9、10 习题 4.2 5—14 7、8 及思考题

第四教时
教材:任意角的三角函数(定义) 目的:要求学生掌握任意角的三角函数的定义,继而理解?角与?=2k?+?(k?Z) 的同名三角函数值相等的道理。 过程:一、提出课题:讲解定义: 1.设?是一个任意角,在?的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) 则 P 与原点的距离 r ? 2.比值

x ? y ? x 2 ? y 2 ? 0 (图示见 P13 略)
2 2

y y ? 叫做?的正弦 记作: s i n ? r r x ? 比值 叫做?的余弦 记作: c o s ? r y ? 比值 叫做?的正切 记作: t a n ? x

x r y x

比值 比值

x 叫做?的余切 y

记作: 记作:

c o? ? t
r x

x y

r 叫做?的正割 x

sec ? ?

比值

r 叫做?的余割 y

记作:

c s? ? c

r y

注意突出几个问题: ①角是“任意角” ,当?=2k?+?(k?Z)时,?与?的 同名三角函数值应该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相 等。 ②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用。 (下 面有例子说明) ③三角函数是以“比值”为函数值的函数 ④ r ? 0 ,而 x,y 的正负是随象限的变化而不同,故三角函数 的符号应由象限确定(今后将专题研究) ⑤定义域:

y?sin ? y ? c o? s y ?t a? n

R R

y ? cot?

? ? k? ?

?
2

y ? sec?
(k ? Z )

y ? csc?

? ? k? (k ? Z ) ? ? ? k? ? (k ? Z ) ? ? k? (k ? Z )
二、例一 已知?的终边经过点 P(2,?3),求?的六个三角函数值
y

2

解: x ? 2, y ? ?3, r ? 2 2 ? (?3) 2 ? 13 ∴sin?=? tan?=? sec?=
3 13 13
3 2

o

x

cos?=

2 13 13
2 3

P(2,-3)

cot?=? csc?=?

13 2

13 3

例二

求下列各角的六个三角函数值 3? ? ⑴ 0 ⑵ ? ⑶ ⑷ 2 2 ⑵ ⑶的解答见 P16-17

解:⑴

∴sin

? 2 ? sec 2

? 时 x ? 0, y ? r 2 ? ? ? =1 cos =0 tan 不存在 cot =0 2 2 2 ? 不存在 csc =1 2
⑷ 当?=
cos x cos x ? tan x 的值域 tan x

例三

《教学与测试》P103 例一 求函数 y ?

解: 定义域:cosx?0 ∴x 的终边不在 x 轴上 又∵tanx?0 ∴x 的终边不在 y 轴上 tanx=|tanx| ∴y=2 |tanx|=?tanx ∴ |tanx|=tanx ∴y=0

∴当 x 是第Ⅰ象限角时,x ? 0, y ? 0 cosx=|cosx| y=?2 ????ⅢⅣ???, 例四
x ? 0, y ? 0 x ? 0, y ? 0

? ? ? ? Ⅱ ? ? ? ? , x ? 0, y ? 0 |cosx|=?cosx |cosx|=?cosx

《教学与测试》P103 例二 ⑴ 已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值

⑵已知角?的终边经过 P(4a,?3a),(a?0)求 2sin?+cos?的值 3 4 2 解:⑴由定义 : r ? 5 sin?=? cos?= ∴2sin?+cos?=? 5 5 5 3 4 2 ⑵若 a ? 0 r ? 5a 则 sin?=? cos?= ∴2sin?+cos?=? 5 5 5 3 4 2 若 a ? 0 r ? ?5a 则 sin?= cos?=? ∴2sin?+cos?= 5 5 5 三、小结:定义及有关注意内容 四、作业: 课本 P19 练习 1 《教学与测试》P104 P20 习题 4.3 4、5、6、 7 3

第五教时
教材:三角函数线 目的:要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数 的定义域、值域有更深的理解。 过程:一、复习三角函数的定义,指出: “定义”从代数的角度揭示了三角函数 是一个“比值” 二、提出课题:从几何的观点来揭示三角函数的定义: 用单位圆中的线段表示三角函数值 三、新授: 2.介绍(定义) “单位圆”—圆心在原点 O,半径等于单位长度的圆 3.作图: (课本 P14 图 4-12 )

此处略

……

……

………

……

……

设任意角?的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合, 角?的终边也与单位圆交于 P,坐标轴正半轴分别与单位圆交于 A、B 两点 过 P(x,y)作 PM?x 轴于 M,过点 A(1,0)作单位圆切线,与? 角的终边或其反向延长线交于 T,过点 B(0,1)作单位圆的切线,与?角 的终边或其反向延长线交于 S 4.简单介绍“向量” (带有“方向”的量—用正负号表示) “有向线段” (带有方向的线段) 方向可取与坐标轴方向相同,长度用绝对值表示。 例:有向线段 OM,OP 当 OM=x 时 有正值 x 若x ? 0 OM 具有负值 x
y y ? ? y ? MP r 1 x x cos ? ? ? ? x ? OM r 1 MP,OM,AT,BS 分别称作 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT x OM OA 切线,余切线

长度分别为 x , y 若x ? 0 OM 看作与 x 轴同向 OM 具

OM 看作与 x 轴反向

5. sin ? ?

有向线段

?角的正弦线,余弦线,正

cot? ?

x OM BS ? ? ? BS y MP OB
2? 与 3

四、例一.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 2? 4? 2? 4? 1? s i n 与 sin 2? tan 与 tan 3 5 3 5 4? cot 5 解:
S2 S1 B P2 P1 o A T2 T1

3? cot

如图可知:

sin

M S1 2?2 M1 4? ? sin 3 5

tan

2? 4? ? tan 3 5

例二 1?

2? 4? ? cot 3 5 利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角

cot

sin?≥
y

1 2

2? tan? ?

3 3
y

解: 1?
P2

2?
P1 30? T x 210? o x

o

A

30?≤?≤150? 例三 求证:若 0 ? ? 1 ? ? 2 ?
y P2 P1 o M2 M1 x

?
2

30? ? ? ? 90?或 210? ? ? ? 270? 时,则 sin?1 ? sin?2

证明:

分别作?1,?2 的正弦线 x 的终边不在 x 轴上 sin?1=M1P1 sin?2=M2P2 ? ∵ 0 ? ?1 ? ? 2 ? 2 ∴M1P1 ? M2P2 即 sin?1 ? sin?2

五、小结:单位圆,有向线段,三角函数线 六、作业: 课本 P15 练习 P20 习题 4.3 补充:解不等式:( x ? [0,2? ) ) 1?sinx ≥ 3?sin2x≤
1 2

2

3 2

2?

tanx ? ?1

第七教时
教材:三角函数的值在各象限的符号 目的: 通过启发让学生根据三角函数的定义, 确定三角函数的值在各象限的符号, 并由此熟练地处理一些问题。 过程:一、复习三角函数的定义;用单位圆中的线段表示三角函数值 二、提出课题 然后师生共同操作: 1.第一象限: .x ? 0, y ? 0 ∴ sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0,cot? ? 0,sec? ? 0,csc? ? 0 第 二 象 限 :
.x ? 0, y ? 0



sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0,cot? ? 0,sec? ? 0,csc? ? 0 第 第 三 四 象 象 限 限 : :
.x ? 0, y ? 0 .x ? 0, y ? 0

∴ ∴

sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0,cot? ? 0,sec? ? 0,csc? ? 0 sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0,cot? ? 0,sec? ? 0,csc? ? 0 记忆法则:

sin ? csc ? t an? cot?

为正

全正

为正

cos? sec ?

为正 tan(?+2k?)=tan? sec(?+2k?)=sec?

2.由定义:sin(?+2k?)=sin? cos(?+2k?)=cos? cot(?+2k?)=co? csc(?+2k?)=csc? 三、例一 (P18 例三 略)

? sin ? ? 0 例二 (P18 例四)求证角?为第三象限角的充分条件是 ? ?tan? ? 0
证:必要性: 若?是第三象限角,则必有 sin? ? 0,tan? ? 0

(1) ( 2)

例三 四、练习: 1.若三角形的两内角?, ?满足 sin?cos? ? 0, 则此三角形必为???? (B) A:锐角三角形 B:钝角三角形 C:直角三角形 D:以上三种情 况都可能 2.若是第三象限角,则下列各式中不成立的是??????????? (B) A:sin?+cos? ? 0 B:tan??sin? ? 0 C:cos??cot? ? 0 D:cot?csc? ? 0 ? ? 3.已知?是第三象限角且 cos ? 0 ,问 是第几象限角? 2 2 ? (k ? Z ) 解:∵ (2k ? 1)? ? ? ? (2k ? 1)? ? 2

充分性: 若⑴ ⑵ 两式成立 ∵若 sin? ? 0 则?角的终边 可能位于第三、第四象限,也可能位于 y 轴的非正半轴 若 tan? ? 0,则角?的终边可能位于第一或第三象限 ∵⑴ ⑵ 都成立 ∴?角的终边只能位于第三象限 ∴角?为第三象限角 (P19 例五 略)

∴ k? ? 限角 又∵ cos ∴

?
2

?

?
2

? k? ?

3? 4

(k ? Z )



? 是第二或第四象 2

?
2

?0



? 必为第二象限角 2
sin 2?

? 是第二或第三象限角 2

?1? 4.已知 ? ? ?2?

? 1 ,则?为第几象限角?
sin 2?

?1? 解: 由 ? ? ?2?

?1

∴sin2? ? 0
(k ? Z )

∴2k? ? 2? ? 2k?+?

∴k? ? ? ? k?+

? 2

∴?为第一或第三象限角 五、小结:符号法则,诱导公式 六、作业: 课本 P19 练习 4,5,6 P20-21 习题 4.3 6-10

第八教时
教材:同角三角函数的基本关系 目的:要求学生能根据三角函数的定义,导出同角三角函数的基本关系,并能正 确运用进行三角函数式的求值运算。 过程: 一、复习任意角的三角函数的定义: 计算下列各式的值:
1. sin 2 90? ? cos2 90? 2. sin 2 30? ? cos2 30? 3. tan45? ? cot2 45?

? 3? sin 5? 5? 3 4 6. t a n ? c o t 5. 4. 3? ? 6 6 cos cos 4 3 二、1.导入新课:引导学生观察上述题目的结果(并像公式“方向”引导) sin ? t an ?co t ?1 ? ? ? t an ? 引导猜想: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 cos ? 2.理论证明: (采用定义) sin
1? ? x 2 ? y 2 ? r 2 y x 2 , co?? s ? s i n ? ? c o 2s ? ? 1 r r ? sin ? y x y r y 2 ? 当? ? k? ? (k ? Z )时, ? ? ? ? ? ?tan ? 2 co? r r r x x s ? y x 3? 当? ? k?且? ? k? ? 时, t a n ? c o ? ? ? ? 1 ? t 2 x y 且sin ? ?

sec 3. 推广: 这种关系称为平方关系。 类似的平方关系还有: 2 ? ? tan2 ? ? 1
2 c s c ? ? c o 2t ? ? 1

sin ? ? t a n 这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有: ? cos ? cos ? ? cot ? sin ? tan ? ? cot ? ? 1 这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有: csc ? ? sin ? ? 1 s ec ?co s ?1 ? ? 4.点题:三种关系,八个公式,称为同角三角函数的基本关系。 5.注意: 1?“同角”的概念与角的表达形式无关, ? sin ? 2 ?tan 如: sin 2 3? ? cos2 3? ? 1 ? 2 cos 2 2?上述关系(公式)都必须在定义域允许的范围内成立。 3?据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数 值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根,会出现两解, 因此应尽可能少用(实际上,至多只要用一次) 。 三、例题: 例一、 (课本 P25 例一) 略 注:已知角的象限,利用平方关系,也只可能是一解。 例二、 (课本 P25 例二) 略 注:根据已知的三角函数值可以分象限讨论。 例三、 (课本 P25 例三) 略 1 2 实际上: sec 2 ? ? tan2 ? ? 1 即 cos? ? 2 1? t a n ?

1 ? ? 2 ? ? c o ? ? ? 1 ? t a n? s 1 ?? ? 1? t a 2 ? n ?

s i n ? t an ?co s ? ? ?

当?为 第 一 、 四 象 限 角 当?为 第 二 、 三 象 限 角

tan? ? ? 2 ? ? cos? ? ? 1 ? tan ? tan? ?? ? 1 ? tan2 ? ?
四、小结:三种关系,八个公式 五、作业:P27 练习 1—4 P27—28 习题 4.4

当?为第一、四象限角 当?为第二、三象限角

1—4

第九教时
教材:同角三角函数的基本关系(2)——求值 目的:要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值,并 从中了解一些三角运算的基本技巧。 过程: 二、复习同角的三角函数的基本关系: 练习:已知 cos? ? m (m ? 0, m ? ?1), 求?的其他三角函数值。 解:若?在第一、二象限,则 1 sec ? ? sin ? ? 1 ? m 2 m
1 ? m2 tan? ? m cot ? ? m 1 ? m2

csc ? ?

1 1 ? m2

若?在第三、四象限,则 1 sec ? ? sin ? ? ? 1 ? m 2 m
tan? ? ? 1 ? m2 m cot ? ? ? m 1 ? m2

csc ? ? ?

1 1 ? m2

六、例一、 (见 P25

例四)化简: 1 ? sin 2 440?

解:原式 ? 1 ? sin 2 (360 ? ? 80 ? ) ? 1 ? sin 2 80 ? ? cos 2 80 ? ? cos 80 ? 例二、已知 sin ? ? 2 cos ? ,求 解:? sin ? ? 2 cos?
? sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 5 sin ? ? 2 cos ?

? tan? ? 2

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ?

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? tan2 ? ? 2 tan? 4 ? 2 6 ? ? ? 4 ?1 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

强调(指出)技巧:1?分子、分母是正余弦的一次(或二次)齐次式 2?“化 1 法” 例三、已知 sin ? ? cos? ?
3 ,求 tan? ? cot ?及sin ? ? cos?的值。 3 3 3

解:将 sin ? ? cos? ?

两边平方,得: sin ? cos ? ? ?

1 3

?t an ? c o t ? ? ?

1 ? ?3 s i n cos ? ? 2 5 ? 3 3

(sin ? ? cos ?) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ?

? sin ? ? cos? ? ?

15 3
25 , 12

例四、已知 tan ? ? cot ? ?

求 tan? ? cot ?, tan2 ? ? cot2 ?, tan3 ? ? cot3 ?, sin ? ? cos?
解:由题设: tan 2 ? ? cot 2 ? ? ∴ tan? ? cot ? ? ?
625 ? 2, 144

625 7 ?4 ? ? 144 12
25 7 175 ? (? ) ? ? 12 12 144

tan 2 ? ? cot 2 ? ? (tan ? ? cot ?)(tan ? ? cot ?) ?

tan3 ? ? cot3 ? ? (tan? ? cot ?)(tan2 ? ? cot2 ? ? tan? cot ?) 25 337 25 1 9 3 4 8 2 5 ? ?( ? 1) ? ? ? 12 144 12 1 4 4 1 7 2 8

sin ? ? cos? ? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? ? 1 ? 2 ?
(? tan ? ? cot ? ? 例五、已知 sin ? ? cos ? ?

12 7 ?? 25 5

1 25 12 ? ? sin ? cos ? ? ) sin ? cos ? 12 25

1 (0 ? ? ? ?) ,求 tan? 及 sin 3 ? ? cos3 ? 的值。 5 12 ? 解:1? 由 sin ? cos ? ? ? , 0 ? ? ? ?, 得: cos ? ? 0 ? ? ? ( , ?) 25 2 49 7 , 得: sin ? ? cos ? ? 由 (sin ? ? cos ?) 2 ? 25 5

? ?sin ? ? cos ? ? ? 联立: ? ?sin ? ? cos ? ? ? ?

1 4 ? ? sin ? ? 5 4 5? ? t an ? ? ? ? 7 3 3 ?cos ? ? ? 5 5 ?

4 3 91 2? sin 3 ? ? cos 3 ? ? ( ) 3 ? (? ) 3 ? 5 5 125 4 ? 2m m?3 , c o?s? , ?是 第 四 象 限 角 , 例 六 、 已 知 s i ?n? 求 m?5 m?5

tan? 的值。

解:∵sin2? + cos2? = 1

∴(

4 ? 2m 2 m?3 2 ) ?( ) ?1 m?5 m?5

化简,整理得: m(m ? 8) ? 0 当 m = 0 时, sin ? ?

? m1 ? 0, m2 ? 8

4 3 , cos ? ? ? , (与?是第四象限角不合) 5 5 12 5 12 当 m = 8 时, sin ? ? ? , cos ? ? , ? tan ? ? ? 13 13 5 七、小结:几个技巧 八、作业: 《课课练》P12 例题推荐 1、2、3 P13 课时练习 6、7、8、9、10 P14 例题推荐 1 《精编》P35 14

第十教时
教材:同角三角函数的基本关系(3)——证明 《教学与测试》第 50 课 目的:运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。 过程: 三、复习同角的三角函数的基本关系: 例: (练习、 《教学与测试》P25 例一) 5 已知 sin ? ? cos ? ? ? ,求 sin ? cos?的值。 4 25 25 9 (sin 1 ? sin ? cos ? ? ? 解: ? ? cos ?) 2 ? 即: ? 2 sin ? cos ? ? 16 16 32 九、提出课题:利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式(或化简) 例一、 (见 P25 例四)化简: 1 ? sin 2 440?

解:原式 ? 1 ? sin 2 (360 ? ? 80 ? ) ? 1 ? sin 2 80 ? ? cos 2 80 ? ? cos 80 ? 例二、已知 ?是第三象限角,化简 例二) 解: 原式 ?

1 ? sin ? 1 ? sin ? ( 《教学与测试》 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

(1 ? sin ?)(1 ? sin ?) (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) (1 ? sin ?)(1 ? sin ?)
(1 ? sin ?) 2 1 ? sin ?
2

?

?

(1 ? sin ?) 2 1 ? sin ?
2

?

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? | cos ? | | cos ? |

? ?是第三象限角, cos? ? 0 ?
? 原式 ? 1? s i n 1? s i n ? ? ? ? ?2 t a n (注意象限、符号) ? ?cos ? ?cos ?

例三、求证: 证一: 左边 ?

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

(课本 P26

例 5)

cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) ? ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) 1 ? sin 2 ? cos2 ?
1 ? sin ? ? 右边 cos ?
?等 式 成 立

?

(利用平方关 :

系) 证 二
2

? (1 ? sin ?)(1 ? s ?) ? 1 ? s
?

??c

2

?

且 1 ? s ? ? 0, i c ? ? o i 0
(利用比例关系) 三 :

ni

no

cos ? 1? s i n ? ? 1? s i n ? cos ?



?

cos? 1 ? sin ? cos2 ? ? (1 ? sin ?)(1 ? s ?) c 2 ? ? (1 ? s 2 ?) ? ? ? 1 ? sin ? cos? (1 ? s ?) c ? (1 ? s ?) c i? o cos2 ? ? cos2 ? ? ?0 (1 ? sin ?) cos?
? cos ? 1? s i n ? ? 1? s i n ? cos ?

i

o i

(作差)

cos 例三、已知方程 2x 2 ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? , ? ,



sin ? cos ? ? 的值。 1 ? cot ? 1 ? tan ?

( 《教学与测试》 例三)

解:? 原式 ?

sin 2 ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? ? sin ? ? cos? sin ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? ? cos? 3 ?1 2

?由韦达定理知:原式?

(化弦法) 已 知







a sec ? ? c tan? ? d , b sec ? ? d tan? ? c, 求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2

? a sec ? ? c tan? ? d (1) 证:由题设: ? ?b sec ? ? ?d tan? ? c (2)
2 (1) 2 ? (2) 2: (a 2 ? b 2 ) s e c ? ? (c 2 ? d 2 ) t a 2 ? ? c 2 ? d 2 n

(a 2 ? b 2 ) sec2 ? ? (c 2 ? d 2 ) sec2 ?
? a2 ? b2 ? c2 ? d 2

? x ? sin ? ? cos? (1) 例五、消去式子中的 ?: ? ? y ? tan? ? cot ? (2)

解:由 (1): x ? 1 ? 2 sin ? cos?
2

x2 ?1 ? sin ? cos? ? (3) 2
? sin ? cos? ? 1 y (4)

由 (2): y ?

sin ? cos? 1 ? ? cos? sin ? sin ? cos?
2 x ?1
2

将(3)代入(4): y ?

(平方消去法)

例六、 (备用)已知 sin ? ? 2 sin ?, tan? ? 3 tan?, 求cos2 ? 解:由题设: sin 2 ? ? 4 sin 2 ? ① ② ③

tan2 ? ? 9 tan2 ?
①/②: 9 c o 2 ? ? 4 c o 2 ? s s ①+③: sin 2 ? ? 9 cos2 ? ? 4

1? c o 2 ? ? 9c o 2 ? ? 4 s s
2 ?c o s ? ?

3 8

十、小结:几种技巧 十一、 作业:课本 P27 练习 5,6, P28 习题 4.4 8,9 《教学与测试》P106 4,5,6,7,8,思考题

第十一教时
教材: 诱导公式 (1) 360? k + ?, 180? ? ?, 180? + ?, 360? ? ?, ?? 目的: 要求学生掌握上述诱导公式的推导过程, 并能运用化简三角式, 从而了解、 领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。 过程: 一、诱导公式的含义: 任意角的三角函数 0?到 360?角的三角函数 锐角三 角函数 二、诱导公式 sin(360?k+?) = sin?, cos(360?k+?) = 1.公式 1: (复习) cos?. tan(360?k+?) = tg?, cot(360?k+?) = ctg?. 2.对于任一 0?到 360?的角,有四种可能(其中?为不大于 90?的非负角) sec(360?k+?) = sec?, csc(360?k+?) = csc?

? ? 当? ? 0 ? , ? ) 90 ? ? ? 180? ?180 ? ? 当? ? 90 , ) ??? ? ? 270? ?180 ? ? 当? ? 180 , ) ?360? ? ? 当? ? 270? , ?) 360 ?

? ? ?

?

?为第一象限角 ?为第二象限角 (以下设?为任意角) ?为第三象限角 ?为第四象限角

3.公式 2:
y P (x,y) o

设?的终边与单位 圆交于点 P(x,y),则 180 +?终边与单位圆交于 点 P’(-x,-y) ∴ sin(180?+?) x = ?sin?, cos(180?+?) = ?cos?.
?

tan(180?+?) = tg?, sec(180?+?) = ?sec?, 4.公式 3: y

cot(180?+?) = ctg?. P (-x,-y) csc(180?+?) = ?csc?

如图:在单位圆中 sin(??) = ?sin?, tan(??) sec(??) = =

作出与角的终边,同样可得: P(x,y)
M o cos(??) = cos?. x P’(x,-y)

?tan?,

cot(??) = ?cot?.

sec?, csc(??) = ?csc? 5.公式 4: sin(180???) = sin[180?+(??)] = ?sin(??) = sin?, cos(180???) = cos[180?+(??)] = ?cos(??) = ?cos?, 同理可得: sin(180???) = sin?, cos(180???) = ?cos?. tan(180???) = ?tan?, cot(180???) = sec(180???) = ?sec?, csc(180???) = csc?

?cot?.

sin(360???) = ?sin?, cos(360???) = cos?. tan(360???) = ?tan?, cot(360???) = ?cot?. sec(360???) = sec?, csc(360???) = ?csc? 三、小结:360? k + ?, 180? ? ?, 180? + ?, 360? ? ?, ? ?的三角函数值 等于?的同名三角函数值再加上一个把?看成锐角时原函数值的符 号 四、例题:P29—30 例一、例二、例三 P31—32 例四、例五、例六 略 五、作业:P30 练习 6.公式 5:

P32

练习 P33 习题 4.5

第十二教时
教材:诱导公式(2) 90? k ± ?, 270? ± ?, 目的:能熟练掌握上述诱导公式一至五,并运用求任意角的三角函数值,同时学 会另外四套诱导公式,并能应用,进行简单的三角函数式的化简及论证。 过程: 三、复习诱导公式一至五:
1 sin(180? ? ?) cos(720? ? ?) tan( ? ? ?) 540 练习: 已知 sin(3? ? ?) ? ? , 求 1. ? ? 3 cot(?? ? 180 ) sin(?180 ? ?) tan( ? ? ?) 900

解: ? sin( 3? ? ?) ? sin( ? ? ?) ? ? sin ?, ? sin ? ?
?原式 ? ? sin ? cos ? tan? ? cot(? ? 180 ) sin ? tan( 180 ? ?)
? ?

1 3
? sin? ? 1 3

2.已知 cos( ? ?) ?

? 6

3 5? , 求 cos( ? ?)的值。 3 6

解: cos(

5? 5? ? 3 ? ?) ? ? cos[? ? ( ? ?)] ? ? cos( ? ?) ? ? 6 6 6 3

四、诱导公式 1.公式 6: (复习)

2.公式 7: y
P(x,y)

sin(90? ??) = cos?, cos(90? ??) = sin?. tan(90? ??) = cot?, cot(90? ??) = tan?. sec(90? ??) = csc?, csc(90? ??) = 如图,可证: 则 sec? sin(90?
x

+?) = M’P’ = OM = cos? cos(90? sin(90? +?) = cos?, cos(90? +?) = ?sin?. P’ tan(90? +?) =从而: ?cot?, cot(90? +?) = ?tan?. sec(90? +?) = ?csc?, csc(90?+?) = 或证:sin(90? +?) = sin[180?? (90? ??)] = sin(90? ??) = cos? sec? cos(90? +?) = cos[180?? (90? ??)] = ?sin(90? ??) = ?cos? 3.公式 8:sin(270? ??) = sin[180?+ (90? ??)] = ?sin(90? ??) = ?cos? sin(270? ??) = ?cos?, cos(270? ??) = ?sin?. (其余类似可 tan(270? ??) = cot?, cot(270? ??) = tan?. 得, sec(270? ??) = ?csc?, csc(270???) = sec?学生自己完成) +?) = OM’ = PM = ?MP = ?sin?
M M’ o

sin(270? +?) = ?cos?, cos(270? +?) = sin?. tan(270? +?) = ?cot?, cot(270? +?) = ?tan?. sec(270? +?) = csc?, csc(270?+?) = ?sec?

4.公式 9: (学生证明) 三、小结:90?± ?, 270? ± ?的三角函数值等于?的余函数的值,前面再 加上一个把?看成锐角时原函数值的符号
? 3? ? sin( ? ?) ? cos( ? ?) sin(4k? ? ?) sin( ? ?) 2 2 2 六、例一、 求证: ? ? tan(2k? ? ?) ? cot(?k? ? ?) cos(5? ? ?) ? cos( ? ?) 2 cos ? ? sin ? sin ? cos ? 证: 左边 ? ? ? tan ? ? cot ? cos ? ? sin ? ?s i n cos ? ? s i n cos ? ? 左边 = 右边 右边 ? ? ?cos ?s i n ? ? cos ?s i n ? ?

∴等式成立 例二、 求 cos 2 ( ? ?) ? cos 2 ( ? ?)的值。 解:原式 ? cos 2 [ ? ( ? ?)] ? cos 2 ( ? ?) ? sin 2 ( ? ?) ? cos 2 ( ? ?) ? 1
1 例三、已知 sin ? ? , sin( ? ? ?) ? 1, 求 sin( 2? ? ?) 3 ? ? ? ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) 解:? sin( ? ? ?) ? 1 2 从 而 ? 1 2? ? ?) ? s 2(2k? ? ) ? ?] ? s 4k?i? ? ? ?) ? s ?n? i i 2 3
? 2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4


n i ( n [

s

例四、 若 f (cosx) ? cos17x, 求 f (sin x) 解 :

f (sin x) ? f [cos(90? ? x)] ? cos[17(90? ? x)]

? cos(4 ? 360? ? 90? ?17x) ? cos(90? ?17) ? sin 17x
七、作业:1.已知 f (sin x) ? sin(4n ? 1) x, (n ? Z , x ? R) 求 f (cosx) 2. 设f (?) ?
2 cos3 ? ? sin 2 (360? ? ?) ? sin(90? ? ?) ? 3 2 ? 2 cos (? ? 180 ) ? cos(??)
2 ?

? , 求f ( ) 3

《课课练》P16—17

课时 9

例题推荐

1—3

练习

6—10

第十三教时
教材:诱导公式(3)——综合练习 目的:通过复习与练习,要求学生能更熟练地运用诱导公式,化简三角函数式。 过程: 四、复习:诱导公式 十二、 例一、《教学与测试》 例一)计算:sin315??sin(?480?)+cos(?330?) (

解:原式 = sin(360??45?) + sin(360?+120?) + cos(?360?+30?) = ?sin45? + sin60? + cos30? = 3 ?
2 2

小结:应用诱导公式化简三角函数的一般步骤: 1?用“? ?”公式化为正角的三角函数 2?用“2k? + ?”公式化为[0,2?]角的三角函数 3?用“?±?”或“2? ? ?”公式化为锐角的三角函数
? 3 5? 例二、已知 cos( ? ?) ? ( ,求 cos( ? ?)的值。《教学与测试》例三) 6 3 6 5? 5? ? 3 解: cos( ? ?) ? ? cos[? ? ( ? ?)] ? ? cos( ? ?) ? ? 6 6 6 3

小结:此类角变换应熟悉 例三、求证:
cos(k? ? ?) cos(k? ? ?) ? ?1, k ? Z sin[(k ? 1)? ? ?] cos[(k ? 1)? ? ?]

证:若 k 是偶数,即 k = 2 n (n?Z)
左边 ?

则:

cos(2n? ? ?) cos(2n? ? ?) ?s i n c o ? ? s ? ? ?1 sin[2n? ? (? ? ?)]cos[2n? ? (? ? ?)] ? s i n (? c o ?) ? s

若 k 是奇数,即 k = 2 n + 1 (n?Z)
左边 ?

则:

cos[2n? ? (? ? ?)]cos[2n? ? (? ? ?)] sin ?(? cos?) ? ? ?1 sin[2(n ? 1)? ? ?)]cos[2(n ? 1)? ? ?)] sin ? cos?

∴原式成立 小结:注意讨论 例四、已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ?) ? 5 cos(2? ? ?) 的 3? 2 sin( ? ?) ? sin(??) 2

值。 ( 《精编》 38 例五) 解: ∵sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?) ∴? sin(3? ? ?) = 2cos(4? ? ?) ∴? sin(? ? ?) = 2cos(? ?) ∴sin? = ? 2cos? 且 cos? ? 0 sin ? ? 5 cos ? ? 2 cos ? ? 5 cos ? 3 cos ? 3 ? ? ?? ∴ 原式 ? ? 2 cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 4 cos ? 4 例五、已知 tan(? ? ?) ? a 2 , | cos(? ? ?) |? ? cos?, 求 ( 《精编》P40 例八)
1 的值。 cos(? ? ?)

解:由题设: tan? ? ?a 2 ? 0, | cos? |? ? cos?, 即cos? ? 0 由此:当 a ? 0 时,tan? < 0, cos? < 0, ?为第二象限角,

?原式 ? ?

1 2 ? ?s e c ? 1? t a n ? ? 1? a4 ? cos ? 当 a = 0 时,tan? = 0, ? = k?, ∴cos? = ±1, ∵ cos ? ? 0 ∴cos? = ?1 , 1 ? 原式 ? ? ? 1 ? 1 ? a 4 (a ? 0) cos ?

综上所述:

1 ? 1? a2 cos(? ? ?)

例六、若关于 x 的方程 2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取 值范围。 解:原方程变形为:2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0 1 17 ∴ a ? 2 sin 2 x ? sin x ? 2 ? 2(sin x ? ) 2 ? 4 8 ∵? 1≤sinx≤1 1 17 a ∴ 当sin x ? ? 时, min ? ? ; 当sin x ? 1时,max ? 1 a 4 8 17 ∴a 的取值范围是[ ? , 1 ] 8 十三、 作业: 《教学与测试》P108 5—8,思考题 《课课练》P46—47 23,25,26

第十三教时
教材:单元复习 目的:复习整节内容,使其逐渐形成熟练技巧,为继续学习以后的内容打下基础。 过程: 五、复习:梳理整节内容:
预 备 概 念
角的概念的扩 充 弧度制

十四、 第 52 课 略 1. “基础训练题” 1—4 2.例题 1—3 3.口答练习题 1,2 十五、 处理《课课练》P20 第 11 课 1. “例题推荐” 1—3 注意采用讲练结合 2.口答“课时练习” 1—4 十六、 备用例题: 《精编》P40—41 例九,例十一 a) 已知 sin(? ? ?) ? cos(? + ?) =
2 (0<?<?),求 sin(? + ?) + cos(2? ? ?) 4

任意角三角函 数 处理《教学与测试》P109

两 套 基 本 公 式

同角的三角函数关 系 诱导公式

的值 解:∵sin(? ? ?) ? cos(? + ?) =
2 <1,0<?<? 4 2 2 即:sin ? + cos ? = 4 4
? ? 3? ??? 2 4



又∵0<

∴sin?>0, 则 a<0

cos?<0

令 a = sin(? + ?) + cos(2? ? ?) = ? sin? + cos? 由①得:2sin?cos? = ?
7 8

?a ? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? ?

30 4

b) 已知 2sin(? ? ?) ? cos(? + ?) = 1 (0<?<?),求 cos(2? ? ?) + sin(? + ?)的 值 解:将已知条件化简得:2sin ? + cos ? = 1 ① 设 cos(2? ? ?) + sin(? + ?) = a , 则 a = cos ? ? sin ? ② 1 1 ①②联立得: sin ? ? (1 ? a), cos ? ? (1 ? 2a) 3 3 1 1 ∵sin2? + cos2? = 1 ∴ (1 ? 2a ? a 2 ) ? (1 ? 4a ? 4a 2 ) ? 1 9 9 2 ∴5a + 2a ? 7 = 0, 7 解之得:a1 = ? , a2 = 1(舍去)(否则 sin? = 0, 与 0<?<?不符) 5 7 ∴cos(2? ? ?) + sin(? + ?) = ? 5 十七、 作业: 《教学与测试》P109—110 练习题 3—7 《课课练》P21 课时练习 8—10

第十五教时
教材:两角和与差的余弦(含两点间距离公式) 目的:首先要求学生理解平面上的两点间距离公式的推导过程,熟练掌握两点间 距离公式并由此推导出两角和与差的余弦公式,并能够运用解决具体问题。 过程:一、提出课题:两角和与差的三角函数 二、平面上的两点间距离公式 5.复习:数轴上两点间的距离公式 d ? x1 ? x2 2.平面内任意两点 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y 2 ) 间的距离公式。
y N2 P2

从点 P1,P2 分别作 x 轴 的 垂 线 P1M1,P2M2 与 x 轴 交 于 点 M1(x1,0),M2(x2,0) 再从点 P1,P2 分别作 y 轴的垂线 P1N1,P2N2 与 y 轴交于点 N1,N2 直线 P1N1,P2N2 与相交于 Q 点则: 1Q= M1M2=|x2-x1| Q P2= N1N2=|y2-y1| P 由 勾 股 定 理 :

M1 o P1 N1 M2 Q x

P1 P22 ? P1Q 2 ? QP2 ?| x 2 ? x1 | 2 ? | y 2 ? y1 | 2 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 2

从而得 P1 ( x1 , y1 ) ,P2 ( x2 , y 2 ) 两点间的 距离公式:
P P2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 1

3.练习:已知 A(-1,5),B(4,-7) 求 AB 解: AB ? (4 ? 1) 2 ? (?7 ? 5) 2 ? 25 ? 144 ? 13 三、两角和与差的余弦 含意:cos(?±?)用?、?的三角函数来表示 1.推导:(过程见书上 P34-35) cos(?+?)=cos?cos??sin?sin? ① 熟悉公式的结构和特点; 嘱记 ②此公式对任意?、?都适用 ③公式代号 C?+? 6.cos(???)的公式,以??代?得: cos(???)=cos?cos?+sin?sin? 同样,嘱记,注意区别,代号 C??? 四、例一 计算① cos105? ②cos15? ③cos cos
? 5 ? 3? 3? ?sin sin 5 10 10

解:①cos105?=cos(60?+45?)=cos60?cos45??sin60?sin45? = ? ②cos15?
1 2 1 2 2 3 2 2? 6 ? ? ? 2 2 2 4 2 3 2 2? 6 ? ? ? 2 2 2 4

=cos(60??45?)=cos60?cos45?+sin60?sin45? = ?

③cos cos 例二

? 5

? ? 3? 3? 3? ? ?sin sin = cos( + )=cos =0 5 5 10 10 10 2

《课课练》P22
3 5

例一

已知 sin?= ,cos?=
3 5

12 求 cos(???)的值。 13 12 >0 13

解:∵sin?= >0,cos?=

∴?可能在一、二象限,?在一、四象限
4 5 5 13

若?、?均在第一象限,则 cos?= ,sin?=

cos(???)= ?

4 12 3 5 63 ? ? ? 5 13 5 13 65

若 ? 在 第 一 象 限 , ? 在 四 象 限 , 则 cos?= cos(???)= ?
4 12 3 5 33 ? ? (? ) ? 5 13 5 13 65

4 5 , sin?=? 5 13

若 ? 在 第 二 象 限 , ? 在 一 象 限 , 则 cos?=?

4 5 , sin?= 5 13

cos(???)= (? ) ?

4 12 3 5 33 ? ? ?? 5 13 5 13 65 4 5 , sin?=? 5 13

若 ? 在 第 二 象 限 , ? 在 四 象 限 , 则 cos?=? cos(???)= (? ) ?
4 12 3 5 63 ? ? (? ) ? ? 5 13 5 13 65

五、小结:距离公式,两角和与差的余弦 六、作业: P38-39 练习 2 中(3)(4) 3 中(2)(3) 5 中(2)(4) P40-41 习题 4.6 2 中(2)(4) 3 中(3)(4)(6) 7 中(2)(3) 补充:1.已知 cos(???)= 求(sin?+sin?)2+(cos?+cos?)2 的值。 2 . sin??sin?=? cos(???)的值
1 1 , cos??cos?= , ??(0, 2 2

1 3

? ),??(0, 2

? ), 求 2

第十六教时
教材:两角和与差的正弦 目的:能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式,并进而推得两角和的正 弦公式,并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 过程:一、复习:两角和与差的余弦 练习:1.求 cos75?的值 解:cos75?=cos(45?+30?)=cos45?cos30??sin45?sin30? =
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

2.计算:1? cos65?cos115??cos25?sin115? 2? ?cos70?cos20?+sin110?sin20? 解:原式= cos65?cos115??sin65?sin115?=cos(65?+115?)=cos180?=?1 原式=?cos70?cos20?+sin70?sin20?=?cos(70?+20?)=0 3.已知锐角?,?满足 cos?= 解:∵cos?=
3 5 3 5 4 5

cos(?+?)= ?

5 求 cos?. 13

∴sin?=
5 <0 13

又∵cos(?+?)= ?

∴?+?为钝角

∴sin(?+?)=

12 13

∴cos?=cos[(?+?)??]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin? =?
5 3 12 4 33 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

(角变换技巧)

二、两角和与差的正弦

7.推导 sin(?+?)=cos[ =cos( 即:

? ? ?(?+?)]=cos[( ??)??] 2 2 ? ? ??)cos?+sin( ??)sin?=sin?cos?+cos?sin? 2 2

sin(?+?)=sin?cos?+cos?sin? sin(???)=sin?cos??cos?sin?

(S?+?) (S???)

以??代?得: 9.例一

8.公式的分析,结构解剖,嘱记 不查表,求下列各式的值: 2? sin13?cos17?+cos13?sin17? 1? sin75?

解:1?原式= sin(30?+45?)= sin30?cos45?+cos30?sin45? = ?
1 2 2 3 2 2? 6 ? ? ? 2 2 2 4
1 2

2?原式= sin(13?+17?)=sin30?= 例二 求证:cos?+ 3 sin?=2sin( 证一:左边=2( cos?+
? 6
1 2

? +?) 6

3 ? ? sin?)=2(sin cos?+cos sin?) 2 6 6

=2sin( +?)=右边 证二:右边=2(sin

(构造辅助角)

1 3 ? ? cos?+cos sin?)=2( cos?+ sin?) 2 2 6 6

= cos?+ 3 sin?=左边 例三 〈精编〉P47-48 例一 已知 sin(?+?)= ,sin(???)=
2 3 2 3
tan ? 2 求 的值 tan ? 5

解: ∵sin(?+?)= sin(???)=
2 5 8 15 2 15

∴sin?cos?+cos?sin?=
2 5

2 3



∴sin?cos??cos?sin?=



①+②:sin?cos?=

①?②:cos?sin?=

tan ? ? tan ?

8 sin? cos ? = ? 15 2 cos? sin ? ?4 15

三、小结:两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角” “角变换” “逆向运用公式” 四、作业: P38 P40-41 练习 2 中①② 习题 4.6 3 中① 2、3、4 5 中①③ 3 中①②⑤⑦⑧ 7 中①④⑤ 2 中①③

〈精编〉P60-61

第十七教时
教材:两角和与差的正切 目的: 要求学生能根据两角和与差的正、 余弦公式推导出两角和与差的正切公式。 过程:一、复习:两角和与差的正、余弦公式 C?+? ,C??? ,S?+? ,S??? 练习:1.求证:cosx+sinx= 2 cos(x ? ) 证:左边=
2

? 4

(

? ? 2 2 cosx+ sinx)= 2 ( cosxcos +sinxsin ) 4 4 2 2

= 2 cos(x ? )=右边 又证:右边= 2 ( cosxcos
? ? 2 2 +sinxsin )= 2 ( cosx+ sinx) 4 4 2 2
3 5 4

? 4

= cosx+sinx=左边 2.已知 sin?+sin?= ① cos?+cos?= ② 9 5 解: ① : sin2?+2sin?sin?+sin2?=
2

,求 cos(???)

25

③ ④ 即:cos(???)=
1 2

②2: cos2?+2cos?cos?+cos2?=

16 25

③+④: 2+2(cos?cos?+sin?sin?)=1 二、两角和与差的正切公式 T?+? ,T???

10. tan(?+?)公式的推导(让学生回答) ∵cos (?+?)?0 tan(?+?)=
sin( ? ? ) sin? cos ? ? cos? sin ? ? ? cos( ? ? ) cos? cos ? ? sin? sin ? ?

当 cos?cos??0 时
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

分子分母同时除以 cos?cos?得: 以??代?得:

tan(?+?)=

tan(???)=

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

2.注意:1?必须在定义域范围内使用上述公式。即:tan?,tan?,tan(? ±?)只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导 公式来解。 2?注意公式的结构,尤其是符号。 当 sin?sin??0 时 3.引导学生自行推导出 cot(?±?)的公式—用 cot?,cot?表示 cot(?+?)= cot(?+?)=
cos( ? ? ) cos? cos ? ? sin? sin ? ? ? sin( ? ? ) sin? cos ? ? cos? sin ? ? cot ? cot ? ? 1 cot ? ? cot ?

同理,得:cot(???)=

cot ? cot ? ? 1 cot ? ? cot ?

三、例一求 tan15?,tan75?及 cot15?的值: 解:1? tan15?= tan(45??30?)=
3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 6 3 3? 3 1? 3 1? 1? 3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 6 3 3? 3 1? 3
? 4?2 3 ? 2? 3 2

2? tan75?= tan(45?+30?)=

3? cot15?= cot(45??30?)= 例二
1 3

1? 3 3 ?1

已知 tan?= ,tan?=?2 90?<?<180?
1 tan( ? ? ) ? ?

求 cot(???),并求?+?的值,其中

0?<?<90?,


1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? 7

解:cot(???)=

tan ? ? tan ? ∵ tan(?+?)= ? 1 ? tan ? tan ?

1 ?2 3 ? ?1 1 1 ? ? (?2) 3

且∵0?<?<90?, ∴?+?=135? 例 三 求

90?<?<180?

∴90?<?+?<270?
1 ? tan 75? 1 ? tan 75?















1?

2?tan17?+tan28?+tan17?tan28? 解:1?原式=
tan 45? ? tan 75? ? tan(45? ? 75? ) ? tan120? ? ? 3 1 ? tan 45? tan 75? tan17? ? tan 28? 1 ? tan17? tan 28?

2? ∵ tan( ? ? 28? ) ? 17 ∴ tan17?tan28?

tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1?

∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 四、小结:两角和与差的正切及余切公式 五、作业: P38-39 分 及9 练习 2 中 P40-41 习题 4.6 1-7 中余下部

第十八教时
教材:两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑴

目的:通过例题的讲解,使学生对上述公式的掌握更加牢固,并能逐渐熟悉一些 解题的技巧。 过程:一、复习:1?两角和与差的正、余弦、正切公式 2?处理(以阅读、提问为主)课本 P36-38 例一、例二、例三 二、关于辅助角问题 例一 化简 3 cos x ? sin x
3 1 ? ? ? cos x ? sin x) ? 2(sin cos x ? cos sin x) ? 2 sin( ? x) 2 2 3 3 3

解:原式= 2(

或解:原式= 2(cos cos x ? sin sin x) ? 2 cos( ? x)
6 6 6

?

?

?

例二

《教学与测试》P111 例 2
? 2?

? ? 5? 已知 x ? ?0, ? ,求函数 y ? cos( ? x) ? cos( ? x) 的值域 ? ?
12 12

解: y ? cos( ? x) ? cos(
12

?

5? ? ? x) ? 2 cos( ? x) 12 3

? ∵ x ? ?0, ? ? ?
? 2? 1

∴?

?
6

?

?
3

?x?

?
3
? 2 ? , 2? ? 2 ? ? ?

∴ cos( ? x) ? ? ,1? ?2 ? 3 ? ? 四、关于角变换 例三 已知 sin( ? x) ?
4

?

∴函数 y 的值域是 ?

?

? 5 ,0? x ? 4 13



cos 2 x cos( ? x) 4

?

的值

解 : ∵ sin( ? x) ?
4

?

5 13

? ? 5 ?? ? cos? ? ( ? x)? ? sin( ? x) ? 2 4 4 13 ? ?

即:

? 5 cos( ? x) ? 4 13

∵0? x ?

?
4


?

?
4

? x?

?
4

?

?
2
12 5

从而 si( ? x) ?
4
12 5 120

?

12 13

? ? 而: cos 2 x ? cos?( ? x) ? cos( ? x)? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? 13 13 13 13 169

?

120 24 ∴ ? 169 ? ? 5 13 cos( ? x) 4 13 cos 2 x

例四

《教学与测试》P111 例 3

已知 sin(2? ? ? ) ? 2 sin ? ? 0 求证 tan?=3tan(?+?)
? ? 证:由题设: sin[( ? ? ) ? ? ] ? 2 sin[ ? (? ? ? )]

? ? 即: sin( ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin? ? 2 sin? cos(? ? ? ) ? 2 cos? sin( ? ? )
? ∴ 3 sin( ? ? ) cos? ? sin? cos(? ? ? )

∴tan?=3tan(?+?)

例五 已知

《精编》P48-49
?
2 ? ? ?? ?

例三

3? 12 3 , cos(? ? ? ) ? , sin( ? ? ) ? ? ,求 sin2?的值 ? 4 13 5

解:∵ cos(? ? ? ) ? ∴0 ?? ? ? ?
?
4 3? 2

12 ?0 13

?
2

? ? ?? ?

3? 4

∴ sin( ? ? ) ? ?

5 13 3 5

∴ ? ?? ? ? ?
cos( ? ? ) ? ? ? 4 5

又 : s i ? ? ?) ? ? n (



? ? ? ∴sin2?= sin[( ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin( ? ? ) cos(? ? ? ) ? c0s(? ? ? ) sin( ? ? )

=? ? 四、小结: 五、作业:课本 P41-42

3 12 4 5 56 ? ? ?? 5 13 5 13 65

9-17

第十九教时
教材:两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑵ 目的:通过例题的讲解,增强学生利用公式解决具体问题的灵活性。 过程:一、公式的应用 例一 在斜三角形△ABC 中, 求证: tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC 证一:在△ABC 中,∵A+B+C=? 从而有 tan(A+B)=tan(??C) ∴A+B=??C 即:
tan A ? tan B ? ? tan C 1 ? tan A tan B

∴tanA+tanB=?tanC+tanAtanBtanC 即:tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC 证二:左边= tan(A+B)(1?tanAtanB) +tanC=tan(??C) (1?tanAtanB) +tanC =?tanC+ 右边 例二 求(1+tan1?)(1+tan2?)(1+tan3?)??(1+tan44?) tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=

解: (1+tan1?)(1+tan44?)=1+tan1?+tan44?+tan1?tan44?

=1+tan45?(1? tan1?tan44?)+ tan1?tan44?=2 同理: (1+tan2?)(1+tan43?)=2 ∴原式=2 例三 例四
x 2 ? px ? q ? 0
22

(1+tan3?)(1+tan42?)=2

??

《教学与测试》P113 例一

(略)口答 已 知 tan? 和 tan( ? ? ) 是 方 程
4

《 教 学 与 测 试 》 P113 例 二

?

的两个根,证明:p?q+1=0 证:由韦达定理:tan?+ tan( ? ? ) =?p ,tan?? tan( ? ? ) =q
4 4
tan? ? tan( ? ? ) p 4 ∴ 1 ? tan ? tan[? ? ( ? ? )] ? ?? ? 4 4 1? q 1 ? tan? ? tan( ? ? ) 4

?

?

?

?

?

∴p?q+1=0 例五 《教学与测试》 例三 已 知 tan?=
3 (1 ? m) ,

tan(??)= 3 (tan?tan?+m)又?,?都是钝角,求?+?的值 解:∵两式作差,得:tan?+tan?= 3 (1?tan?tan? 即:
tan ? ? tan ? ? 3 1 ? tan ? tan ?

∴ tan(? ? ? ) ? 3 ∴?<?+?<2? ∴?+? ?
4? 3

又:?,?都是钝角

二、关于求值、求范围 例六 已知 tan?, tan?是关于 x 的一元二次方程 x2+px+2=0 的两实根, 求
sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) ?

的值。
sin( ? ? ) sin? cos ? ? cos?s sin ? ? tan ? ? tan ? ? ? cos( ? ? ) cos? cos ? ? sin?s sin ? 1 ? tan ? tan ? ?

解:∵

tan?,tan?是方程 x2+px+2=0 的两实根 ∴? 例七 求 解 =
?tan ? ? tan ? ? ? p ? tan ? ? tan ? ? 2



sin( ? ? ) ? ?p p ? ?? cos( ? ? ) 1 ? 2 ? 3

2 cos10? ? sin 20? 的值。 cos 20?







2 cos(30? ? 20? ) ? sin 20? 2 cos 30? cos 20? ? 2 sin30? sin 20? ? sin 20? ? cos 20? cos 20?

= 三、作业: 《教学与测试》 P111-114

3 cos 20? ? sin 20? ? sin 20? ? 3 cos 20?

53、54 课中练习题

第二十教时
教材:两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑶ 目的:进一步熟悉有关技巧,继续提高学生综合应用能力。 (采用《精编》例题) 过程:一、求值问题(续) 例一 若 tan?=3x,tan?=3?x, 且???= ,求 x 的值。
? 6
3 3

? 6

解:tan(???)=tan = ∴

∵tan?=3x,tan?=3?x

tan ? ? tan ? 3 3 x ? 3?x 1 ? ? ? (3 x ? 3 ? x ) x ?x 2 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 3 ? 3 2

∴3?3x?3?3?x=2 3 ∴ 3 x ? 3或3 x ? ?
3 3

即: 3 ? (3 x ) 2 ? 2 3 ? 3 x ? 3 ? 0 (舍去) ∴x?
1 2

例二 已知锐角?, ?, ? 满足 sin?+sin?=sin?, cos??cos?=cos?, 值。 解: ∵sin?+sin?=sin? ∴sin? <sin? 同理:∵cos??cos?=cos? ①2+②2: 1+1?2cos(???)=1 ∵0 ?? ?
?
2 0?? ?

求???的

∴sin? ?sin? = ?sin? <0 ∴?<? ∴ cos?? cos? = cos? ∴cos(???)= ∴ ? ?? ? ? ? 0
2 1 2





?
2

?

∴???= ?

? 3

二、关于最值问题 例三 已知 tan?, tan?是关于 x 的方程 mx2 ? 2x 7m ? 3 ? 2m ? 0 的两个实根,

求 tan(?+?)的取值范围。 解:∵tan?,tan?是方程 mx2 ? 2x 7m ? 3 ? 2m ? 0 的两个实根 ∴△=4(7m-3)-8m2≥0 3 又: ?tan? ? tan ? ? ?
? 2 7m ? 3 m ?tan ? ? tan ? ? 2 ?

∴2m2-7m+3≤0

解之: ≤m≤

1 2

∴ tan(? ? ? ) ? ?

2 7m ? 3 m

为求范围: tan(? ? ? ) ? ?2 7 ? ∵ ≤m≤3
1 2

1 1 7? 49 ? 1 ? 3( ) 2 ? ?2 ? 3?( ) ? ? ? m m m 6 ? 12 ?

2

∴ ≤m≤2
2

1 3

1 7 49 49 1 7 ∴当 ? 时, ? 3?( ) ? ? ? 有最大值 ? m 6? 12 12 m 6 ? ? 7? 49 1 1 1 ? 1 有最小值 2 ? 2 或 ? 时, ? 3?( ) ? ? ? m 6? 12 m m 3 ?
2




? 7 3 ? ,?2 2 ? ? 3 ? ? ?

?

7 3 7? 49 ? 1 ? ?2 ? 3?( ) ? ? ? ? ?2 2 3 m 6 ? 12 ?

2





t

? ? ? ) ?(?? a n

∴p?q+1=0 例四 若?
?
2 ?x?

?
2

,求 f (x)= 3 sinx+cosx 的最大值和最小值,并求出

此时的 x 值。 解: f (x)= 3 sinx+cosx=2 ? ∵? ∴?
?
2 ?x?
? 3 ? 1 ? sin x ? cos x? ? 2 sin(x ? ) 2 6 ? 2 ? ? ?

?
2

∴? ? x?
3

?

?
6

?

2? 3

3 ? ? sin(x ? ) ? 1 2 6

? 3 ? 2s i n ? ) ? 2 x( 6

?

即: ? 3 ? f ( x) ? 2 (x)min= ? 3

当且仅当 x ?

?
6

??

?
3

, x??

?
2

时 f


x?







?
6

?

?
2

,x?

?
3

时 f (x)max=2

例五

已知 f (x)=-acos2x- 3 asin2x+2a+b,其中 a>0,x?[0,
2

? ]时,-5 2

≤f (x)≤1,设 g(t)=at +bt-3,t?[-1,0],求 g(t)的最小值。





f

(x)=-acos2x- 3 asin2x+2a+b=-2a[

1 3 sin2x+ cos2x]+2a+b 2 2 ? =-2asin(2x+ )+2a+b 6

∵ x?[0,
? 1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

? ] 2



?
6

? 2x ?

?
6

?

7? 6



又: a>0

∴-2a<0
?

∴ ? 2a ? ?2a sin(2x ? ) ? a
6

?

∴ b ? ?2a sin(2x ? ) ? 2a ? b ? 3a ? b
6
b ? f ( x) ? 3a ? b



∵-5≤f (x)≤1

∴?

?b ? ?5 ?b ? ?5 ?? ?3a ? b ? 1 ? a ? 2

∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t- )2∴当 t=0 时,g(t)min=g(0)=-3 三、作业: 《精编》 P61 6、7、11 P62 20、22、23、25 P63 30

5 4

49 8

∵t?[-1,0]

第二十一教时
教材:二倍角的正弦、余弦、正切 目的:让学生自己由和角公式而导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思 想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 过程: 六、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 十八、 提出问题:若 ? ? ? ,则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。

让学生板演得下述二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos?
tan2? ? 2 tan? 1 ? tan2 ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
cot 2? ? cot2 ? ? 1 2 cot ?

剖析:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的, ? ? 如: 是 的倍角。 4 8 2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次) 3.特别注意这只公式的三角表达形式,且要善于变形: 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? cos 2 ? ? , sin 2 ? ? 这两个形 式今后常 2 2

用 十九、 例题: 例一、 (公式巩固性练习)求值:

1 2 1.sin22?30’cos22?30’= sin 45? ? 2 4
2. 2 cos 2
? ? 2 ? 1 ? cos ? 8 4 2

3. sin 2

? ? ? 2 ? cos 2 ? ? cos ? ? 8 8 4 2

4. 8 sin ? cos ? cos ? cos ? ? 4 sin ? cos ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ? sin ? ? 1
48 48 24 12
24 24 12 12 12 6

2

例 1. (sin


5? 5? 5? 5? 5? 5? 5? 3 ? cos )(sin ? cos ) ? sin 2 ? cos2 ? ? cos ? 12 12 12 12 12 12 6 2 ? ? ? ? ? ? ? sin 4 ? (cos 2 ? sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2



2. cos 4

3.

1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?

4. 1 ? 2 cos2 ? ? cos2? ? 1 ? 2 cos2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 2 例三、若 tan ? = 3,求 sin2? ? cos2? 的值。
2 sin cos? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 tan? ? tan2 ? ? 1 7 ? ? 解:sin2? ? cos2? = 5 sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? tan2 ?

例四、条件甲: 1 ? sin ? ? a ,条件乙: sin 那么甲是乙的什么条件?

? ? ? cos ? a , 2 2
? ? ? cos |? a 2 2

? ? 解: 1 ? sin ? ? (sin ? cos ) 2 ? a 2 2
当?在第三象限时,甲

即 | sin

乙;当 a > 0 时,乙



∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 5 ? 例五、 (P43 例一)已知 sin ? ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的 13 2 值。

解:∵ sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ?) 13 2

∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

12 13

120 169 119 cos2? = 1 ? 2 sin 2 ? ? 169 120 tan2? = ? 119 二十、 小结:公式,应用 二十一、 作业:课本 P44 练习 P47 习题 4.7 1,2

∴sin2? = 2sin?cos? = ?

第二十二教时
教材:二倍角公式的应用 目的:要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用 数学知识和逻辑推理能力。 过程: 七、复习公式: 例一、 (板演或提问)化简下列各式: 1. 4 sin
? ? ? cos ? 2 sin 4 4 2

2.
2 2

1 tan 40? ? tan 80 ? 2 ? 2 1 ? tan 40

3.2sin2157.5? ? 1 = ? cos315? ? ?

4. sin

? 5? ? ? 1 ? 1 sin ? sin cos ? sin ? 12 12 12 12 2 6 4

1 sin 40 ? cos 40 ? cos 80 ? sin 20? cos 20? cos 40? cos80? 2 5.cos20?cos40?cos80? = ? sin 20 ? sin 20? 1 1 sin 160 ? sin 80 ? cos 80 ? 1 8 4 ? ? ? 8 sin 20 ? sin 20 ?

例二、求证:[sin?(1+sin?)+cos?(1+cos?)]×[sin?(1?sin?)+cos?(1?cos?)] = sin2? 证:左边 = (sin?+sin2?+cos?+cos2?)×(sin??sin2?+cos??cos2?) = (sin?+ cos?+1)×(sin?+cos? ?1) = (sin?+ cos?)2 ?1 = 2sin?cos? = sin2? = 右边 ∴原式得证 二十二、 关于“升幂” “降次”的应用 注意:在二倍角公式中, “升次” “降次”与角的变化是相对的。在解题中 应视题目的具体情况灵活掌握应用。 (以下四个例题可视情况酌情选用) 例三、求函数 y ? cos2 x ? cos x sin x 的值域。《教学与测试》P115 例一) (

解: y ?

1 ? cos2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2 1? 2 1? 2 ∴ y ?[ , ] 2 2

——降次

? ∵ ? 1 ? sin( 2 x ? ) ? 1 4

例四、求证:sin 2 ? ? cos ? cos(

? ? ? ?) ? sin 2 ( ? ?) 的值是与?无关的定值。 3 6 1 1 ? ? 证: 原式 ? (1 ? cos 2?) ? [1 ? cos( ? 2?)] ? cos ? cos( ? ?) ——降 2 2 3 3 1 ? ? ? ? [ c o s ( ? 2?) ? c o s ?] ? c o s ( c o s c o s ? s i n s i n ) 2 ? ? ? 2 3 3 3



?

1 ? ? 1 3 ( c o s c o 2? ? s i n s i n ? ? c o 2?) ? c o 2s? ? s 2 s c o ?s i n ) s ? 2 3 3 2 2

?

1 3 1 1 3 1 c o 2? ? s s i n ? ? c o 2? ? (1 ? c o 2?) ? 2 s s s i n ?) ? 2 4 2 2 4 4 4

? ? ? ?) ? sin 2 ( ? ?) 的值与?无关 3 6 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? 例五、化简: ——升幂 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 2 cos2 ? 2 sin cos 2 sin 2 ? 2 sin cos 2 2 2? 2 2 2 解: 原式 ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 2 ? 2 sin cos 2 cos2 ? 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 2c o s ( c o s? s i n ) 2s i n ( s i n ? c o s ) 2 2 2 ? 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 2s i n ( s i n ? c o s ) 2c o s ( c o s? s i n ) 2 2 2 2 2 2 ? ? 1? c o s 1? c o s ? ? 2 ? ? ( c o t ? t a n ) ? ?( ? )?? ? ?2 c s c ? 2 2 sin ? sin ? sin ? 1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? ? 例六、求证: (P43 例二) ——升幂 2 tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? sin 4? ? cos 4? 2 tan ? ? ? tan 2? 证:原式等价于: 1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? tan 2 ?

∴ sin 2 ? ? cos ? cos(

左边 ?

sin 4? ? (1 ? cos4?) 2 sin 2? cos 2? ? 2 sin 2 2? ? sin 4? ? (1 ? cos4?) 2 sin 2? cos2? ? 2 cos2 2?
2 s i n ?( c o2s ? s i n ?) 2 ? 2 ? t a n ? ? 右边 2 2 c o 2?( s i 2? ? c o 2?) s n s

?

二十三、 三角公式的综合运用 例七、利用三角公式化简: sin 50? (1 ? 3 tan10? ) (P43—44 例三)

3 sin 10? ) ? sin 50 ? 解:原式 ? sin 50? (1 ? cos10?

1 3 2( cos10? ? sin 10? ) 2 2 cos10?

? 2 sin 50 ?

sin 30? cos10? ? cos30? sin 10? 2 sin 50? sin 40? ? cos10? cos10?

?

2 cos40? sin 40? sin 80? ? ?1 cos10? cos10?

二十四、 作业:课本 P47 《精编》P73—74

习题 4.7 3 11,12,18,19,23

第二十三教时
教材:续二倍角公式的应用,推导万能公式 目的:要求学生能推导和理解半角公式和万能公式,并培养学生综合分析能力。 过程: 八、解答本章开头的问题: (课本 P3) 令?AOB = ? , 则 AB = acos? OA = asin? ∴S 矩形 ABCD= acos?×2asin? = a2sin2?≤a2 B C 当且仅当 sin2? = 1, a 即 2? = 90?,? = 45?时, 等号成立。
?
A O D

此时,A,B 两点与 O 点的距离都是

2 a 2

九、半角公式 在倍角公式中, “倍角”与“半角”是相对的 ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? , cos 2 ? , tan 2 ? 例一、求证: sin 2 ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ? ? 证:1?在 cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ? 中,以?代 2?, 代? 即得: 2 ? 1 ? cos ? 2 ? c o s ? 1? 2s i n ? ∴ sin 2 ? 2 2 2 ? 2?在 cos2? ? 2 cos2 ? ? 1 中,以?代 2?, 代? 即得: 2 ? ? 1 ? cos ? 2 c o s ? 2c o s ?1 ? ∴ cos 2 ? 2 2 2 ? 1 ? cos ? 3?以上结果相除得: tan 2 ? 2 1 ? cos ?

注意:1?左边是平方形式,只要知道

? 角终边所在象限,就可以开平方。 2 ? 2?公式的“本质”是用?角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切 2 3?上述公式称之谓半角公式(大纲规定这套公式不必记忆)

? 1? c o ? s ? 1? c o ? s ? 1? c o ? s sin ?? , cos ?? , t an ?? 2 2 2 2 2 1? c o ? s
4?还有一个有用的公式:tan 十、万能公式
? sin ? 1 ? cos ? ? ? (课后自己证) 2 1 ? cos ? sin ?

? ? ? 1 ? tan2 2 tan 2 , cos? ? 2 , tan? ? 2 例二、求证: sin ? ? ? ? ? 1 ? tan2 1 ? tan2 1 ? tan2 2 2 2 ? ? ? 2 sin cos 2 tan sin ? 2 2 ? 2 证:1? sin ? ? ? ? ? ? 1 sin 2 ? cos2 1 ? tan2 2 2 2 ? ? ? cos2 ? sin 2 1 ? tan2 cos? 2 2 ? 2 2? cos? ? ? ? ? ? 1 sin 2 ? cos2 1 ? tan2 2 2 2 ? ? ? 2 sin cos 2 tan sin ? 2 2 ? 2 3? tan? ? ? cos? 2 ? 2 ? 2 ? cos ? sin 1 ? tan 2 2 2 注意:1?上述三个公式统称为万能公式。 (不用记忆) 2?这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切 ? 即: f (tan ) 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明, 2 可以使解题过程简洁 3?上述公式左右两边定义域发生了变化,由左向右定义域缩小 2 sin ? ? cos ? ? ?5 ,求 3cos 2? + 4sin 2? 的值。 例三、已知 sin ? ? 3 cos ? 2 sin ? ? cos ? ? ?5 解:∵ ∴cos ? ? 0 (否则 2 = ? 5 ) sin ? ? 3 cos ? 2 tan ? ? 1 ? ?5 ∴ 解之得:tan ? = 2 tan ? ? 3 2 tan
3(1 ? tan2 ?) 4 ? 2 tan? 3(1 ? 2 2 ) 4 ? 2 ? 2 7 ? ? ? ? ∴原式 ? 5 1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? 1 ? 22 1 ? 22

十一、 十二、

小结:两套公式,尤其是揭示其本质和应用(以万能公式为主) 作业: 《精编》P73 16

补充: 1.已知 sin? + sin? = 1,cos? + cos? = 0,试求 cos2? + cos2?的值。(1) ( 《教学与测试》P115 例二) ? 1 1 2.已知 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0 ,tan? = ? ,tan? = ? ,求 2? + ? 的大 3 7 2 小。 3 ( ? ?) 4 3.已知 sinx =
4 x x 3 5 5 ,且 x 是锐角,求 sin ? cos 的值。 ( ,? ) 5 2 2 5 5

4.下列函数何时取得最值?最值是多少? 1? y ? sin 2 x cos2 x 2? y ? 2 sin x ? cos2 x 3? y ? cos( 2 x ?
2? ? ) ? 2 cos( x ? ) 7 7 1 1 , y m i n? ? ) 2 2 3 1 ( y m a x? , y m i n? ? ) 2 2 3 ( y m a x? 3, y m i n? ? ) 2 ( y m a x?

5.若?、?、?为锐角,求证:? + ? + ? =

? 4

? ? 1? 2 6.求函数 f ( x) ? cos2 x ? sin x 在 [ ? , ] 上的最小值。 ( ) 4 4 2

第二十四教时
教材:倍角公式,推导“和差化积”及“积化和差”公式 目的:继续复习巩固倍角公式,加强对公式灵活运用的训练;同时,让学生推导 出和差化积和积化和差公式,并对此有所了解。 过程: 十三、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程: ? 1 1 例一、已知 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0 ,tan? = ? ,tan? = ? ,求 2? + ? 3 7 2 ( 《教学与测试》P115 例三) 解: tan 2? ?
2 tan ? 3 ?? 2 4 1 ? tan ?

∴ tan(2? ? ?) ? ∴

tan2? ? tan? ? ?1 1 ? tan2? tan?

又∵tan2? < 0,tan? < 0

3? ? ? 2? ? 2 ? , ? ? ? ? 0 2 2

∴ ? ? 2? ? ? ? 2? 例二、已知 sin? ? cos? =

∴2? + ? =

1 ? , ? ? ? ? 2? ,求 tan 和 tan?的值 2 2 ? ? 2 tan 1 ? tan2 1 2 ? 2 ?1 解:∵sin? ? cos? = ∴ ? ? 2 2 1 ? tan2 1 ? tan2 2 2 ? ? tan 2 ? 4 tan ? 3 ? 0 化 简 得 : 2 2

7? 4



tan

? ? 4 ? 16 ? 12 ? ? ?2 ? 7 2 2

∵ ? ? ? ? 2?
tan ? ? ?2 ? 7 2



? ? ? ?? 2 2

∴ tan

? ?0 2



? 2 ? 2(?2 ? 7 ) ? ? 4 ? 2 7 ? 2 ? 7 ? 4 ? 7 tan? ? ? 1 ? (?2 ? 7 ) 2 ? 10 ? 4 7 5 ? 2 7 3 1 ? tan2 2 二十五、 积化和差公式的推导 2 tan

sin(? + ?) + sin(? ? ?) = 2sin?cos? ?)] sin(? + ?) ? sin(? ? ?) = 2cos?sin? ?)]

1 ? sin?cos? = [sin(? + ?) + sin(? ? 2
1 ? cos?sin? = [sin(? + ?) ? sin(? ? 2

1 cos(? + ?) + cos(? ? ?) = 2cos?cos? ? cos?cos? = [cos(? + ?) + cos(? ? 2 ?)] 1 cos(? + ?) ? cos(? ? ?) = ? 2sin?sin? ? sin?sin? = ? [cos(? + ?) ? cos(? ? 2 ?)] 这套公式称为三角函数积化和差公式,熟悉结构,不要求记忆,它的优点 在于将“积式”化为“和差” ,有利于简化计算。 (在告知公式前提下) 3 3 3 例三、求证:sin3?sin ? + cos3?cos ? = cos 2? 证:左边 = (sin3?sin?)sin2? + (cos3?cos?)cos2? 1 1 = ? (cos4? ? cos2?)sin2? + (cos4? + cos2?)cos2? 2 2 1 1 1 = ? cos4?sin2? + cos2?sin2? + cos4?cos2? 2 2 2

1 + cos2?cos2? 2 1 1 1 cos4?cos2? + cos2? = cos2?(cos4? + 1) 2 2 2 1 = cos2?2cos22? = cos32? = 右边 2 ∴原式得证 二十六、 和差化积公式的推导 ??? ??? 若令? + ? = ?,? ? ? = φ ,则 ? ? ,? ? 代入得: 2 2 ??? ??? 1 ??? ??? ??? ??? 1 sin cos ? [sin( ? ) ? sin( ? )] ? (sin ? ? sin ?) 2 2 2 2 2 2 2 2

=

??? ??? cos 2 2 ??? ??? s i n ? s i n ? 2c o s ? ? sin 2 2 ??? ??? c o s ? c o s ? 2c o s ? ? cos 2 2 ??? ??? c o s ? c o s ? ?2 s i n ? ? sin 2 2 这套公式称为和差化积公式,其特点是同名的正(余)弦才能使用,它与 积化和差公式相辅相成,配合使用。 1 1 例四、已知 cos? ? cos ? = ,sin? ? sin? = ? ,求 sin(? + ?)的值 2 3 1 ??? ? ?? 1 sin ? 解:∵cos? ? cos ? = ,∴ ? 2 sin ① 2 2 2 2 1 ??? ? ?? 1 sin ?? sin? ? sin ? = ? ,∴ ? 2 cos ② 3 2 2 3 ? ?? ??? 3 ??? 3 ? 0 ∴ ? tan ?? ? ∵ sin ∴ tan 2 2 2 2 2 ??? 3 2 tan 2? 2 2 ? 12 ∴ sin(? ? ?) ? ? ??? 9 13 1 ? tan2 1? 2 4 二十七、 小结:和差化积,积化和差 二十八、 作业: 《课课练》P36—37 例题推荐 1—3 P38—39 例题推荐 1—3 P40 例题推荐 1—3

∴ sin ? ? sin ? ? 2 sin

第二十五教时
教材:综合练习课 目的:复习和角、差角、二倍角及半角,积化和差、和差化积、万能公式,逐渐 培养熟练技巧。

过程: 十四、 小结本单元内容——俗称“加法定理” 1.各公式罗列,其中和、差、倍角公式必须记忆,要熟知其结构、特点 2.了解推导过程(回顾)
两点间距离公式 C?+? ??代? C??? 诱导公 式 C?+? ??代? S?+? S???

S?+? 商数关系 T?+? C?+
?

S??? C??
?

T???

和角公式

令?=?

?代 2?,

倍角公式

? 代? 2

半角公式

? 代? 2
同名和角与差角公式

万能公式
倒用且令?+?=? ???=φ

和差化积公式

积化和差公式

3.常用技巧: 1?化弦 2?化“1” 3?正切的和、积 4?角变换 5?“升幂”与“降次” 6?辅助角 二十九、 例题: 例一、 《教学与测试》 基础训练题 ? 1.函数 y ? 3 sin( ? 2 x) ? cos 2 x 的最小值。 (辅助角) 3 解: y ? 3 (
3 1 1 3 cos2 x ? sin 2 x) ? cos2 x ? cos2 x ? sin 2 x 2 2 2 2

? ? s i n ( ? 2 x) ? ?1 6 ? 5 2.已知 sin( x ? ) ? ? ,求 sin 2 x的值。 4 13 解
sin 2 x ? cos(

(角变换) :

? ? ? 5 119 ? 2 x) ? cos[ 2( x ? )] ? 1 ? 2 sin 2 ( x ? ) ? 1 ? 2(? ) 2 ? 2 4 4 13 169

3.计算:(1 + 3 )tan15?? 3

(公式逆用)

解:原式= (tan45?+ tan60?)tan15?? 3 =tan105?(1?tan45?tan60?)tan15? ? 3 = (1 ? 3 ) tan105? tan15? ? 3 = (1 ? 3 )×(? 1)? 3 = ? 1

4.已知 sin(45? ? ?) = ? 解:∵45? < ? < 90?

2 ,且 45? < ? < 90?,求 sin? 3

(角变换)
5 3

∴?45? < 45??? < 0?

∴cos(45???) =

cos2? = sin(90??2?) = sin[2(45???)] = 2sin(45???)cos(45???) =? 4 5
9

2 2 ? 10 即 1 ? sin2? = ? 4 5 , 解之得:sin? = 6 9

例二、已知?是三角形中的一个最小的内角, ? ? ? ? 且 a cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ? a sin 2 ? a ? 1 ,求 a 的取值范围 2 2 2 2 ? ? ? ? 解:原式变形: a(cos 2 ? sin 2 ) ? (cos 2 ? sin 2 ) ? a ? 1 2 2 2 2 即 (a ? 1) cos? ? a ? 1 ,显然 a ? 1
a ?1 a ?1 1 a ?1 ?1 即: ? 2 a ?1

(若 a ? 1 ,则 0 = 2)

∴ cos ? ?

又∵ 0 ? ? ?

? 1 ,∴ ? cos ? ? 1 3 2

解之得: a ? ?3

例三、试求函数 y ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? 2 的最大值和最小值。
? 若 x ? [0, ] 呢? 2

? 解:1.设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ? [? 2 , 2 ] 4

则 t 2 ? 1 ? 2 sin x cos x

∴ 2 sin x cos x ? t 2 ? 1

1 1 3 ∴ y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ? [ ,3 ? 2 ] 2 4 4 3 ∴ y max ? 3 ? 2 , y min ? 4 ? 2.若 x ? [0, ] ,则 t ? [1, 2 ] ,∴ y ? [3,3 ? 2 ] 2

即 ymax ? 3 ? 2,

ymin ? 3
? ,求 sin(2? + ?)的值。 6

例四、已知 tan? = 3tan(? + ?), ? ? 解:由题设:
sin ? 3 sin(? ? ?) ? cos? cos(? ? ?)

即 sin? cos(? + ?) = 3sin(? + ?)cos?

即 sin(? + ?) cos? + cos(? + ?)sin? = 2sin? cos(? + ?) ? 2cos?sin(? + ?)

∴sin(2? + ?) = ?2sin?

又∵ ? ?

? 6

∴sin? ?

1 2

∴sin(2? + ?) =

?1 三、作业: 《教学与测试》P117—118

余下部分

第二十六教时
教材:正弦、余弦函数的图象 目的:要求学生掌握用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象,继而学会用诱导 公式平移正弦曲线获得余弦函数图象。通过分析掌握五点法画正(余)弦函 数图象。 过程: 十五、 提出课题:正弦、余弦函数的图象——解决的方法:用单位圆中的 正弦线(几何画法) 。 十六、 作图:边作边讲(几何画法)y=sinx x?[0,2?] a) 先作单位圆,把⊙O1 十二等分(当然分得越细,图象越精确) b) 十二等分后得对应于 0,
? ? ? , , ,?2?等角,并作出相应的正弦线, 6 3 2

c) 将 x 轴上从 0 到 2?一段分成 12 等份(2?≈6.28),若变动比例,今后图 象将相应“变形” d) 取点,平移正弦线,使起点与轴上的点重合 e) 描图(连接)得 y=sinx x?[0,2?] f) 由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x?[2k?,2(k+1)?] k?Z,k?0 与函数 y=sinx x?[0,2?]图象相同,只是位置不同——每次向左(右)平 移 2?单位长

十七、 4

-

-

-

y 1 o 1
? ( ,1) 2

?
y=sinx (?,0)

2
x?[0,2?] ?

3 ?

4 ?
(2?,0)

5 ?

6x ?

正弦函数的五点作图法 ? 3 2

介绍五点法

优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 十八、 作 y=cosx 的图象 与正弦函数关系 ∵y=cosx=cos(-x)=sin[
? ) 2 ? ? -(-x)]=sin(x+ ) 2 2

?

?

五个关键点(0,0)

?

3? ( ,-1) 2

结论:1.y=cosx, x?R 与函数 y=sin(x+ 2.将 y=sinx 的图象向左平移

x?R 的图象相同

? 即得 y=cosx 的图象 2

3.也同样可用五点法作图:y=cosx (?,-1) (
3? ,0) 2

x?[0,2?]的五个点关键是(0,1)

(

? ,0) 2

(2?,1)

4.类似地,由于终边相同的三角函数性质 y=cosx x?[2k?,2(k+1)?] k?Z,k?0 的图象与 y=cosx x?[0,2?] 图象形状相同只是位置不同 (向左右每次平移个 单位长度)

-

-

-

-

5.例 P52 例一 略 ? 4 2 ? ? 十九、 3小结:1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 ? 1 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 ? ? 二十、 ?作业:P50 练习 P57 习题 4.8 1 补充:1.分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出 y=sinx 的图象 2.分别在[-4?,4?]内作出 y=sinx 和 y=cosx 的图象 3.用五点法作出 y=cosx,x?[0,2?]的图象

y 1 o -

?

2

3

4

5 ?

6x ?

第二十七教时
教材:正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域 目的:要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域,尤其能灵活运用有界性求函 数的最值和值域。 过程:一、复习:正弦和余弦函数图象的作法

y 1 o 二、研究性质:
?

? 2

? 2

?

3? 2

2?

?

? 2

x

y 1 o -

? 2

?

3? 2

2?

x

1.定义域:y=sinx, y=cosx 的定义域为 R 1 2.值域: 1 1?引导回忆单位圆中的三角函数线,结论:|sinx|≤1, |cosx|≤1 再看正弦函数线(图象)验证上述结论 ∴y=sinx, y=cosx 的值域为[-1,1] 2?对于 y=sinx 当且仅当 x=2k?+
? k?Z 时 ymax=1 2

(有界性)

当且仅当时 x=2k?-

? k?Z 时 ymin=-1 2

对于 y=cosx 当且仅当 x=2k? k?Z 时 ymax=1 当且仅当 x=2k?+? k?Z 时 ymin=-1 3.观察 R 上的 y=sinx,和 y=cosx 的图象可知

当 2k?<x<(2k+1)? (k?Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)?<x< 2k? (k?Z)时 y=sinx<0 当 2k?? ? <x<2k?+ 2 2 ? 3? <x<2k?+ 2 2

(k?Z)时 y=cosx>0 (k?Z)时 y=cosx<0

当 2k?+

三、例题: 例一 (P53 例二)略 例二 直接写出下列函数的定义域、值域: 1? y=
1 1 ? sin x

2? y= ? 2 cos x
? 1 k?Z 时函数有意义,值域:[ , +∞] 2 2
2

解:1?当 x?2k?2 ?x?[2k?+ 例三

? 3? , 2k?+ ] (k?Z)时有意义, 值域[0, 2 2

]

求下列函数的最值:
? )-1 4 ? 4

1? y=sin(3x+

2? y=sin2x-4sinx+5

3? y=

3 ? cos x 3 ? cos x

解:1? 当 3x+ =2k?+ 当 3x+ =2k?2? y=(sinx-2)2+1
? 4

? 2k? ? 即 x= (k?Z)时 ymax=0 ? 2 3 12

? 2k? ? 即 x= (k?Z)时 ymin=-2 ? 2 3 4

∴当 x=2k?当 x=2k?-

? k?Z 时 ymax=10 2

? k?Z 时 ymin= 2 2

3? y=-1+

1 当 x=2k?+? 3 ? cos x

k?Z 时 ymax=2
1 2

当 x=2k? k?Z 时 ymin= 例四、函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 解:当 k>0 时 当 k<0 时
? k ?b ? 2 ?k ?3 ?? ? ?? k ? b ? ?4 ?b ? ?1 ?? k ? b ? 2 ? k ? 3 ?? (矛盾舍去) ? ? k ? b ? ?4 ?b ? ?1

最小值为-4,求 k,b 的值。

∴k=3 b=-1 例五、求下列函数的定义域: 1? y= 3 cos x ?1 ? 2 cos 2 x 解:1? 2? y=lg(2sinx+1)+ 2 cos x ? 1 ∴ ≤cosx≤1 (k?Z)
1 2

3? y= cos(sinx)

∵3cosx-1-2cos2x≥0 ∴定义域为:[2k?-

? ? , 2k?+ ] 3 3

? 7? 1 ? ? ?2k? ? 6 ? x ? 2k? ? 6 ?sin x ? ? 2 2? ? ?? (k ? Z ) 1 ? ? ? cos x ? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? 2 3 3 ? ?
? 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

?
3

(k ? Z )

∴定义域为: (2k? ? ,2k? ? ](k ? Z )
6 3

?

?

3? ∵cos(sinx)≥0 ∵-1≤sinx≤1

∴ 2k?-

? ? ≤x≤2k?+ (k?Z) 2 2
cos1 ≤y≤1

∴x?R

四、小结:正弦、余弦函数的定义域、值域 五、作业:P56 练习 4 P57-58 习题 4.8 2、9 《精编》P86 11 P87 25、30、31

第二十八教时
教材:正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 目的: 要求学生能理解周期函数, 周期函数的周期和最小正周期的定义; 掌握正、 余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。 过程:一、复习:y=sinx y=cosx (x?R)的图象 二、提出课题:正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 1. (观察图象) 1?正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出 现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx, cos(2k?+x)=cosx 也可以 说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。 2.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取 定义域内的每一个值时, 都有: (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数, f 非零常数 T 叫做这个函数的周期。 注意:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上 界;T<0 则定义域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 三、y=sinω x, y=cosω x 的最小正周期的确定 例一 求下列三角函数的周期:1? y=sin(x+ ) 2? y=cos2x 解:1? 令 z= x+
? 而 sin(2?+z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3 ? 3

3? y=3sin( +

x 2

? ) 5

即:f (2?+z)=f (z)

f [(x+2)?+ 2?令 z=2x

∴周期 T=2?

∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)]

即:f (x+?)=f (x)

∴T=?

x ? x ? 3?令 z= + 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( + +2?) 2 5 2 5

=3sin(

x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5

∴T=4?
2?

小结:形如 y=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A?0, x?R) 周期 T= y=Acos(ω x+φ )也可同法求之 例二 P54 例 3 例三 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+ 2? y=|sinx|
? ? )+2cos(3x- ) 4 6

?

3? y=2 3 sinxcosx+2cos2x-1
? 4

解:1? y1=sin(2x+ ) 最小正周期 T1=? y2=2cos(3x? 2? ) 最小正周期 T2= 6 3

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=? 作图

y 1 ? 2? -? o 注意小结这两种类型的解题规律
??

3?

x

3? y= 3 sin2x+cos2x 1

∴T=? 3

四、小结:周期函数的定义,周期,最小正周期 五、作业:P56 练习 5、6 P58 习题 4.8 《精编》P86 20、21 补充:求下列函数的最小正周期: 1.y=2cos( ? )-3sin( x ? )
3
4

x 4

?

?

2.y=-cos(3x+ 3.y=|sin(2x+
? 2

? ? )+sin(4x- ) 2 3

? )| 6
? 2 ? 2

4.y=cos sin +1-2sin2

第三十教时
教材:正弦函数、余弦函数的图象及其性质习题课; 《教学与测试》第 57、58 课 目的:复习正弦函数、余弦函数的图象及其性质,使学生对上述概念的理解、认 识更深刻。

过程:一、复习:1.y=sinx 2.y=sinx

y=cosx 的图象 当 x?R 时,当 x?[0,2?]时 y=cosx 的性质 定义域、值域(有界性)最值、 周期性、奇偶性、单调性 二、处理《教学与测试》P119 第 57 课 1.已知函数 f (x)= 1 ? cos2 2 x ,试作出该函数的图象,并讨论它的奇偶性、 周期性以及区间[0, ]上的单调性。 解:f (x)=|sin2x| -? f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x) ∴f (x)为偶函数
? 4
-?
2
??

? 2

T=

? 2

y 1 o 1

? 2

?

x

在[0, ]上 f (x)单调递增;在[ ,
? 2

? ? ]上单调递减 4 2
k? k? ? , ? ] k?Z 2 2 4 k? ? (k ? 1)? ] k?Z ? , 2 4 2

注意:若无“区间[0, ]”的条件,则增区间为[ 减区间为[ 2.设 x?[0,
? ], 2 ? 2

f (x)=sin(cosx), g (x)=cos(sinx) 求 f (x)和 g (x)的最大值和

最小值,并将它们按大小顺序排列起来。 解: ∵在[0, ]上 y=cosx 单调递减, 且 cosx?[0,1] 在此区间内 y=sinx 单调 递增且 sinx?[0,1] ∴f (x)=sin(cosx)?[0,sin1] 最小值为 0, 最大值 为 sin1 g (x)=cos(sinx)?[cos1,1] 最小值为 cos1, 最大值为 1 ∵cos1=sin(
? ?1)<sin1 2

∴它们的顺序为:0<cos1<sin1<1

三、处理《教学与测试》P121 第 58 课 1.已知△ABC 的两边 a, b , 它们的夹角为 C 1?试写出△ABC 面积的表达式; 2?当?C 变化时,求△AABC 面积的最大值。 解:1?
a C D b B c A

如图:设 AC 边上的高 h=asinC 2?当 C=90?时[sinC]max=1 ∴[S△ABC]max= ab
1 2

2.求函数 y ?

cos x ? 3 的最大值和最小值。 cos x ? 3 6 cos x ? 3

解: (部分分式) y ? 1 ?
?

当 cosx=1 时 ymax=

1 2

当 cosx=-1 时 ymin= -2 3.求函数 y ? 2 cos(x ? )
3

( ≤x≤

? 6

2? )的最大值和最小值。 3

解:∵x?[ ,

? 2? ] 6 3 ? 3 ? 3

∴x- ?[- , ] 即 x= 时 ymax=2
? 3

? 3

? ? 6 3

∴当 x- =0 当 x- =

? 2? 即 x= 时 ymin=1 3 3

四、补充(备用) 《精编》 (P79 例 7)求函数 f (x)= log1 cos( x ? ) 的单调递增区间。
2

1 3

?

4

解:∵f (x)= log1 cos( x ? ) 令 t ? x ?
2

1 3

?

4

1 3

?
4

∴y= log 1 cos t
2

t 是 x 的增函数

又∵0< <1

1 2

∴当 y= log 1 cos t 为单调递增时 cost 为单调递减 且 cost>0
2

∴2k?≤t<2k?+
1 3

? 2

(k?Z)
? 2

∴2k?≤ x ? <2k?+
4

?

(k?Z)

6k?-

3? 3? ≤x<6k?+ 4 4

(k?Z)

∴ f (x)= log1 cos( x ? ) 的 单 调 递 减 区 间 是 [6k?2

1 3

?

4

3? 3? ,6k?+ ) 4 4

(k?Z) 五、作业: 《教学与测试》P120 4-8 思考题 P121 4-8 思考题

第三十一教时
教材:函数 y=Asinx 和 y=Asinω x 的图象 目的:要求学生会用五点法画出函数 y=Asinx 和 y=Asinω x 的图象,明确 A 与 ω 对函数图象的影响作用;并会由 y=Asinx 的图象得出 y=Asinx 和 y=Asin ω x 的图象。 过程:一、导入新课,提出课题: 物理实例:1.简谐振动中,位移与时间的关系 2.交流电中电流与时间的关系 都可以表示成形如:y=Asin(ω x+φ )的解析式 二、y=Asinx 例一.画出函数 y=2sinx 解:由于周期 T=2? x sinx 2sinx 0 0 0
? 2

x?R;y= sinx

1 2

x?R 的图象(简图) 。

∴不妨在[0,2?]上作图,列表: ? 0 0
3? 2

2? 0 0

1 2

-1 -2

1 sinx 2

0

1 2

0

-

1 2

0

作图:

y=2sinx

2 y y=sinx 2 1 y= sinx 1 ? 2 2? ? O -1 x ? ? -2 ? y=sinx 的图象作比较,结论: 引导,观察,启发:与 1 1.y=Asinx,x?R(A>0 且 A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点 2 的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的。
1 2

2.它的值域[-A, A] 最大值是 A, 最小值是-A 3.若 A<0 可先作 y=-Asinx 的图象 ,再以 x 轴为对称轴翻折。 三、y=sinω x 例二.画出函数 y=sin2x x?R;y=sin x x?R 的图象(简图) 。 解:∵函数 y=sin2x 令 X=2x 列表: X=2x x sin2x 作图: 0 0 0
? 2 ? 4
1 2

周期 T=?
X 2

∴在[0, ?]上作图

则 x=

从而 sinX=sin2x
3? 2 3? 4

?
? 2

2? ? 0
1

1

0

-1
y=sin x
2

1y ? ? O ? y=sin2x 1x 周期 T=4? 函数 y=sin
2

2 ? y=sinx
2?

3 ?

4? 4 ?

x

∴在[0, 4?]上作图

列表

X=

x 2

0 0 0

? 2

? 2? 0

3? 2

2? 4? 0

x sin
x 2

? 1

3? -1

引导, 观察启发 与 y=sinx 的图象作比较 1.函数 y=sinω x, x?R (ω >0 且ω ?1)的图象,可看作把正弦曲 线上所有点的横坐标缩短(ω >1)或伸长(0<ω <1)到原来的
1

?

倍(纵坐

标不变) 2.若ω <0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图。 四、例三.作出 y=2sin2x 的图象。 解: (略) 五、作业:P66 练习 1 中 ①②③④ P68 4.8 2 中①——⑧

第三十二教时
教材:函数 y=sin(x+φ )和 y=Asin(ω x+φ )的图象 目的:要求学生掌握“φ ”在 y=Asin(ω x+φ )的图象中的作用;会用图形变换方 法和五点法分别画出 y=sin(x+φ )和 y=Asin(ω x+φ )的图象。 过程:一、简要复习 y=Asinx 和 y=Asinω x 的图象 注意突出“A”与“ω ”的作用,同时综合成 y=Asinω x 图象的作法 二、y=sin(x+φ )的图象的作法 1.由 y=cosx=sin(x+ 到 2.例一 (P62 例三)画出函数 y=sin(x+
1 2

? ? )知可以看作将 y=sinx 的图象上各点向左平移 个单位得 2 2

? ) 3

(x?R);y=sin(x? ) (x?R)的简图

? 4

1y ? 2? 3 4 ? O ? y=sin(x-?/4) ? 3 y=sin(x+ ) ? ? 1 1?用平移法 注意讲清方向: “加左” “减右”
2?也可用列表法, 然后用五点法作图 以 y=sin(x+ 3? 小 结 :
? x+ 3 ? )为例 3

y=sin x

x

0 ?
? 3

? 2

?
2? 3

3? 2

(P63) 2?
5? 3

x sin(x+ ) 三、y=Asin(ω x+φ )
? 3

? 6

7? 6

0

1

0

-1

0 的图象的作法

1.先重温,参数 A, ω , φ 在图象中的作用 2.例二(P63 例四)画出函数 y=3sin(2x+ 解:周期 T=?(五点法) 令
X?

? ) 3 ? 3

x?R 的图象。
? 2

X=2x+

? 3



2x+ x

0 ?
? 3 ? 6

?
? 3

3? 2 7? 12

2?
5? 6

x=

3 ? x ?? 2 2 6

?

?
12

3sin(2x+ )

0

3

0

-3

0

1y ? ? ? ? 3 6O ? 1
3

y=sin(2x+ ? )
3

y=sin(x+ ? )
3

?

5? ? 6

3 ?

4 ?

x

3.用平移法作 y=3sin(2x+ ? )的图象 4.小结平移法过程(步骤)P64-65 略
作 y=sinx(长度为 2?的某闭区间) 沿 x 轴平 移|φ |个单位 得 y=sin(x+φ ) 横坐标伸 长或缩短 得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短 横坐标 伸长或缩短 得 y=sinω x 沿 x 轴平 移|

? |个单位 ?

得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短

得 y=Asin(ω x+φ )的图象,先在一 个周期闭区间上再扩充到 R 上。

两种方法殊途同归 四、小结:1.突出 A, ω , φ 的作用 2.强调 y=Asin(ω x+φ )图象的平移步骤及五点法 五、作业:P8 习题 4.9 2 中 ③④ 及 3

第三十三教时
教材: y ? A sin(?x ? ?) 的图象,综合练习

目的:进一步熟悉参数 A、?、? 对函数 y ? A sin(?x ? ?) 图象的影响,熟练掌握 由 y ? sin x 的图象得到函数 y ? A sin(?x ? ?) ? k ( x ? R) 的图象的方法。 过程: 二十一、 复习提问: 4.如何由 y ? sin x 的图象得到函数 y ? A sin(?x ? ?) 的图象 5.如何用五点法作 y ? A sin(?x ? ?) 的图象

6. A、?、? 对函数 y ? A sin(?x ? ?) 图象的影响作用 三十、 函数 y ? A sin(?x ? ?), x ? ?0,??), (其中A ? 0, ? ? 0) 的物理意义:

函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅” 2? T: T ? 往复振动一次所需的时间,称为“周期” ? 1 ? f: f ? ? 单位时间内往返振动的次数,称为“频率” T 2?
?x ? ? :称为相位
? :x = 0 时的相位,称为“初相”

三、1.函数 y ? A cos(?x ? ?), x ? R, (其中A ? 0, ? ? 0) 的简图可类似获得 2.口答:P66—67 练习 4,5 P67—68 习题 4.9 1 四、处理《教学与测试》P123—124 第 59 课
? 例一、函数 y ? A sin( ?x ? ?), ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 的最小值是?2,其图象 2 最高点与最低点横坐标差是 3?, 图象过点(0,1), 又: 求函数解析式。

解:易知:A = 2 半周期

T ? 3? 2

∴T = 6? 即

2? ? 6? ?

从而:? ?

1 3

1 设: y ? 2 sin( x ? ?) 令 x = 0 有 2 sin ? ? 1 3 ? ? 1 ? | 又: ? |? ∴? ? ∴所求函数解析式为 y ? 2 sin( x ? ) 2 3 6 6 ? 例二、设用五点法作出函数 y ? 3 cos( 2 x ? ) 的图象, 4

问:这个图象可由 y ? cos x 的图象经过如何变换得到? 解:
2x ? ? 4

x
? 3 cos( 2 x ? ) 4

0 ? 8 3

? 2 3? 8

? 5? 8 ?3

3? 2 7? 8

2? 9? 8 3

0

0

例三、函数 f (x)的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向左平移 曲线是 y ?

? 个单位所得的 2

1 sin x 的图象,试求 y ? f (x) 的解析式。 2 1 ? 1 ? 解:将 y ? sin x 的图象向右平移 个单位得: y ? sin( x ? ) 2 2 2 2 1 1 即 y ? ? cos x 的 图 象 再 将 横 坐 标 压 缩 到 原 来 的 得: 2 2 1 y ?? cosx 2 2 1 ? y ? f ( x) ? ? c o s x 2 2 五、作业:课本 P68—69 习题 4.9 《教学与测试》P123—124

4,5 余下部分(选)

第三十四教时
教材:正切函数的图象和性质 目的:学会画出正切函数的图象,并掌握正切函数的性质。 过程: 一、课题:正切函数的图象和性质。 二、正切函数 y ? tan x 的图象。

?k ? z ? 2 2.为了研究方便,再考虑一下它的周期:
1.首先考虑定义域: x ? k? ?

?

? t a ?x ? ? ? ? n

? s i nx ? ? ? ? s i n x ? ? ? ? ? t a n? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? x c o ?s ? ? ? ? c o x x s 2 ? ?

? ? ? ? y ? t a n? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 的周期为 T ? ? (最小正周期) x 2 ? ?
? ? ?? 3.因此我们可选择 ? ? , ? 的区间作出它的图象。 ? 2 2?
y

?

?
2

? 2

x

根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 ? y ? t anx x ? R ,且 x ? ? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 2

y

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

? 2

?

3 x ? 2

三、正切函数的性质

引导学生观察,共同获得:

? ? ? 1、 定义域: ? x | x ? ? k? , k ? z ? , 2 ? ?

2、 值域:R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于 3、 周期性: T ? ?

?
2

?k ? z ?, x ? k? ? ? 时, tan x ? ? ?? ??
?
2 2 ? k? 时, tan x ? ?? 。 ??

?
2

? k? ?k ? z ? , x ? ??

4、 奇偶性: tan?? x ? ? ? tan x 奇函数。

? ? ? ? 5、 单调性:在开区间 ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ?
四、例题:
? 13? ? ? 17? ? 例一、比较 tan? ? ? 与 tan? ? ? 的大小。 ? 4 ? ? 5 ?

? 2? ? 13? ? ? 17? ? 解:? tan? ? , ? ? ? tan , tan? ? ? ? ? tan 4 5 ? 4 ? ? 5 ?
又: 0 ?

?
4

?

2? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增, 5 ? 2?

? tan

?
4

? tan

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 。 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

?? ? 例二、讨论函数 y ? tan? x ? ? 的性质。 4? ?

? ? ? 略解:定义域: ? x | x ? R且x ? k? ? , k ? z ? 4 ? ?
值域:R 非奇非偶函数
3? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 上是增函数。 4 4? ?

图象可看作是 y ? tan x 的图象向左平移 五、小结: y ? tan x, x ? R且x ? k? ?

, k ? z 的图象,性质。 2 六、作业:P71 练习 1,2,3,4,6 P72 习题 4.10 1,2,3,4

?

? 单位。 4

第三十五教时
教材: (续)正切函数的图象与性质、余切函数的图象性质( 《教学与测试》60 课)

目的:巩固正切函数的图象与性质,使学生能逐步养成熟练技巧,同时介绍余切 函数的图象与性质。 过程: 一、复习正切函数的图象与性质(略) 二、处理《教学与测试》P125 第 60 课 例一、用图象解不等式 tan x ? 3
y y

3
T 0 ? ? x

3
0

3 2
A x

? ?? ? 解:利用图象知,所求解为 ?k? ? , k? ? ? k ? z 3 2? ?
亦可利用单位圆求解。

?? ? 例二、求函数 y ? tan? 3x ? ? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶 3? ?
性、单调性。 ? ? k? 5? ? 解:由 3 x ? ? k? ? 得 x ? , 3 2 3 18
k? 5? ? ? ? , k ? z? ? 所求定义域为 ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ?

值域为 R,周期 T ?

?
3

,是非奇非偶函数。

? k? ? k? 5? ? 在区间 ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?

例三、作出函数 y ?

tan x 1 ? tan x
2

, x ? ?0,2? ? 且 x ?

? 3? , 的简图。 2 2

? ? ? ? ? 3? ? ?sin x, x ? ? 0, 2 ? ? ? 2 ,2? ? tan x tan x ? ? ? ? ? ? ?? 解: y ? 2 ? ? 3? ? 1 ? tan x sec x ? ? sin x, x ? ? , ? ? ?2 2 ? ?
y 1

O

?

2?

x

三、余切函数的图象及其性质(要求学生了解)

?? ?? ? ? y ? cot x ? tan? ? x ? ? ? tan? x ? ? ——即将 y ? tan x 的图象,向左平移 2? ?2 ? ?
? 个单位,再以 x 轴为对称轴上下翻折,即得 y ? cot x 的图象。 2
y

?? ? ? 2

0

? 2

?

3 ? 2

x

定义域: x ? R且x ? k? , k ? z

? ?? ? ? ? 值域:R,当 x ? ? k? , k? ? ?k ? z 时 y ? 0 ,当 x ? ? k? ? , k? ?k ? z 时 2 2? ? ? ?
y?0

周期: T ? ? 奇偶性:奇函数 单调性:在区间 ?k? , ?k ? 1?? ? 上函数单调递减。 二、求下列函数的定义域


cot x 1、 y ? tan x ? 1

2、 y ? cot x ? csc x

。 。

。 ? ? ? k? ? x ? k? ? ? cot x ? 0 ? 2 ?tan x ? 1 ? 0 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 解: ? x ? k? ? ? x ? k? ? 4 ? ? k? , k? ? ? ? ? k? ? , k? ? ?, k ? z 1、 4? ? 4 2? ? ? ? x ? k? ? ? x ? k? ? ? ? 2 ? ? x ? k? ? 2 ? ?

?cot x ? 0 ?cot x ? 0 ? ? 括 2、 ?csc x ? 0 或?csc x ? 0 ? ?第一象限或第四象限包 y轴? ? x ? k? ? x ? k? ? ?
,2k? )k ? z 2 2 四、作业: 《教学与测试》 P126 练习,全部 ? x ? (2k? ,2k? ?

?

] ? [2k? ?

?

第三十六教时
教材:已知三角函数值求角(反正弦,反余弦函数) 目的:要求学生初步(了解)理解反正弦、反余弦函数的意义,会由已知角的正 弦值、余弦值求出 ?0,2? ? 范围内的角,并能用反正弦,反余弦的符号表示 角或角的集合。 过程: 一、简单理解反正弦,反余弦函数的意义。 由 y ? sin x, x ? R
?
? 2?
y

?
2
0

??

? 2

?

2?

3?

x

1?在 R 上无反函数。
? 2 2? ? 在 ?? ? , ? ? 上, y ? sin x 的反函数称作反正弦函数, ? 2 2? ? ?

2?在 ?? ? , ? ? 上,y ? sin x, x 与 y 是一一对应的, 且区间 ?? ? , ? ? 比较简单 ? ? ? ?
? 2 2?

记作 y ? arcsin x?? 1 ? x ? 1? , (奇函数) 。 同理,由 y ? cos x, x ? R.
?
? 2?
y

?
2
0

??

? 2

?

2?

3?

x

在 ?0, ? ?上, y ? cos x 的反函数称作反余弦函数, 记作 y ? arccosx?? 1 ? x ? 1? 二、已知三角函数求角 首先应弄清:已知角求三角函数值是单值的。

已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知 sin x ?

2 ? ? ?? 且x ? ?? , ? ,求 x 2 ? 2 2?

? ? ?? 解:? 在 ?? , ? 上正弦函数是单调递增的,且符合条件的角只有一个 ? 2 2?

∴x ?

?
4

(即 x ? arcsin

2 ? ? ) 2 4

2、已知 sin x ?

2 , 且x ? ?0,2? ? 2

解:? sin x ?

2 ? 0 ,? x 是第一或第二象限角。 2

?? ? 2 ? ? 3? ? ? s i n? ? ? ? s i n ? ,? x ? 或x ? ? ? ? ? 4? 4 2 4 4 4 ?
即( x ? arcsin
2 ? 2 3? ) 。 ? 或x ? ? ? arcsin ? 2 4 2 4 2 , 且x ? R 2

3、已知 sin x ? ?

解:? sin x ? ?

2 ? 0,?x 是第三或第四象限角。 2

?? ? 2 ? ? ? sin?? ? ? ? ? sin ? ? ,? x ? 2k? ? ? ? ? ?2k ? 1?? ? ?k ? z ? 4? 4 2 4 4 ?

?? ? 2 ? ? ? sin?? ? ? ? ? sin ? ? ,? x ? 2k? ? 2? ? ? ?2k ? 2?? ? ?k ? z ? 4? 4 2 4 4 ?
(即 x ? 2k? ?

?
4

或x ? 2k? ?

?
4

?k ? z ?

? 2? k ? 或 x ? k? ? ?? 1? arcsin? ? ? 2 ?) ? ?

这里用到 arcsin?? x? ? ? arcsin x,? y ? arcsin x 是奇函数。

且 例二、1、已知 cos x ? 0.7660 x ? ?0, ? ? ,求 x
解:在 ?0, ? ? 上余弦函数 y ? cos x 是单调递减的, 且符合条件的角只有一个

?x ?

2? ?即x ? a r c c o0s7 6 6 ?0 . 9

2、已知 cos x ? ?0.7660 ,且 x ? ?0,2? ?,求 x 的值。 解:? cos x ? ?0.7660 ? 0 ,? x 是第二或第三象限角。
2? ? 2? ? ? ? ? cos?? ? ? ? cos?? ? ? ? ?0.7660 9 ? 9 ? ? ?
?x ?? ? 2? 7? 2? 11? ? 或x ? ? ? ? 9 9 9 9

3、已知 cos x ? ?0.7660 且x ? R ,求 x 的值。 , 解:由上题: x ? 2k? ?
7? 11? ?k ? z ? 。 或x ? 2k? ? 9 9

? 介绍:∵ arccos ? x ? ? ? ? arccosx,
∴上题 x ? 2k? ? arccos ?? 0.7660 ? ? 2k? ?
7? ?k ? z ? 9

例三、 (见课本 P74-P75)略。 三、小结:求角的多值性 法则:1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值,则先求出对应的锐角 x; 如果函数值是负值,则先求出与其绝对值对应的锐角 x, 3、由诱导公式,求出符合条件的其它象限的角。 四、作业:P76-77 练习 3 习题 4.11 1,2,3,4 中有关部分。

第三十七教时
教材:已知三角函数值求角(2) 目的:理解反正切函数的有关概念,并能运用上述知识已知三角函数值求角。 y 过程: ? 一、反正切函数 y ? tan x, x ? k? ? , x ? R 2 1?在整个定义域上无反函数。
? ? ?? 2?在 ?? , ? 上 y ? tan x 的反函数称作反正切函数, ? 2 2?
0

x

记作 y ? arctanx?x ? R? (奇函数) 。 二、例一、 (P75 例四)
1 ? ? ?? 1、已知 tan x ? 且x ? ? ? , ? ,求 x(精确到 0.1? ) 。 3 ? 2 2?

? ? ?? 解:在区间 ? ? , ? 上 y ? tan x 是增函数,符合条件的角是唯一的 ? 2 2? ??? x ? 180 26' ? ? ? 10 ?

2、已知 tan x ?

1 且 x ? ?0,2? ?,求 x 的取值集合。 3

? ? ? ? ? ? 解:? tan?? ? ? ? tan ,? x ? ? ? 或x ? 10 ? 10 10 10 ?
1 1 ? ? ? 11 ? ? 所求的 x 的集合是 ? , ? (即 x ? arctan 和x ? ? ? arctan ) 3 3 ?10 10 ?

1 3、已知 tan x ? 且x ? R ,求 x 的取值集合。 3 ? 11? ?k ? z ? 解:由上题可知: x ? k? ? , x ? k? ? 10 10 ? 合并为 x ? k? ? ?k ? z ? 10 三、处理《教学与测试》P127-128 61 课

例二、已知 sin ? ? 1? ? 为 锐 角 4? ? ? R 解:1?由题设 ? ? 2?设 ? 1 ?

3 ,根据所给范围求 ? : 2

2? ? 为 某 三 角 形 内 角

3? ? 为 第 二 象 限 角

?
3

?
3

,或 ? 2 ? ? ?

?
3

?

2? ?k ? z ? 3? ? ? 2k? ? 3
k

2? 3

4?由题设 ? ? k? ? ?? 1? arcsin 例三、求适合下列关系的 x 的集合。 1? 2 cos x ? 2 ?x ? R?

3 k ? ? k? ? ?? 1? ?k ? z ? 2 3

2? 3 tan2 x ? 1 ? 0

3? sin x ? ?

3 5

解:1? cos x ?

2 2 ? , x ? 2k? ? arccos ? 2k? ? , k ? z 2 2 4

? ? ? ? 所求集合为 ? x | x ? 2k? ? , k ? z ? 4 ? ?

2? tan x ? ?

3 ? ? ? ? , x ? k? ? ,?所求集合为 ? x | x ? k? ? , k ? z ? 3 6 6 ? ?

3? sin x ? ?

3 ? 3? k , ? x ? k? ? ?? 1? arcsin ? 5 ? 5?
B ? tan A ? sin A ? 1, 求?A 2

例四、直角 ?ABC 锐角 A,B 满足: 2 cos 2 解:由已知: 1 ? cos B ? tan A ? sin A ? 1

? 2 sin A ? tan A,? A 为锐角,? sin A ? 0
1 ? ? ,0 ? A ? ,? ?A ? 2 2 3 四、小结、反正切函数 五、作业:P76-77 练习与习题 4.11 余下部分及《教学与测试》P128 61 课练习 ? c o sA ?

第三十八教时
教材:复习两角和与差的三角函数(用《导学 创新》 ) 目的: 通过复习让学生进一步熟悉有关内容, 并正确运用有关技巧解决具体问题。 过程: 二十二、 复习:有关公式 三十一、 强调有关解题技巧:化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和 积互换 三十二、 例题: 3 5 a) 在△ABC 中,已知 cosA = ,sinB = ,则 cosC 的值为????(A) 5 13 16 56 16 56 16 或 A. B. C. D. ? 65 65 65 65 65 解:∵C = ? ? (A + B) ∴cosC = ? cos(A + B) 3 12 又∵A?(0, ?) ∴sinA = 而 sinB = 显然 sinA > sinB 5 13 4 ∴A > B 即 B 必为锐角 ∴ cosB = 5 12 3 5 4 16 ∴cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? cosAcosB = ? ? ? ? 13 5 13 5 65 b) 在△ABC 中, ?C>90?, tanAtanB 与 1 的关系适合?????? 则 (B) A. tanAtanB>1 B. tanAtanB>1 C. tanAtanB =1 D.不确定 解:在△ABC 中 ∵?C>90? ∴A, B 为锐角 即 tanA>0, tanB>0 tan A ? tan B 又:tanC<0 于是:tanC = ?tan(A+B) = ? <0 1 ? tan A tan B ∴1 ? tanAtanB>0 即:tanAtanB<1 又解:在△ABC 中 ∵?C>90? ∴C 必在以 AB 为直径的⊙O 内(如 图) 过 C 作 CD?AB 于 D,DC 交⊙O 于 C’, C’
C h' h A D

设 CD = h,C’D = h’,AD = p,BD = q, 则 tanAtanB ? c) 已知

h h h 2 h' 2 ? ? ? ?1 p q pq pq

p

q

B

? ? 3? ? 3 3? 5 ??? , 0 ? ? ? , cos( ? ?) ? ? , sin( ? ?) ? , 4 4 4 4 5 4 13 求 sin(? + ?)的值 ? 3? ? ? 解:∵ ? ? ? ∴ ? ??? ? 4 4 2 4 ? 4 ? 3 又 cos( ? ?) ? ? ∴ sin( ? ?) ? 4 5 4 5 ? 3? 3? ? ?? ? ? ∵0 ? ? ? ∴ 4 4 4 3? 5 3? 12 又 sin( ? ?) ? ∴ cos( ? ?) ? ? 4 13 4 13 ? 3? ∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ? sin[( ? ?) ? ( ? ?)] 4 4 ? 3? ? 3? ? ?[sin( ? ?) cos( ? ?) ? cos( ? ?) sin( ? ?)] 4 4 4 4 4 12 3 5 63 ? ?[ ? (? ) ? ? ] ? 5 13 5 13 65

d) 已知 sin? + sin? =

2 ,求 cos? + cos?的范围 2
1 2 +t 2

解:设 cos? + cos? = t, 则(sin? + sin?)2 + (cos? + cos?)2 =
1 2 +t 2 1 3 即 cos(? ? ?) = t2 ? 2 4

∴2 + 2cos(? ? ?) =

又∵?1≤cos(? ? ?)≤1 ∴?
14 14 ≤t≤ 2 2

∴?1≤

1 2 3 t ? ≤1 2 4

e) 设?,??( ?

? ? , ),tan?、tan?是一元二次方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两个 2 2 根,求 ? + ?

解:由韦达定理: ?

?tanα ? tanβ ? ?3 3 ?tanα ? tanβ ? 4

∴ tan(? ? ?) ?

tan? ? tan? ? 3 3 ? ? 3 1 ? tan(? ? ?) 1 ? 4

? ? , )且 tan?, tan? < 0 (∵tan?+tan?<0, tan?tan? >0) 2 2 2? 得? + ?? (??, 0) ∴? + ? = ? 3

又由?, ? ??(

1 1 tan? f) 已知 sin(?+?) = ,sin(???) = ,求 的值 2 10 tan?

3 1 ? ? ?sin ? cos? ? 10 ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? 2 解:由题设: ? ?? 1 1 ?sin ? cos? ? cos? sin ? ? ? cos? sin ? ? 10 ? 5 ?
从而:
tan? sin ? cos? 3 3 ? ? ?5 ? tan? cos? sin ? 10 2

或设:x =

tan? tan?



sin(? ? ?) ?5 sin(? ? ?)

sin(? ? ?) tan? ?1 x ?1 cos? cos? tan? ? tan? tan? ? ? ? ?5 ∴ sin(? ? ?) tan? ? tan? tan? x ?1 ?1 cos? cos? tan?

∴x =

3 2



3 tan? = 2 tan?

三十三、 作业: 《课课练》P63—64 第 34 课 课外作业:课本 P88 复习参考题

14—180

第三十九教时
教材:复习二倍角的正弦、余弦、正切 目的:通过梳理,突出知识间的内在联系,培养学生综合运用知识,分析问题、 解决问题的能力。 过程: 二十三、 复习:1.倍角公式 2.延伸至半角、万能、积化和差、和差化积公式 三十四、 例题: a) 化简: 2 1 ? sin 8 ? 2 ? 2 cos8 解
? 2 1? 2s 4c


4 ? 2 ? 2(2 c i2 4 ?o ) ? 2 ( 1


4 ? c n )2 ? 2 c o 4 s
2


s4 o s o i

= 2|sin4 + cos4| +2|cos4|

3? ) ∴sin4 + cos4 < 0 cos4 < 0 2 ∴原式= ?2(sin4 + cos4) ?2cos4 = ?2sin4 ? 4cos4 ? ? 1 ? b) 已知 sin( ? ?) sin( ? ?) ? , ? ? ( , ?) ,求 sin4?的值 4 4 6 2 ? ? 1 ? ? 1 解:∵ sin( ? ?) sin( ? ?) ? ∴ 2 sin( ? ?) cos( ? ?) ? 4 4 6 4 4 3 ? 1 1 ∴ sin[ 2( ? ? )] ? ∴cos2? = 4 3 3 ? 又∵ ? ? ( , ?) ∴2?? (?, 2?) 2

∵ 4 ? (?,

1 2 2 ∴sin2? = ? 1 ? cos2 2? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? 3 3
∴sin4? = 2sin2?cos2? = 2 ? (?
2 2 1 4 2 )? ? ? 3 3 9

c) 已知 3sin2? + 2sin2? = 1,3sin2? ? 2sin2? = 0,且?、?都是锐角, 求?+2?的值 解:由 3sin2? + 2sin2? = 1 得 1 ? 2sin2? = 3sin2? ∴cos2? = 3sin2? 3 由 3sin2? ? 2sin2? = 0 得 sin2? = sin2? = 3sin?cos? 2 ∴cos(?+2?) = cos?cos2? ?sin?sin2? = cos?3sin2? ? sin?3sin?cos? = 0 ∵0?<?<90?, 0?<?<90? ∴0?< ?+2? <270? ∴?+2? = 90? d) 已知 sin?是 sin?与 cos?的等差中项,sin?是 sin?、cos?的等比中项, ? 求证: cos 2? ? 2 cos 2 ( ? ?) ? 2 cos 2? 4 证:由题意: 2sin? = sin? + cos? ① 2 sin? = sin?cos? ② 2 2 2 ① ?2②:4sin ? ? 2sin ? = 1 ∴1 ? 2sin2? = 2 ? 4sin2? ∴cos2? = 2cos2? 由②:1 ? 2sin?2 = 1 ? 2sin?cos? ? ? ∴cos2? = (sin? ? cos?)2 = [ 2 cos( ? ?)] 2 ? 2 cos 2 ( ? ?) 4 4 ? ∴ cos 2? ? 2 cos 2 ( ? ?) ? 2 cos 2? 原命题成立 4 ? ? 5.《教学与测试》P129 备用题)奇函数 f (x)在其定义域 ( ? , ) 上是减 ( 2 2 函数, 并且 f (1?sin?) + f (1?sin2?) < 0,求角?的取值范围。 1?sin? < sin2? ?1

解:∵f (1?sin?) < f (sin2? ?1) ∴

? <1?sin?<

1 2

1 2

1 2 ? ? 3? ? 解之得:??(2k?+ , 2k?+ )∪(2k?+ , 2k?+ ) (k?Z) 2 4 2 4

? <sin2? ?1<

1 2

6.已知 sin? = asin(?+?) (a>1),求证: tan(? ? ?) ?

sin ? cos? ? a

证:∵sin? = sin[(?+?)??] = sin(?+?)cos??cos(?+?)sin? = asin(?+?) ∴sin(?+?)(cos? ? a) = cos(?+?)sin? ∴ tan(? ? ?) ?
sin ? cos? ? a

三十五、 作业: 《导学 创新》印成讲义 课外作业 P88 复习参考题 19—22 ∴2?正确 解二:对于 1?取 x1=- ,x2= 则有 f (x1)=f (x2)=0 但 x1-x2 不是?的整数倍 ∴1?不正确 对于 2? ∵sin(2x+ )=cos(2x+ ? 对于 3?点 x,y 关于点(? 3 ? 3
? ? )=cos(2x- ) 2 6

? 6

? 3

故 2?正确

? ? ,0)的对称点是(? ?x,?y),设点 A(x,y)是 6 3

函数 y=f (x)的图象上任一点,则由 y=4sin(2x+
? ? ? ? ? )得?y=?4sin(2x+ )=4 sin(-2x? )=4sin[2(?x? )+ ] 3 3 3 3 3 ? ? ,0)的对称点(? ?x,?y)也在函数 y=f (x)的图象上,该函 6 3

即点 A 关于点(? 数关于点(?

? ,0)对称 6

故 3?正确
? ? )是函数 y=f (x)的图象上的点, 它关于直线 x=? 3 6

对于 4?, A(0,4sin 点 的对称点为 A’(?

? ? ,4sin ) 3 3

由于 f (?

? 2? ? ? ? )=4sin(- + )=-4sin ?4sin 3 3 3 3 3

∴点 A’不在函数 y=f (x)的图象上 ∴4?不正确 8.如图半⊙O 的直径为 2,A 为直径 MN 延长线上一点,且 OA=2,B 为半圆 周上任一点,以 AB 为边作等边△ABC (A、B、C 按顺时针方向排列)问 ?AOB 为多少时,四边形 OACB 的面积最大?这个最大面积是多少? 解:设?AOB=? 则 S△AOB=sin? S△ABC=
3 AB 2 4

C

作 BD?AM, 垂足为 D, 则 BD=sin? AD=2?cos? ∴ AB2 ? BD2 ? AD2 ? sin2 ? ? (2 ? cos? ) 2 =1+4?4cos?=5?4cos?

OD=?cos?
B M D ? O A N

∴S△ABC=

3 5 3 (5?4cos?)= ? 3 cos? 4 4

于是 S 四边形 OACB=sin?? 3 cos?+ ∴当?=?AOB=

5 3 5 3 ? =2sin(?? )+ 4 4 3

5 3 5? 时四边形 OACB 的面积最大,最大值面积为 2+ 4 6

9.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=? 对称,那么 a 等于??(D)
(A) 2 (B)1 (C)?
2

? 8

(D)?1

解一: (特殊值法) 点(0,0)与点(?
? ? ,0)关于直线 x=? 对称 4 8 ? ? )+acos(? ) 2 2

∴f (0)=f (?

? ) 4

即 sin0+acos0=sin(? 解二: (定义法)

∴a=?1

∵函数图象关于直线 x=? ∴sin2(? ∴2cos

? 对称 8

? ? ? ? +x)+acos2(? +x)= sin2(? ?x)+acos2(? ?x) 8 8 8 8

? ? sin2x=?2asin sin2x 4 4

∴a=?1

解三: (反推检验法) 当 a= 2 时 y=sin2x+ 2 cos2x 而当 x=? 时 y=1?
? 8
2 ?± 3 2

∴ymax= 3

ymin=? 3

可排除 A,同理可排除 B、C

10. 函数 f (x)=Msin(ω x+φ ) (ω >0)在区间[a,b]上是增函数, f (a)=M, (b)=?M 且 f 则函数 g (x)= Mcos(ω x+φ ))在区间[a,b]上???????????(C) (A)是增函数 (B)是减函数 (C)可取得最大值M (D)可取得最小值-M 解一:由已知 M>0 ?
? ? +2k?≤ω x+φ ≤ + 2 2

(k?Z)

∴有 g (x)在[a,b]上不是增函数也不是减函数,且 当ω x+φ =2k?时 g (x)可取得最大值 M 解二:令ω =1, φ =0 区间[a,b]为[? ,
? ? ] 2 2

M=1

则 g (x)为 cosx,由余弦函数 g (x)=cosx 的性质得最小值为-M。 11.直线 y=a(a 为常数)与正切曲线 y=tanω x (ω 为常数且ω >.0)相交的相邻 两 点 间 的 距 离 是??????????????????????????(C)
(A)? (B)
2?

?

(C)

? ?

(D)与a有关

解:由正切函数的图象可知“距离”即为周期。

12.求函数y=3tan( 解:

? ? x + )的定义域、最小正周期、单调区间。 6 3

? ? ? x + ?k?+ 得x?6k+1 2 6 3

(k?Z) 定义域为{x|x?6k+1, k?Z }

由T=

? 得T=6 即函数的最小正周期为6 ?
? ? ? ? < x + < k?+ 2 6 2 3

由k?+

(k?Z)得:6k?5<x<6k+1

(k+1)

单调区间为:(6k?1,6k+1) (k?Z) 13.比较大小:1?tan(? 解:tan(? ∵?
9? ? )=tan 5 5 9? 12? )与tan 5 5

tan

12? 2? = tan 5 5

? ? 2? ? < < < 且y=tanx在此区间内单调递增 2 5 2 5 ? 2

2?若?, ?为锐角且cot?>tan?,比较?+?与 的大小。 解:cot?= tan( ∵cot?>tan? ∵0< ??< ∴
? ??>? 2 ? 2 ? 2 ? ??) 2

∴tan( ??)>tan? 0<?< 且y=tanx在此区间内递增 ∴?+?<
? 2 ? 2

? 2

14.求函数f (x)= 解:f (x)=

1 的最小正周期。 tan x ? cot x

1 1 2 sin x cos x sin 2 x 1 ? ? ? ? ? tan 2 x sin x cos x sin2 x ? cos2 x ? 2(cos2 x ? sin2 x) ? 2 cos 2 x 2 ? cos x sin x sin x cos x

∴最小正周期T=

? 2

三、作业:见《导学?创新》

第四十一教时
教材:复习已知三角函数值求角 目的:要求学生对反正弦、反余弦、反正切函数的认识更加深,并且能较正确的 根据三角函数值求角。 过程: 二十四、 复习:反正弦、反余弦、反正切函数 已知三角函数值求角的步骤 三十六、 例题: 5 3? 例三、1?用反三角函数表示 sin x ? ? , x ? (?, ) 中的角 x 6 2

2?用反三角函数表示 tan x ? 5, x ? (3?, 解:1? ∵ ? ? x ?
3? 2

? ? ?? x ? 0 2 5 5 又由 sin x ? ? 得 sin( ? ? x ) ? ? 6 6 5 5 n ∴ ? ? x ? arcsin( ? ) ∴ x ? ? ? a r c s i? ( ) 6 6 7? ? 2? ∵ 3? ? x ? ∴ 0 ? x ? 3? ? 2 2

7? ) 中的角 x 2

∴?

又由 tan x ? 5

得 tan(x ? 3?) ? 5

5 ∴ x ? 3? ? arctan 5 ∴ x ? 3? ? a r c t a n x ? 1 例四、已知 cos( ? ) ? ? ,求角 x 的集合。 2 3 2 x ? 1 x ? 2? (k ? Z ) 解:∵ cos( ? ) ? ? ∴ ? ? 2k? ? 2 3 2 2 3 3 x ? 2? 2? (k ? Z ) 由 ? ? 2k? ? 得 x ? 4k? ? 2 3 3 3 x ? 2? 由 ? ? 2k? ? 得 x ? 4k? ? 2?(k ? Z ) 2 3 3 2? 或x ? 4k? ? 2?, k ? Z } 故角 x 的集合为 {x | x ? 4k? ? 3 例三、求 arctan 1 ? arctan 2 ? arctan 3 的值。 解:arctan2 = ?, arctan3 = ? 则 tan? = 2, tan? = 3 ? ? ? ? ??? 且 ??? , 4 2 4 2

? ∴ t a n (? ?) ?

t an ?t an ? ? 2?3 ? ? ?1 1? t a n t a n 1? 2?3 ? ?

? ? ??? ? ? 2 ? 又 arctan1 = 4



∴? + ? =

3? 4

∴ arctan 1 ? arctan 2 ? arctan 3 = ?
? 2? ?x? )的值域 3 3

例四、求 y = arccos(sinx), ( ? 解:设 u = sin x ∵?

? 2? ?x? 3 3

∴?

3 ? u ?1 2
5? ] 6

s n ∴ 0 ? a r c c o s ( x)i ?

5? 6

∴所求函数的值域为 [0,

三、作业: 《导学



创新》


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