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数学(文)一轮教学案:第十章第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系 Word版含解析


第 4 讲 直线与圆锥曲线的位置关系 考纲展示 命题探究 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 1 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时, 通常将直线 l 的方程 Ax +By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0, 消去 y(或 x)得到一个关于变量 x(或 y)的一元二次方程. ? ?Ax+By+C=0, 即? 消去 y 得 ax2+bx+c=0. ?F?x,y?=0, ? (1)当 a≠0 时, 设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ, 则 Δ>0?直线与圆锥曲线 C 相交; Δ=0?直线与圆锥曲线 C 相切或相交; Δ<0?直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,得到一个一元一次方程,则直线 l 与圆锥 曲线 C 相交,且只有一个交点,此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双 曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线 的对称轴的位置关系是平行或重合. 2 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立, 消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2+bx+c=0(或 ay2+by+c=0). (2)当 Δ>0 时,直线与圆锥曲线有两个交点 A(x1,y1),B(x2,y2), b c 由根与系数的关系求出 x1+x2=-a,x1x2=a,则弦长为|AB|= 1+k2 |x1 - x2| = 1+k2 · ?x1+x2?2-4x1x2 = 1 1+k2 |y1 - y2| = 1 1+k2· ?y1+y2?2-4y1y2(k 为直线的斜率且 k≠0),当 A,B 两点坐 标易求时也可直接用|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2求出. 3 圆锥曲线以 P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率 圆锥曲线方程 x2 y2 椭圆:a2+b2=1(a>0,b>0) x2 y2 双曲线:a2-b2=1(a>0,b>0) 抛物线:y2=2px(p>0) 直线斜率 b2x0 k=a2y 0 b2x0 k=a2y 0 p k=y 0 y1-y2 其中 k= (x ≠x ),(x1,y1),(x2,y2)为弦的端点坐标. x1-x2 1 2 注意点 直线与圆锥曲线的相切与只有一个公共点的关系 直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条 件,而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点,只是直线与双曲线(抛 物线)相切的必要不充分条件. 1.思维辨析 (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是: 直线 l 与椭圆 C 只有一个 公共点.( 一个公共点.( 一个公共点.( ) ) ) ) (2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是: 直线 l 与双曲线 C 只有 (3)直线 l 与抛物线 C 相切的充要条件是: 直线 l 与抛物线 C 只有 (4)如果直线 x=ty+a 与圆锥曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两 点,则弦长|AB|= 1+t2|y1-y2|.( (5)若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的两点, 则需满足直线 l 与 抛物线 C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式 Δ>0.( 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× ) 2.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与 3 a 线段 AB 中点的直线的斜率为 2 ,则b的值为( 3 A. 2 9 3 C.

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