2019届一轮复习人教B版 数列求和 学案

第 31 讲 数列求和 考纲要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的 几种常见方法. 考情分析 2016· 全国卷Ⅱ， 17 2016· 江苏卷，18 2016· 北京卷，12 分值：5 分 命题趋势 利用公式求数列的 前 n 项和，利用常见求 和模型求数列的前 n 项 和. 1．公式法与分组求和法 (1)公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和． ①等差数列的前 n 项和公式： n?a1＋an? n?n－1? Sn＝ ＝__na1＋ d__. 2 2 ②等比数列的前 n 项和公式： na ，q＝1， ? ? 1 Sn＝?a1－anq a1?1－qn? ＝ __ __，q≠1. ? 1－q ? 1－q (2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成， 则求和时可用分组求 和法分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法， 如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的． (2)并项求和法 在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差， 在求和时中间的一些项可以相互抵消， 从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ① ② ③ ④ 1 1 1 ＝ － . n?n＋1? n n＋1 1 ? 1 1 1 ＝ ? － . n?n＋2? 2?n n＋2? 1 1 1 1 ＝ ?2n－1－2n＋1?. ? ?2n－1??2n＋1? 2? ＝ n＋1－ n. n＋ n＋1 1 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么这个 数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的． 1．思维辨析(在括号内打“√”或“× ”)． n?a1＋an? (1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前 n 项和时使用公式 Sn＝ 较为合 2 理．( √ ) a1－an＋1 (2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn＝ .( √ ) 1－q 1 1 1 (3)当 n≥2 时， 2 ＝ － .( × ) n －1 n－1 n＋1 (4)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法 求得．( × ) (5) 如果数列 {an} 是周期为 k 的周期数列，那么 Skm ＝ mSk(m ， k 为大于 1 的正整 数)．( √ ) 解析 (1)正确．根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知． (2)正确．根据等比数列的求和公式和通项公式可知． (3)错误．直接验证可知 1 1 1 1 ＝ ?n－1－n＋1?. ? n －1 2? 2 (4)错误．含有字母的数列求和常需要分类讨论，此题需要分 a＝0，a＝1，以及 a≠0 且 a≠1 三种情况求和，只有当 a≠0 且 a≠1 时才能用错位相减法求和． (5)正确．根据周期性可得． 1? 2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝