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贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷(三)文科数学-答案


贵阳第一中学 2015 届高考适应性月考卷(三) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.由图可以得到阴影部分表示的集合为 ?A ( A 故选 A. 2.
B) , A
B ={2,3,4,5},则 ?A ( A

1 A

2 D

3 C

4 C

5 B

6 A

7 A

8 B

9 B

10 C

11 B

12 D

B) ={1},

x 1 ? ( x ? xi) ? 1 ? yi, ∴x ? 2, y ? 1 ,故选 D. 1? i 2

3.命题的否定和否命题的区别:对命题的否定只是否定命题的结论,而否命题,既否定假设, 又否定结论.A 选项对命题的否定是:任意 x ? R ,使得 e x ? 0 ;B 选项对命题的否定是: 任意 x ? R ,均有 x 2 ? 1≥0 ;D 选项则命题 p 与 q 也可能都是假命题,故选 C. 4.因为 log 2 3 ? 1 ? log3 2 ,所以 M ? ab ? 1 ? log2 3 log3 2 ? 1 ? 2 ,故选 C.
1 ? 1 ? 5.由题意可得 y ? 2sin ? 3 x ? π ? 的图象上各个点的横坐标变为原来的 ,可得函数 6 2 ? ?
1 ? 1 ? π ? ? y ? 2sin ? 6 x ? π ? 的图象.再把函数 y ? 2sin ? 6 x ? π ? 的图象向右平移 个单位,即可得 6 ? 6 ? 3 ? ?

? ? π ? π? π? π? ? ? 到 f ( x) ? 2sin ?6 ? x ? ? ? ? ? 2sin ? 6 x ? 2π ? ? ? 2sin ? 6 x ? ? 的图象,故选 B. 3 6 6 6 ? ? ? ? ? ? ? ?

6.在等差数列 {an } 中,因为 a1 ? 3a3 ? a15 ? 10 ,所以 5a1 ? 20d ? 10 ,所以 a5 ? 2 ,故选 A.

1 2 tan ? 3 7.由题意: tan ? ? ? tan 2? ? ? ,由 tan 2? ? y ? 2 3 1 ? tan ? 4

x ? x0

?

1 3 4 ? ? x0 ? ,故选 A. x0 4 3

8.因为 m ? ? , ? // ? ,所以 m ? ? ,又 l ? ? ,所以 m ? l ,①正确; 因为 m ? ? ,? ? ? ,所以 m // ? 或 m ? ? ,又 l ? ? ,所以 m // l 或 m, l 相交或 m, l 互为异 面直线,②不正确; 因为 m ? ? , m ? l ,所以 l // ? 或 l ? ? ,又 l ? ? ,所以 ? // ? 或 ? , ? 相交,③不正确; 因为 m ? ? , m // l ,所以 l ? ? ,又 l ? ? ,所以 ? ? ? ,④正确,故选 B.
文科数学参考答案·第 1 页(共 8 页)

9.此空间几何体是球体切去四分之一的剩余部分,表面积是四分之三的球表面积加上切面面

3 1 积,切面面积是两个半圆面面积.故这个几何体的表面积是 ? 4π ? 12 ? 2 ? ? π ? 12 ? 4π . 4 2
故选 B. 10.画出线性规划图可得最大值在点 (4, 4) 处取得,故 a ? 12 ,最小值在点 (8, 0) 处取得,故
b ? ?8 ,则 a ? b 的值是 4,故选 C.

11.分别过 A、B 作准线 l: x ? ?

p 的垂线,垂足分别为 C、D,设 AB 中点 M 在准线上的射 2

影为点 N,连接 MN,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,根据抛物线的定义,得

1 梯形 ACDB 中,中位线 MN ? (| AC | ? | BD |) ? 2 ,可得 | AF | ? | BF |?| AC | ? | BD |? 4 ,∴ 2 x0 ?
p p p p 线段 AB 的中点 M 到直线 x ? 的距离为 1,可得 x0 ? ? 1 , ? 2 , x0 ? 2 ? ,∵ 2 2 2 2

∴ 2 ? p ? 1 ,解得 p ? 1 或 3,故选 B.

12 . 双 曲 线 Γ :

x2 y 2 b b ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 一 条 渐 近 线 为 y ? x , 设 y ? x 与 函 数 2 a a a b
b ,即 a

y ?1? l n x ? l n 在点 2 x ? x0 处相切,则 y ? 1 ? ln x ? ln 2 在点 x ? x0 处的导数值为

1 b a a b ?a ? ,所以 x0 ? .进而可得在 x0 ? 处函数 y ? x 的值为 1.因为点 ? , x0 a a b b ?b
?a 函数切点,点 ? , ?b

? 1? 为两个 ?

a 1 ? 1? 也 在 函 数 y ? 1 ? lnx ? ln 2 上 , 代 入 可 得 ? , 即 b ? 2a , 又 b 2 ?

c 2 ? a 2 ? b 2 ,可得 c2 ? 5a 2 ,所以 e ? 5 ,故选 D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 13 14
3 2

15 1007

16

1 12

55 4

文科数学参考答案·第 2 页(共 8 页)

【解析】 13 .所有基本事件数为 36 ,其中满足向量 p 与 q 共线的基本事件数为 3 ,故所求概率为

3 1 ? . 36 12
14.因为 a、b 的夹角为 45° ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ,所以 4a 2 ? 4a b ? b2 ? 10 ,即 . b ? 2 2 b ? 6 ? 0 ,解得 b ? 3 2 或 b ? ? 2 (舍) 15.因为定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) f ( x ? 2) ? 2014 ,所以 f ( x ? 4) ? 所以函数 f ( x) 的周期为 4,所以 f (99) ? f (3) ?
2014 ? 1007 . f (1)
2014 ? f ( x) , f ( x ? 2)
2

2 16.由等比数列的性质知 a4 ? a1a7 ? 4 ,又因为各项均为正数,所以 a4 ? 2 .因为 a6 ? 8 ,所以

q ? 2, a1 ?
将x?

1 ,所以 an ? 2n?3 ,又 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ? … ? 10a10 x9 ,其通项公式为 nan xn ?1 , 4

55 1 1 ?1? 1 代入得 nan xn?1 ? n ,所以 f ? ? ? ? (1 ? 2 ? … ? 10) ? . 2 4 4 4 2 ? ?

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 由正弦定理 将上式代入已知 得

a b c 得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C , ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

cos B b , ?? cos C 2a ? c
……………………………………………(2 分)

cos B sin B , ?? cos C 2sin A ? sin C

即 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 ,即 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ,
∵A ? B ? C ? π, ∴sin( B ? C ) ? sin A ,
∴2sin A cos B ? sin A ? 0 ,

…………………………………………………(4 分)

1 ∵sin A ? 0, ∴cos B ? ? , 2
∵B 为三角形的内角,∴B ?

2 π. 3

……………………………………………(6 分)

13 (Ⅱ)由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 13 ? a 2 ? c 2 ? ac≥2ac ? ac ,得 ac≤ , 3
∴ S△ABC ? 当a ?c ?
1 13 3 ac sin B≤ , 2 12 39 13 3 时,△ABC 面积的最大值为 . 3 12

…………………………(12 分)

文科数学参考答案·第 3 页(共 8 页)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)分数在 [50, 60) 的频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 , 由茎叶图知:分数在 [50, 60) 之间的频数为 2, 所以全班人数为

2 ? 25 , 0.08

……………………………………………………(2 分)

∴分数在 [80, 90) 之间的人数为 25 ? 21 ? 4 ,则对应的频率为

4 ? 0.16 . 25

……………………………………………………………………………(3 分) 所以 [80, 90) 间的矩形的高为 0.16 ? 10 ? 0.016 .
80 , 90) (Ⅱ)将 [ [ 0 ,1 0 ] 6, 在8

………………………………(4 分)

之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4, [90, 100] 之间的 2 个分数编号为 5,
(1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (1, 6) , 之间的试卷中任取两份的基本事件为:

(2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6) , (4, 5) , (4, 6) , (5, 6) ,共

15 个.

…………………………………………………………………………(6 分)

其中,至少有一份试卷的分数在 [90, 100] 之间的基本事件有 9 个, 故至少有一份试卷的分数在 [90, 100] 之间的概率是

9 ? 0.6 . 15

…………………(8 分)

(Ⅲ)全班人数共 25 人,根据各分数段人数计算得各分数段的频率为: 分数段 频率
[50, 60)
0.08

[60, 70)
0.28

[70, 80)
0.4

[80, 90)
0.16

[90, 100]
0.08

………………………………………………………………………………(10 分) 所以估计这次测试的平均成绩为:
55 ? 0.08 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.4 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 73.8 .

…………………(12 分)

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 1,连接 EO,OA, ∵E,O 分别为 B1C,BC 的中点,
∴EO∥BB1 .

又 DA∥BB1 ,且 DA ? EO ?

1 BB1 , 2

∴四边形 AOED 是平行四边形, 即 DE∥OA, DE ? 平面ABC ,
∴DE∥平面ABC .
图1

………………………………………………………………(4 分)

文科数学参考答案·第 4 页(共 8 页)

(Ⅱ) 证明:AA1,BB1 为圆柱 OO1 的母线,所以 AB // A1 B1 , 因为 AA1 垂直于圆 O 所在平面,故 AA1 ? AB , 又 BC 是底面圆 O 的直径, 所以 AB ? AC , AC
AA1 ? A ,

所以 AB ? 平面A1 AC ,由 AB // A1 B1 ,所以 A1 B1 ? 平面A1 AC .

…………………(8 分)

(Ⅲ)解:小鱼被捕的概率 P 等于四棱锥 C ? ABB1 A1 与圆柱 OO1 的体积比, 由 DE⊥平面CBB1 ,且由(Ⅰ)知 DE∥OA ,
∴AO⊥平面CBB1 ,∴AO⊥BC ,∴AC ? AB .

因 BC 是底面圆 O 的直径,得 CA⊥AB ,且 AA1⊥CA ,
∴CA⊥平面AA1 B1 B ,即 CA 为四棱锥 C ? ABB1 A1 的高.

1 2 设圆柱高为 h,底半径为 r,则 V柱 ? πr 2 h , V锥 ? h( 2r ) ( 2r ) ? hr 2 , 3 3 ∴V锥∶ V柱 ? 2 2 ,即 P ? . 3π 3π
……………………………………………(12 分)

20. (本小题满分 12 分)
? c 2 ? , ?e ? ? ?a ? 2, 解: (Ⅰ)因为 ? 所以 ? a 2 ? ?a ? c ? 2 ? 1, ?c ? 1, ?
∴b ? 1 ,故椭圆方程为:

…………………………………(2 分)

x2 ? y2 ? 1 . 2

…………………………………………(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 F (1, 0) ,所以 0≤m ? 1 ,假设存在满足题意的直线 l, 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 . 2
4k 2 2k 2 ? 2 , , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
…………………………………………(7 分)

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

∴y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

?2k , 2k 2 ? 1

? 2k 2 k ? , ? 2 设 AB 的中点为 M,则 M ? 2 ?, 2k ? 1 ? ? 2k ? 1

∵ AC ? BC , ∴CM⊥AB ,
文科数学参考答案·第 5 页(共 8 页)

即 kCM k AB ? ?1 ,

……………………………………………………………(10 分)

4k 2 ?2k ∴ 2 ? 2m ? 2 k ? 0 ? (1 ? 2m)k 2 ? m , 2k ? 1 2k ? 1
∴当 0≤m ?
m 1 时, k ? ? ,即存在这样的直线 l; 1 ? 2m 2

1 当 ≤m≤1 时,k 不存在,即不存在这样的直线 l. 2
21. (本小题满分 12 分)

…………………………(12 分)

解: (Ⅰ)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在 [1, ? ?) 上是单调增函数,符合题意;

2 当 a ? 0 时, y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? ? , a

2 由于 y ? f ( x) 在 [1, ? ?) 上是单调增函数,所以 ? ≤ 1, a
解得: a≤ ? 2或a ? 0 ,所以 a ? 0 ; 当 a ? 0 时,不符合题意. 综上,a 的取值范围是 a≥0 . (Ⅱ)把方程 …………………………………………………(4 分)

g ( x) ln x ? f ?( x) ? (2a ? 1) 整理为 ? ax ? 2 ? (2a ? 1) , x x

即 ax2 ? (1 ? 2a) x ? ln x ? 0 , 设 H ( x) ? ax2 ? (1 ? 2a) x ? ln x( x ? 0) ,
?1 ? 原方程在区间 ? , e ? 内有且只有两个不相等的实数根, ?e ? ?1 ? 即为函数 H ( x) 在区间 ? , e ? 内有且只有两个零点. ?e ?

H ?( x) ? 2ax ? (1 ? 2a) ?

1 2ax2 ? (1 ? 2a) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) , ? ? x x x
1 (舍) , 2a

令 H ?( x) ? 0 ,因为 a ? 0 , x ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ? 当 x ? (0, 1) 时, H ?( x) ? 0 ,函数 H ( x) 是减函数; 当 x ? (1, ? ?) 时, H ?( x) ? 0 ,函数 H ( x) 是增函数.
?1 ? H ( x) 在区间 ? , e ? 内有且只有两个零点, ?e ?

文科数学参考答案·第 6 页(共 8 页)

? ?1? ? a 1 ? 2a ? H ? e ? ? 0, ? e 2 ? e ? 1 ? 0, ? ? ? ? ? 只需 ? H ( x) min ? 0, 即 ? H (1) ? a ? (1 ? 2a ) ? 0, ? 2 ? H (e) ? 0, ? ae ? (1 ? 2a )e ? 1 ? 0, ? ? ? ?
? e2 ? e ? 所以 a 的取值范围为 ?1, ?. ? 2e ? 1 ?

? e2 ? e a ? , ? 2e ? 1 ? ? 所以 ?a ? 1, ? 1? e ?a ? 2 , e ? 2e ? ?

…………………………………………(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明:因为 PA 与圆 O 相切于 A , 所以 DA2 ? DB DC , ………………………………………………………(5 分)

因为 D 为 PA 中点,所以 DP=DA, 所以 DP2 ? DB DC ,即

PD DB . ? DC PD

因为 ?BDP ? ?PDC ,所以 △BDP∽△PDC , 所以 ?DPB ? ?DCP . …………………………………………………………(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程是

x2 ? y2 ? 1 . 3
………………………………………(5 分)

直线 l 的普通方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 .

(Ⅱ)设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos? , sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是
3 cos? ? 3 sin ? ? 3 2

d?

π? ? 3 2 sin ?? ? ? ? 1 4? ? . ? 2

π? ? 因为 ? 2≤ 2 sin ? ? ? ?≤ 2 ,所以 4? ? π? π π 3π ? 当 sin ? ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? ? 2kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? 2kπ ? (k ? Z) 时,d 取得最大值. 4? 4 2 4 ?

此时 3 cos ? ? ?

6 2 , sin ? ? ? . 2 2

? 7π ? 6 2? ? 综上,点 M 的极坐标为 ? 2, ? , ? ? 时,该点到直线 l ? 或点 M 的直角坐标为 ? ? 6 ? 2 ? ? ? 2 ?
的距离最大. …………………………………………………………………(10 分)
文科数学参考答案·第 7 页(共 8 页)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 解: (Ⅰ )由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5≥0 , 如图 2,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的图象,知定义域为 (??, ? 2] [3, ? ?) . ………………………………………(5 分) (Ⅱ)由题设知,当 x ? R 时, 恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a≥0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ≥ ? a ,又 x ? 1 ? x ? 2 ≥3 ,
∴? a≤3, ∴a≥ ? 3 .
图2

……………………………………………………………(10 分)

文科数学参考答案·第 8 页(共 8 页)


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