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新课标2013—2014学年度(下册)高一数学单元测试三试题附答案[编辑9页]


新课标 2013—2014 学年度(下册) 高一数学单元测试三试题附答案
[新课标版] 命题范围
(三角函数)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要 求的选项. 1.将分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) A.

? 3

B. ?

?
3

C.

2.已知 ? 是第二象限角,那么 A.第一象限角 C.第二或第四象限角

? 是 2

? 6

D. ?

?
6
( )

B.第二象限角 D.第一或第三象限角
2

3.已知 sin? ? 0, tan? ? 0 ,则 1 ? sin ? 化简的结果为 A. cos? 4.函数 y ? cos(2 x ? A. x ? ? 5.已知 x ? (? A.

( D.以上都不对 (



?
2

B. ? cos?

C. ? cos?

) 的图象的一条对称轴方程是
B. x ? ?



?

?
4

?

2

C. x ?

?
8

D. x ? ? ( D. ? )

3 4

3 ,0) , sin x ? ? ,则当 k ? Z 时, tan( x ? k? ) ? 2 5 3 4 B. ? C. 4 3

6.已知 y ? sin(

?

4 3

6

? x) 的图象向左平移 m 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值为
( )

A.

? 6

B.

7.函数 f ( x) ? A.1

cos x ? sin x 的最小正周期为 cos x ? sin x ? B. C. 2? 2

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
( )

D. ?

1/9

8.函数 y ? ? cos( ? A. ?2k? ?

x 2

?
3

) 的单调递增区间是
B. ?4k? ?





? ?

4 2 ? ? ,2k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? 2 8 ? ? ,2k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ?

? ?

4 2 ? ? ,4k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? 2 8 ? ? ,4k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ?
( )

C. ?2k? ?

? ?

D. ?4k? ?

? ?

9.函数 y ? 2sin( x ?

?
6

) ? 1 , x ? [?

? ?

, ] 的最大值为 2 2
C. 3 D. ?

A.3

B.2

3 ?1 2

10.以下三个命题: (1)对任意实数 a ,在 ? a, a ? ? ? 上函数 y ? sin( x ? ? ) 都能取到最大值 1; 3 (2)若存在非零实数 a ,使 f ( x ? a) ? ? f ( x) 对任意实数 x 恒成立,则 f ( x) 是周期函数; (3)存在 x ? (?

7? 3? , ? ), 使 sin x ? cos x . 4 4
( C.2 D.3 ( C. [?4, 1 )
2

其中正确命题的个数为 A.0 B.1 11.函数 y ?



2sin x cos x 的值域是 1 ? sin x 1 A. (?4, ] B. [?4, 1 ] 2 2

2



D. (?4, 1 )
2

12.若 ?、? 均为锐角,且 2sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,则 ?与? 的大小关系为( A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ? D.不确定



第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把正确答案填在题中的横线上) 13.把函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 先向右平移

? 个单位,然后向下平移 2 个单位后所得的函数解析式为 2
2

_________________________. 14.已知 tan ? ? 2 ,则 1 ? 3 sin ? ? cos? ? 2 cos ? =_______________.

15.函数 y ? 2 sin 3x(

?
6

?x?

5? ) 与函数 y=2 6

的图像围成一个封闭图形,这个封闭图形的 面积是_____________________. 16.给出下列命题:
2/9

①存在实数 ? ,使 sin ? ? cos? ? 1 ②存在实数 ? ,使 sin ? ? cos? ? ③函数 y ? sin( ? ? x) 是偶函数 ④x ?

3 2

?
8

3 2

是函数 y ? sin(2 x ?

5 ? ) 的一条对称轴方程 4

⑤若 ?、? 是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? ⑥若 ?、? ? (

?
2

, ? ) ,且 tan? ? cot ? ,则 ? ? ? ?

3? 2

其中正确命题的序号是___________________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 已知角 ? 终边上一点 P(-4,3) ,求 的值. 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

18. (本小题满分 12 分) 判断下列函数的奇偶性: (I) f ( x) ? cos(2? ? x) ? x sin x ;
3

(II) f ( x) ? lg

tan x ? 1 . tan x ? 1

19. (本小题满分 12 分)

3/9

求函数 y ?

2 ? log 1 x ? tan x 的定义域.
2

20. (本小题满分 12 分) 已知 sin x ? cos x ? ? (0 ? x ? ? ) ,求 tan x 的值.

1 5

21. (本小题满分 12 分)
4/9

已知 sin 3 ? ? cos3 ? ? 1 ,求 sin ? ? cos? 的值和 sin 4 ? ? cos 4 ? 的值.

22. (本小题满分 14 分) 如下图为函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? c( A ? 0, ? ? 0, ? ? 0) 图像的一部分.

(I)求此函数的周期及最大值和最小值; (II)求与这个函数图像关于直线 x ? 2 对称的函数解析式.

新课标 2013—2014 学年度(下册)
5/9

高一数学单元测试三试题标准答案
一、选择题(每小题 5 分) 1.选 B.分针每分钟转过的弧度数为 ? 2.选 D.?

?
2

2? ? ? ? ? ,所以 10 分钟转过的弧度数为 ? . 60 30 3

? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,?

?

当 k 为偶数时,

? ? 在是第一象限角,当 k 为奇数时, 在是第三象限角. 2 2
1 ? sin 2 ? ? cos ? ? ? cos ? .

4

? k? ?

?

2

?

?

2

? k? , k ? Z .

3.选 B. ? 是第三象限角,所以,

4.选 B.由 2 x ?

?
2

? k? , k ? Z 得 x ?

k? ? ? ? , k ? Z .当 k ? 0 时, x ? ? . 2 4 4

5.选 B. cos x ?

4 3 , tan( x ? k? ) ? tan x ? ? 5 4

6.选 C. y ? sin(

?

? ? 2? ? ? x) ? ? sin( x ? ) , ? sin( x ? ? ) ? ? sin( x ? ) ? ? cos x . 6 6 6 3 2
cos x ? sin x 1 ? tan x . ? cos x ? sin x 1 ? tan x x ? 2 8 ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,得 4k? ? ? ? x ? 4k? ? ? , (k ? Z ) 2 3 3 3

7.选 D. f ( x) ?

8.选 D.由 2k? ? 9.选 D. ?

?
2

?x?

?
2

,??

?
3

? x?

?
6

?

3 ? 2? ? 1 ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 2 , ? 2 6 3

10 . 选 C. 对 于 (1), y ? sin( x ?

?
3

) 的 周 期 为 2? , 在 其 半 个 周 期 上 不 一 定 有 最 大 值 ; 对 于 (2), 由 于

,所以, 2a 是其周期;对于(3),由三角函数线或正余弦函数的图象可知正 f ( x ? 2 a) ? ? f ( x ? a) ? f ( x) 确. 11.选 A. y ?

2sin x cos 2 x 1 1 ? 2sin x(1 ? sin x) ? ?2(sin x ? ) 2 ? , 1 ? sin x 2 2

1 ? ?1 ? sin x ? 1,? y ? (?4, ] . 2
12.选 A.由由已知, sin ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ,而 sin ? ? sin ? cos ? ,

?sin ? ? cos ? sin ? ,?sin ? ? sin ? .由于 ?、? 均为锐角,所以, ? ? ? .
6/9

二、填空题(每小题 4 分)

2? ? ? ? ? 个 单 位 , 得 y ? sin[2( x ? ) ? ] , 即 ) ? 2 . y ? sin(2 x ? ) 向 右 平 移 3 3 2 3 2 2? 2? y ? sin(2 x ? ) ,再向下平移 2 个单位,得 y ? sin(2 x ? ) ? 2 . 3 3 9 2 2 2 2 14.填 . 1 ? 3sin ? ? cos ? ? 2cos ? ? sin ? ? cos ? ? 3sin ? ? cos ? ? 2cos ? . 5
13 . 填 y ? s i n2(x ?

? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 3sin ? cos ? ?
15.填

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 3sin ? cos ? tan 2 ? ? 1 ? 3tan ? 9 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5

4? .将 x 轴下方的部分平分为二,填补到 x 轴上方,构成一个矩形,求矩形的面积即可. 3

16.填③④⑥. 三、解答题: 17.∵ tan? ?

y 3 ? ? ---------------------------------------------------------------3 分 x 4

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 2 ∴ ----------------------------------10 分 ? 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) ? sin ? ? cos ? 2 2 3 ? tan ? ? ? ----------------------------------------------------------------------------12 分 4
18. (I) f ( x) 的定义域为 R,关于原点对称.------------------------------------------2 分 又 f ( x) ? cos x ? x sin x, ------------------------------------------3 分
3

?

? f (? x) ? cos(? x) ? (? x)3 sin(? x) ? cos x ? x3 sin x ------------------5 分

? f ( x)
所以, f ( x) 为偶函数.--------------------------------------------------------------------6 分 (II)由

(k? ?

?

tan x ? 1 ? 0 得 tan x ? 1 或 tan x ? ?1 .故函数的定义域为 tan x ? 1

, k? ? ) ? (k? ? , k? ? ), k ? Z -------------------------------------8 分 2 4 4 2
tan(? x) ? 1 tan x ? 1 ---------------------------------------------10 分 ? lg tan(? x) ? 1 tan x ? 1

?

?

?

又 f (? x) ? lg

? lg(

tan x ? 1 ?1 tan x ? 1 ) ? ? lg ? ? f ( x) . tan x ? 1 tan x ? 1

所以, f ( x) 为奇函数.-------------------------------------------------------------------12 分

7/9

19.由 ?

?2 ? log 1 x ? 0 ? 2 ? tan x ? 0 ?

,-------------------------------------------2 分

0? x?4 ? ? 得? ,--------------------------------------7 分 ? ?k? ? x ? k? ? 2 (k ? Z ) ?
即0 ? x ?

?
2

, 或 ? ? x ? 4 .---------------------------------------11 分

所以函数的定义域为 (0,

?
2

) ? ?? , 4? .--------------------------------12 分

20.∵ sin x ? cos x ? ? (0 ? x ? ? ) 故 cos x ? 0 ------------------------1 分

1 5

24 -------------------------------------------------3 分 25 49 2 ∴ (sin x ? cos x) ? 1 ? 2 sin x cos x ? ---------------------------------------5 分 25 而 sin x ? cos x ? 0 7 ∴ sin x ? cos x ? --------------------------------------------------------------------7 分 5 1 与 sin x ? cos x ? ? 联立解得 5 3 4 sin x ? , cos x ? ? -------------------------------------------------------------------10 分 5 5 sin x 3 ∴ tan x ? ? ? -----------------------------------------------------------------12 分 cos x 4
两边平方得, 2 sin x cos x ? ?

21.设 sin ? ? cos? ? t , 则

? sin ? ? cos ? ?

2

? t 2 , ? sin ? cos ? ?

t 2 ?1 .----------3 分 2

?sin 3 ? ? cos3 ? ? (sin ? ? cos? )(1 ? sin ? cos? )

? t (1 ?

t 2 ?1 ) ? 1 .---------------------------------------------------------5 分 2

?t 3 ? 3t ? 2 ? 0,? (t ? 2)(t ? 1) 2 ? 0 .由于 t ? 2 ? 0,?t ? 1 .即 sin? ? cos? ? 1 .-----8 分

? sin ? cos ? ?

t 2 ?1 ? 0 .---------------------------------------------------10 分 2

? sin 4 ? ? cos4 ? ? (sin 2 ? ? cos2 ? )2 ? 2sin 2 ? cos 2 ?

? 1 ? 0 ? 1 .---------------------------------------------------------------12 分

8/9

22. (I)由图可知,从 4~12 的的图像是函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? c( A ? 0, ? ? 0, ? ? 0) 的三分之二个周 期的图像,------------------------------------------------------------2 分

1 ( 4 ? 2) ? 3 2 所以 ,------------------------------------------------------------4 分 1 c ? ( 4 ? 2) ? 1 2 A?
故函数的最大值为 3,最小值为-3-----------------------------------------------6 分 ∵

2 2? ? ? 8 --------------------------------------------------------------------------6 分 3 ?

∴ ??

?

∴ T ? 12 ------------------------------------------------------------------------------8 分 把 x=12,y=4 代入上式,得 ? ?

6

?

2

-------------------------------------------------9 分

所以,函数的解析式为: y ? 3 cos

?
6

x ?1

(II)设所求函数的图像上任一点(x,y)关于直线 x ? 2 的对称点为( x ?, y ? ) ,则

x? ? 4 ? x, y ? ? y -------------------------------------------------------------11 分
代入 y ? 3 cos

?
6

x ? 1 中得

2? ?x y ? 3 cos( ? ) ? 1 -----------------------------------------------------13 分 3 6
∴ 与函数 y ? 3 cos

?

2? ?x y ? 3 cos( ? ) ? 1 ----------------------------------------------------14 分 3 6

6

x ? 1 的图像关于直线 x ? 2 对称的函数解析式为:

9/9


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