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江西省高安中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题 文

江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期末考试 高一年级文科数学试题
一.选择题 (本大题共 12 小题,每小题5分,共 60 分) 1.不等式 x( x ? 2) ? 0 的解集为( A. {x | x ? 0或x ? ?2} C. {x | 0 ? x ? 2} 2. 数列 1, ? , ) B. {x | ?2 ? x ? 0} D. {x | x ? 0或x ? 2}

5 7 9 , ? ,.... 的一个通项公式是( ) 8 15 24 n ?1 2n ? 1 n ?1 2n ? 1 (n ? N ? ) (n ? N ? ) A. an ? (?1) B. an ? (?1) 2 n ?n n 2 ? 3n n ?1 2n ? 1 n ?1 2n ? 1 (n ? N ? ) (n ? N ? ) C. an ? (?1) D. an ? (?1) 2 n ? 2n n 2 ? 2n
3. 设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则( A. ac ? bc B. ) C. a ? b
2 2 2

1 1 ? a b

D. a ? b
3

3

4. 在等差数列 ?an ? 中, a2 , a10 是方程 2 x ? x ? 7 ? 0 的两根,则 a6 等于 ( A. 1 2 1 B. 4
3 则 sin 2? ? ( 3 2 B. ? 9

).

7 C.- 2 ) C.
2 9

7 D.- 4

5. sin ? ? cos ? ? A. ?
2 3

D. ) D.6

2 3

9 1 2 6. 在等比数列中,a1= ,an= ,q= ,则项数 n 为( 8 3 3 A.3 B.4 C.5
3

a ? 2b x?3 7.已知不等式 >0 的解集为 (?1,3) ,那么 =( ax ? b 3b 2 a
3

)

A.3 8.若

B. ?

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan 2? ? ( sin ? ? cos ? 2 3 3 A. B. ? 4 4

1 3

C.-1 ) C. ?

D.1

3 5

D.

3 5


9. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 的对边分别为 a 、 b 且 A ? 2 B , sin B ? A.
3 5

4 a ,则 的值是( 5 b

B.

6 5

C.

4 3

D.

8 5
1

10. 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 数n ( )

n ?1 1 (n ? N ? ) ,设 ?an ? 的前 n 项积为 s n ,则使 sn ? 成立的自然 n?2 32

A.有最大值 62 11.已知 cos ? ?

B.有最小值 63

C.有最大值 62

D.有最小值 31 )

1 ? 13 , cos( ? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? , ? ? ( 7 2 14
B.

A.

? 4

? 6

C.

? 3

D.

5 ? 12
) D.1830

12.已知数列 ?an ? 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1, 则 ?an ? 的前 60 项和为( A.3690 B.3660 C.1845

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.不等式

( x ? 3)( x ? 2) ? 0 的解集为___________. x ?1
2 2

14.已知等差数列{an}的首项 a1=20,公差 d=-2,则前 n 项和 Sn 的最大值为________. 15.函数 f ( x ) = sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 .

16. 如图,从玩具飞机 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯 角分别为 67°,30°,此时气球的高是 46 m,则河流的宽度 BC 约
第 16 题图

等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3≈1.73) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)当 a 为何值时,不等式 (a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集是全体实数?
2 2

18.(本小题满分 12 分) 已知 x ? 0, y ? 0, 且 (1) xy 的最小值;(2) x ? y 的最小值.

2 8 ? ? 1 ,求: y x

19.( 本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (1) 求 an 及 Sn ;

2

(2) 求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn . ? Sn ?

20.(本小题满分 12 分)已知错误!未找到引用源。. (1)求角错误!未找到引用源。的大小; (2)如果错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 ,求错误!未找到引用源。的面积.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a∈R, ? ? (? (1)当 a ?

? ?

, ) 2 2

2, ? ?

?
4

时,求 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a,θ 的值.

?

2

22.(本小题满分 12 分)设各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 10, a3 ? a5 ? 40. bn ? log2 an (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 c1 ? 1, cn?1 ? cn ?

bn ,求证: cn ? 3 ; an
1 1 1 k ? ? ?????? ? ? 对任意正整数 n 均成立?若存在,求 bn ? 1 bn ? 2 bn ? n 10

(3)是否存在正整数 k,使得

出 k 的最大值,若不存在,说明理由.

江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期末考试 高一年级文科数学试答案

3

1 题号 A

2 D

3 D

4 B

5 A

6 B

7 B

8 A

9 B

10 B

11 C

12 D

选项 13 (?1,1) ? (3, ??) 14. 110 15 .8 16.60 17 若 a=1,则原不等式为-1<0,恒成立;????.2 分 1 .若 a=-1,原不等式为 2x-1<0,即 x< ,不符合题目要求,舍去.????.4 分 2 2 (2) 当 a - 1≠0 , 即 a≠±1 时 , 原 不 等 式 的 解 集 是 全 体 实 数 的 条 件 是 2 ?a -1<0, ? ? ????6 分 2 2 ?Δ =(a-1) +4(a -1)<0, ? 3 解得- <a<1. ????.9 分 5 3 综上所述,当- <a≤1 时,原不等式的解集是全体实数.????.10 分 5 18.解:(1)∵x>0,y>0, ∴xy=2x+8y≥2 16xy 即 xy≥8 xy,∴ xy≥8, 即 xy≥64. ????4 分 当且仅当 2x=8y 即 x=16,y=4 时,“=”成立.????5 分 ∴xy 的最小值为 64????6 分 (2)∵x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 2 8 ∴2x+8y=xy,即 + =1.

y x

2 8 2x 8y ∴x+y=(x+y)?( + )=10+ + ≥10+2

y x

y

x

2x 8y ? =18????10 分

y

x

2x 8y 当且仅当 = ,即 x=2y=12 时“=”成立.

y

x

∴x+y 的最小值为 18. ????12 分 19. (1)解得 a1 ? 3 , d ? 2 ,???.2 分 所以 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1 ;????.3 分

S n ? 3n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 2n .????.6 分 2

(2)由(Ⅰ)可知, Sn ? n2 ? 2n ,所以 所以 Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ?L ? ? S1 S2 S3 Sn?1 Sn

4

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ? 1 n n ? 2 1 ? 1? 1 1 1 ? 3 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? .???.12 分 ?? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 4 2 ? n ?1 n ? 2 ?

20.解: (1)因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,????????3 分 又因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。?????????5 分 (2)因为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。????6 分 由正弦定理错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。??????????????7 分 因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。??????????????8 分 解得错误!未找到引用源。 ,因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用 源。??????????????10 分 故△ABC 的面积错误!未找到引用源。????????????????12 分 π 21.解:(1)当 a= 2,θ = 时, 4

f(x) = sin ?x+ ? + 2cos ?x+ ? = 4 2

? ?

π?

?

? ?

π?

?

2 2 2 (sin x+cos x) - 2sin x = cos x - sin x = sin 2 2 2

?π -x?,??????.3 分 ?4 ? ? ?
π ? 3π π ? 因为 x∈[0,π ],从而 -x∈?- , ?,???????4 分 4? 4 ? 4 故 f(x)在[0,π ]上的最大值为 π? ? ?f? ? 2 ?=0, ? ? (2)由? ? ?f?π ?=1
? ?cos θ ?1-2asin θ ?=0, 得? 2 ? ?2asin θ -sin θ -a=1.

2 ,最小值为-1????.6 分 2

??????7 分.

? π π? 又 θ ∈?- , ?知 cos θ ≠0, ? 2 2?
a=-1, ? ? 解得? π θ =- . ? 6 ?
????.12 分

22.解:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0),
? ?a1+a1q =10 由题意有? 2 4 ?a1q +a1q =40 ?
2



∴a1=q=2,∴an=2 , ∴bn=n. ????3 分. (2)∵c1=1<3,cn+1-cn= n,????4 分. 2 1 2 n- 1 当 n≥2 时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+?+(c2-c1)+c1=1+ + 2+?+ n-1 , 2 2 2
5

n

n

1 1 1 2 n-1 ∴ cn= + 2+ 3+?+ n . 2 2 2 2 2 1 1 n-1 n+ 1 相减整理得:cn=1+1+ +?+ n-2- n-1 =3- n-1 <3, 2 2 2 2 故 cn<3. ????7 分. (3)令 f(n)= = 1 + 1 1

bn+1 bn+2
+?+ 1 2n



1

+?+

1

bn+n

n+1 n+2

1 1 1 ∵f(n+1)-f(n)= + - 2n+1 2n+2 n+1 = 1 1 - >0, 2n+1 2n+2

∴f(n+1)>f(n). ∴数列{f(n)}单调递增, 1 ∴f(n)min=f(1)= . 2

k 1 由不等式恒成立得: < , 10 2
∴k<5. 故存在正整数 k,使不等式恒成立,k 的最大值为 4????12 分.

6