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江苏省启东中学高中数学必修四:第二章+教案+第9课时2.4+向量的数量积(2)+【KS5U+高考】 (1)


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第 9 课时 §2.4 向量的数量积(2)
【教学目标】
一、知识与技能 (1)掌握平面向量数量积运算规律; (2)能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; (3)掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 二、过程与方法 让学生充分经历,体验数量积的运算律以及解题的规律 三、情感、态度与价值观 通过师生互动,自主探究,交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流

【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 【教学过程】 一、复习:
(1)两个非零向量夹角的概念;: (2)平面向量数量积(内积)的定义; (3)“投影”的概念; (4)向量的数量积的几何意义; (5)两个向量的数量积的性质。

二、新课讲解:
1.交换律: a ? b ? b ? a 证:设 a , b 夹角为 ? ,则 a ? b ? | a | ? | b | ? c o s ? , b ? a ? | b | ? | a | ? c o s ? ∴a ?b ? b ?a . 2. ( ? a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? ( ? b ) 证:若 ? ? 0 , ( ? a ) ? b ? ? | a || b | c o s ? ,
? ( a ? b ) ? ? | a || b | c o s ? , a ? ( ? b ) ? ? | a || b | c o s ? ,

若 ? ? 0 , ( ? a ) ? b ? | ? a || b | c o s ( ? ? ? ) ? ? ? | a || b | ( ? c o s ? ) ? ? | a || b | c o s ? ,
? ( a ? b ) ? ? | a || b | c o s ? ,
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a ? ( ? b ) ? | a || ? b | c o s ( ? ? ? ) ? ? ? | a || b | ( ? c o s ? ) ? ? | a || b | c o s ?

. A ?
2

3. ( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c . 在平面内取一点 O ,作 O A ? a , A B ? b , O C ? c , ∵ a ? b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a , b 在 c 方向上的投影和, 即: | a ? b | c o s ? ? | a | c o s ? 1 ? | b | c o s ? 2 ∴ | c || a ? b | c o s ? ? | c || a | c o s ? 1 ? | c || b | c o s ? 2 , ∴ c ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b 即: ( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c . O

b

B

?1

a

? A
1

c

B
1

C

三、例题分析:
例 1、已知 a 、 b 都是非零向量,且 a ? 3 b 与 7 a ? 5 b 垂直, a ? 4 b 与 7 a ? 2 b 垂直,求 a 与 b 的夹角.
? ? ? ?

例 2、 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.

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例 3、已知 a , b 是两个非零向量,且 | a | = | b | ? | a ? b | ,求 b 与 a ? b 的夹角

例 4 、 四 边 形 ABCD

中 ,

? ? ? ? AB ? a , BC ? b , CD ? c , DA ? d , 且

? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? b ?c ? c ?d ? d ?a ,

试问四边形 ABCD 是什么图形?

例 5、如图, A D , B E , C F 是 ? A B C 的三条高,求证: A D , B E , C F 相交于一点。

A E F H C

B

D

例 6、已知 a 与 b 的夹角为 60 ? ,且 | a | ? | b | ,是否存在满足条件的 a , b 使 | a ? b |? 2
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| a ? b | ?请说明理由。

四、课时小结:1.向量数量积的概念; 2.向量数量积的几何意义; 3.向量数量积的性质; 4、平面向量数量积的运算律 五、反馈练习: 1.已知 | a | ? 1 , | b | ?
?
?

?

?

? ? ? ? ? 2 ,且 ( a ? b ) 与 a 垂直,则 a ? b 的夹角是


?

2.已知 | a | ? 2 , | b | ? 1 , a 与 b 之间的夹角为 3.已知向量 a 、 b 的夹角为 4.已知| a |=1,| b |= 2 , (1)若 a ∥ b ,求 a · b ;
?
3

?
3

,那么向量 m ? a ? 4 b 的模为

?



,| a |=2,| b |=1,则| a + b |·| a - b |=

(2)若 a 、 b 的夹角为 60 ,求| a + b |

0

(3)若 a - b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角.

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0 5.设 m 、 n 是两个单位向量,其夹角为 60 ,求向量 a ? 2 m ? n 与 b ? 2 n ? 3 m 的夹角.

?

?

?

?

6.对于两个非零向量 a 、 b ,求使| a +t b |最小时的 t 值,并求此时 b 与 a +t b 的夹角.

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