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2015-2016学年江苏省南京市高淳区八年级(上)期末数学试卷

2015-2016 学年江苏省南京市高淳区八年级(上)期末数学试卷
一、选择题(每小题 2 分,计 12 分.将正确答案的序号填写在下面的表格中) 1. (2 分)下列图形中,不是轴对称图形的是( A.线段 B.等腰三角形 C.圆 D.平行四边形 ) )

2. (2 分)16 的平方根是( A.4 B.﹣4 C.±4 D.±2

3. (2 分)已知一个样本含有 30 个数据,这些数据被分成 4 组,各组数据的个 数之比为 2:4:3:1,则第三小组的频数和频率分别为( A.12、0.3 B.9、0.3 C.9、0.4 D.12、0.4 4. (2 分)一次函数 y=2x+1 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限 )

5. (2 分)小明从家出发,外出散步,到一个公共阅报栏看了一会报后,继续散 步了一段时间,然后回家.如图描述了小明在散步过程中离家的距离 s(米)与 离家后所用时间 t(分)之间的函数关系.则下列说法中错误的是( )

A.小明看报用时 8 分钟 B.小明离家最远的距离为 400 米 C.小明从家到公共阅报栏步行的速度为 50 米/分 D.小明从出发到回家共用时 16 分钟 6. (2 分)如图,已知一次函数 y=ax+b 的图象为直线 l,则关于 x 的不等式 ax+b <1 的解集为( )

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A.x<0

B.x>0C.x<1 D.x<2

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 7. (2 分)比较大小: 2.

8. (2 分) 一只不透明袋子中装有 1 个白球和 2 个红球, 每个球除颜色外都相同, 将球摇匀.从中任意摸出 1 个球,摸到红球的概率记为 P1,摸到白球的概率记 为 P2,则 P1 P2. (填“>”、“<”或“=”)

9. (2 分)在直角三角形中,若两条直角边长分别为 6cm 和 8cm,则斜边上的中 线为 cm.

10. (2 分)某图书馆有 A、B、C 三类图书,它们的数量用如图所示的扇形统计 图表示,若 B 类图书有 37.5 万册,则 C 类图书有 万册.

11. (2 分)如图,在△ABC 中,AC=BC.把△ABC 沿着 AC 翻折,点 B 落在点 D 处,连接 BD.如果∠CBD=10°,则∠BAC 的度数为 °.

12. (2 分)一次函数 y=mx+3 的图象与一次函数 y=x+1 和正比例函数 y=﹣x 的图 象相交于同一点,则 m= .
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13. (2 分) 已知点 P ( a, b) 在一次函数 y=2x﹣1 的图象上, 则 2a﹣b+1=



14. (2 分)一次函数 y=2x 的图象沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度,则平移后的 图象所对应的函数表达式为 .

15. (2 分)如图,平面直角坐标系内有一点 A(3,4) ,O 为坐标原点.点 B 在 y 轴上,OB=OA,则点 B 的坐标为 .

16. (2 分)如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边 AC 沿 CE 翻折,使 点 A 落在 AB 上的点 D 处;再将边 BC 沿 CF 翻折,使点 B 落在 CD 的延长线上的 点 B′处,两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F,则线段 B′F 的长为 .

三、解答题(本大题共 9 小题,共 68 分) 17. (4 分)计算: +(π﹣1)0+ .

18. (6 分)某批乒乓球的质量检验结果如下: 抽取的乒乓球 数n 优等品频数 m 优等品频率 (1)a= 47 a ,b= 95 0.95 ; 189 b 478 0.956 948 0.948 1426 0.951 1898 0.949 50 100 200 500 1000 1500 2000

(2)在图中画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图; (3)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是
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19. (7 分)为了解某种电动汽车的性能,对这种电动汽车进行了抽检,将一次 充电后行驶的里程数分为 A, B, C, D 四个等级, 其中相应等级的里程依次为 200 千米,210 千米,220 千米,230 千米,获得如下不完整的统计图.根据以上信 息,解答下列问题: (1)补全条形统计图; (2)扇形统计图中 D 等级对应的扇形的圆心角是多少度? (3)如果该厂年生产 5000 辆这种电动汽车,估计能达到 D 等级的车辆有多少 台?

20. (7 分)已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D,E 在边 BC 上,且 BD=CE.求 证:∠ADE=∠AED.

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21. (8 分)如图,平面直角坐标系中,一次函数 y=﹣2x+1 的图象与 y 轴交于点 A. (1)若点 A 关于 x 轴的对称点 B 在一次函数 y= x+b 的图象上,求 b 的值,并 在同一坐标系中画出该一次函数的图象; (2)求这两个一次函数的图象与 y 轴围成的三角形的面积.

22. (8 分)如图,Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点 O 是 BC 的中点,如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,并在移动过程中始终保持 AN=BM. (1)求证:△ANO≌△BMO; (2)求证:OM⊥ON.

23. (8 分)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°. (1)作∠BAC 的平分线,交 BC 于点 D; (要求:尺规作图,不写作法,保留作 图痕迹) (2)在(1)的条件下,若 BD=5,CD=3,求 AC 的长.

24. (10 分)如图①所示,某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地,假设列车 匀速行驶.如图②表示列车离乙地路程 y(千米)与列车从甲出发后行驶时间 x
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(小时)之间的函数关系图象. (1)甲、丙两地间的路程为 千米;

(2)求高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式,并写出 x 的 取值范围; (3)当行驶时间 x 在什么范围时,高速列车离乙地的路程不超过 100 千米.

25. (10 分)已知,点 M、N 分别是正方形 ABCD 的边 CB、CD 的延长线上的点, 连接 AM 、 AN 、 MN ,∠ MAN=135°. (友情提醒:正方形的四条边都相等,即 AB=BC=CD=DA;四个内角都是 90°,即∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°) (1)如图①,若 BM=DN,求证:MN=BM+DN. (2)如图②,若 BM≠DN,试判断(1)中的结论是否仍成立?若成立,请给予 证明;若不成立,请说明理由.

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2015-2016 学年江苏省南京市高淳区八年级(上)期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 2 分,计 12 分.将正确答案的序号填写在下面的表格中) 1. (2 分) (2015 秋?南京期末)下列图形中,不是轴对称图形的是( A.线段 B.等腰三角形 C.圆 D.平行四边形 )

【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:A、线段是轴对称图形; B、等腰三角形是轴对称图形; C、圆是轴对称图形; D、平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形. 故选 D. 【点评】掌握好轴对称的概念. 轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.

2. (2 分) (2015?高淳县一模)16 的平方根是( A.4 B.﹣4 C.±4 D.±2



【分析】根据平方根定义求出即可. 【解答】解:16 的平方根是±4, 故选 C. 【点评】本题考查了平方根的应用,注意:一个正数有两个平方根,它们互为相 反数.

3. (2 分) (2015 秋?南京期末)已知一个样本含有 30 个数据,这些数据被分成 4 组, 各组数据的个数之比为 2: 4: 3: 1, 则第三小组的频数和频率分别为 ( A.12、0.3 B.9、0.3 C.9、0.4 D.12、0.4 【分析】根据比例关系由频数=总数×频率即可得出第三小组的频数,进而得出 它的频率.
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【解答】解:∵一个样本含有 30 个数据,这些数据被分成 4 组,各组数据的个 数之比为 2:4:3:1, ∴第三小组的频数为:30× ∴第三小组的频率分别为: 故选:B. 【点评】 此题考查了频数与频率,一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频 数, 频数与数据总数的比值为频率.频率反映了各组频数的大小在总数中所占的 分量. =9, =0.3.

4. (2 分) (2014?成都校级自主招生)一次函数 y=2x+1 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



【分析】根据 k,b 的符号确定一次函数 y=x+2 的图象经过的象限. 【解答】解:∵k=2>0,图象过一三象限,b=1>0,图象过第二象限, ∴直线 y=2x+1 经过一、二、三象限,不经过第四象限. 故选 D. 【点评】本题考查一次函数的 k>0,b>0 的图象性质.需注意 x 的系数为 1, 难度不大.

5. (2 分) (2015 秋?南京期末)小明从家出发,外出散步,到一个公共阅报栏看 了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家.如图描述了小明在散步过程中离 家的距离 s(米)与离家后所用时间 t(分)之间的函数关系.则下列说法中错 误的是( )

A.小明看报用时 8 分钟 B.小明离家最远的距离为 400 米
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C.小明从家到公共阅报栏步行的速度为 50 米/分 D.小明从出发到回家共用时 16 分钟 【分析】根据函数图象,从转折点考虑得到信息判断即可. 【解答】解:A、小明看报用时 8﹣4=4 分钟,错误; B、小明离家最远的距离为 400 米,正确; C、小明从家到公共阅报栏步行的速度为 50 米/分,正确; D、小明从出发到回家共用时 16 分钟,正确; 故选 A. 【点评】 本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表 示的意义,理解问题的过程,通常从函数图象考虑信息.

6. (2 分) (2015 秋?南京期末)如图,已知一次函数 y=ax+b 的图象为直线 l,则 关于 x 的不等式 ax+b<1 的解集为( )

A.x<0

B.x>0C.x<1 D.x<2

【分析】观察函数图象,写出在 y 轴右侧的自变量的取值范围即可. 【解答】解:当 x>0 时,ax+b<1, 即不等式 ax+b<1 的解集为 x<0. 故选 B. 【点评】 本题考查了一次函数与一元一次不等式:一次函数与一元一次不等式的 关系从函数的角度看,就是寻求使一次函数 y=kx+b 的值大于(或小于)0 的自 变量 x 的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线 y=kx+b 在 x 轴上(或 下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 7. (2 分) (2015 秋?南京期末)比较大小:
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2.

【分析】首先分别求出

、2 的立方的值各是多少;然后根据实数大小比较的

方法:正实数都大于 0,负实数都小于 0,正实数大于一切负实数,两个负实数 绝对值大的反而小,判断出 关系. 【解答】解: ∵9>8, ∴ >2 . =9,23=8, 、2 的立方的大小关系,即可推得 、2 的大小

故答案为:>. 【点评】 (1)此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关 键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小. (2)解答此题的关键是判断出 、2 的立方的大小关系.

8. (2 分) (2015 秋?南京期末)一只不透明袋子中装有 1 个白球和 2 个红球,每 个球除颜色外都相同,将球摇匀.从中任意摸出 1 个球,摸到红球的概率记为 P1,摸到白球的概率记为 P2,则 P1 > P2. (填“>”、“<”或“=”)

【分析】 由一只不透明袋子中装有 1 个白球和 2 个红球, 每个球除颜色外都相同, 直接利用概率公式求解即可求得 P1 与 P2,继而求得答案. 【解答】解:∵一只不透明袋子中装有 1 个白球和 2 个红球,每个球除颜色外都 相同, ∴从中任意摸出 1 个球,摸到红球的概率为 P1= = , ∴P1>P2. 故答案为:>. 【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总 情况数之比. = ;摸到白球的概率为 P2=

9. (2 分) (2015 秋?南京期末)在直角三角形中,若两条直角边长分别为 6cm
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和 8cm,则斜边上的中线为

5

cm.

【分析】 利用勾股定理求出斜边的长度,然后根据直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半的性质解答. 【解答】解:根据勾股定理得,斜边= ∴斜边上的中线= ×斜边= ×10=5cm. 故答案为:5. 【点评】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定 理,熟记性质是解题的关键. =10cm,

10. (2 分) (2015 秋?南京期末)某图书馆有 A、B、C 三类图书,它们的数量用 如图所示的扇形统计图表示,若 B 类图书有 37.5 万册,则 C 类图书有 册. 45 万

【分析】由图可知 B 类图书占 25%,则可直接求出总图书的册数,再利用 C 类图 书占 30%解答即可. 【解答】解:C 类图书有 37.5÷25%×30%=45 万册, 故答案为:45. 【点评】 本题考查了扇形统计图,关键是根据从扇形图上可以清楚地看出各部分 数量和总数量之间的关系解答.

11. (2 分) (2015 秋?南京期末)如图,在△ABC 中,AC=BC.把△ABC 沿着 AC 翻折,点 B 落在点 D 处,连接 BD.如果∠CBD=10°,则∠BAC 的度数为 40 °.

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【分析】由翻折的性质可知∠BAC=∠DAC,∠ABC=∠ADC,∠CBD=∠CDB=10°, 由等腰三角形的性质可知∠BAC=∠ABC,最后在△ABD 依据三角形的内角和是 180°列方程求解即可. 【解答】解:设∠BAC=x. ∵AC=BC, ∴∠BAC=∠ABC=x. 由翻折的性质可知:∠BAC=∠DAC=x,∠ABC=∠ADC=x,∠CBD=∠CDB=10°. ∵在△ABD 中由勾股定理可知: ∠BAC+∠DAC+∠ABC+∠ADC+∠CBD+∠CDB=180°. ∴4x+20°=180°. 解得:x=40°. 故答案为:40. 【点评】本题主要考查的是翻折变换、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理 的应用,依据翻折的性质和等腰三角形的性质得到∠BAC=∠DAC=∠ABC=∠ADC 是解题的关键.

12. (2 分) (2015 秋?南京期末)一次函数 y=mx+3 的图象与一次函数 y=x+1 和 正比例函数 y=﹣x 的图象相交于同一点,则 m= 5 .

【分析】求得一次函数 y=x+1 和正比例函数 y=﹣x 的图象的交点,代入 y=mx+3 即可求得 m 的值. 【解答】解:解 得 ,

∴交点为(﹣ , ) , ∵一次函数 y=mx+3 的图象与一次函数 y=x+1 和正比例函数 y=﹣x 的图象相交于
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同一点, ∴ =﹣ m+3 解得 m=5. 故答案为 5. 【点评】 本题考查了两直线相交的问题,根据两直线的交点坐标符合两直线的解 析式是解题的关键.

13. (2 分) (2016 秋?昆山市期末)已知点 P(a,b)在一次函数 y=2x﹣1 的图 象上,则 2a﹣b+1= 2 . 【分析】直接把点 P(a,b)代入一次函数 y=2x﹣1,进而可得出结论. 【解答】解:∵点 P(a,b)在一次函数 y=2x﹣1 的图象上, ∴2a﹣1=b, ∴2a﹣b=1, ∴2a﹣b+1=2. 故答案为:2. 【点评】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点 的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

14. (2 分) (2015 秋?南京期末)一次函数 y=2x 的图象沿 x 轴正方向平移 3 个单 位长度,则平移后的图象所对应的函数表达式为 y=2x﹣6 .

【分析】沿 x 轴正方向平移即是向右平移,根据解析式“左加右减”的平移规律, 即可得到平移后的直线解析式. 【解答】解:一次函数 y=2x 的图象沿 x 轴正方向平移 3 个单位长度,得到直线 y=2(x﹣3) ,即 y=2x﹣6. 故答案为 y=2x﹣6. 【点评】 本题考查一次函数图象与几何变换, 掌握解析式的平移规律: 左加右减, 上加下减是解题的关键.

15. (2 分) (2015 秋?南京期末)如图,平面直角坐标系内有一点 A(3,4) ,O
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为坐标原点.点 B 在 y 轴上,OB=OA,则点 B 的坐标为

0,5)或(0,﹣5) .

【分析】 作 AC⊥x 轴于 C, 则∠OCA═90°, OC=3, AC=4, 由勾股定理求出 OA=5, 得出 OB=5,即可得出点 B 的坐标;注意两种情况. 【解答】解:作 AC⊥x 轴于 C,如图所示: 则∠OCA═90°,OC=3,AC=4, ∴OA= ∴OB=5, 当点 B 在 y 轴正半轴上时,B(0,5) ; 当点 B 在 y 轴﹣半轴上时,B(0,﹣5) ; 故答案为: (0,5)或(0,﹣5) . =5,

【点评】本题考查了勾股定理、坐标与图形性质;熟练掌握勾股定理是解决问题 的关键,注意分两种情况讨论.

16. (2 分) (2016?淮安模拟)如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,将边 AC 沿 CE 翻折,使点 A 落在 AB 上的点 D 处;再将边 BC 沿 CF 翻折,使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处,两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F,则线段 B′F 的长 为 .

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【分析】 首先根据折叠可得 CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE, ∠BCF=∠B′CF, CE⊥AB,然后求得△ECF 是等腰直角三角形,进而求得∠B′FD=90°,CE=EF= ,

ED=AE= ,从而求得 B′D=1,DF= ,在 Rt△B′DF 中,由勾股定理即可求得 B′F 的 长. 【解答】解:根据折叠的性质可知 CD=AC=3,B′C=BC=4,∠ACE=∠DCE,∠BCF= ∠B′CF,CE⊥AB, ∴B′D=4﹣3=1,∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF, ∵∠ACB=90°, ∴∠ECF=45°, ∴△ECF 是等腰直角三角形, ∴EF=CE,∠EFC=45°, ∴∠BFC=∠B′FC=135°, ∴∠B′FD=90°, ∵S△ABC= AC?BC= AB?CE, ∴AC?BC=AB?CE, ∵根据勾股定理求得 AB=5, ∴CE= ∴EF= , ,ED=AE= ,

∴DF=EF﹣ED= , ∴B′F= 故答案为: . 【点评】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用
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等,根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键.

三、解答题(本大题共 9 小题,共 68 分) 17. (4 分) (2015 秋?南京期末)计算: +(π﹣1)0+ .

【分析】原式第一项利用立方根定义计算,第二项利用零指数幂法则计算,最后 一项利用算术平方根定义计算即可得到结果. 【解答】解:原式=﹣3+1+3=1. 【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18. (6 分) (2015 秋?南京期末)某批乒乓球的质量检验结果如下: 抽取的乒乓球 数n 优等品频数 m 优等品频率 (1)a= 0.94 47 a 95 0.95 ; 189 b 478 0.956 948 0.948 1426 0.951 1898 0.949 50 100 200 500 1000 1500 2000

,b= 0.945

(2)在图中画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图; (3)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是 0.95 .

【分析】 (1)利用频率的定义计算; (2)先描出各点,然后折线连结; (3) 根据频率估计概率, 频率都在 0.95 左右波动,所以可以估计这批乒乓球“优 等品”概率的估计值是 0.95. 【解答】解: (1)a= =0.94,b= =0.945;

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(2)如图,

(3)这批乒乓球“优等品”概率的估计值是 0.95. 故答案为 0.94,0.945;0.95. 【点评】本题考查了利用频率估计概率:大量重复实验时,事件发生的频率在某 个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可 以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频 率估计概率得到的是近似值,随实验次数的增多,值越来越精确.也考查了频率 分布折线图.

19. (7 分) (2015 秋?南京期末)为了解某种电动汽车的性能,对这种电动汽车 进行了抽检,将一次充电后行驶的里程数分为 A,B,C,D 四个等级,其中相应 等级的里程依次为 200 千米,210 千米,220 千米,230 千米,获得如下不完整 的统计图.根据以上信息,解答下列问题: (1)补全条形统计图; (2)扇形统计图中 D 等级对应的扇形的圆心角是多少度? (3)如果该厂年生产 5000 辆这种电动汽车,估计能达到 D 等级的车辆有多少 台?

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【分析】 (1) 先利用 B 等级的数量和它所占的百分比可计算出抽检的电动汽车的 总数,然后计算出 A 等级电动汽车的数量,再补全条形统计图; (2)用 D 等级所占的百分比乘以 360°可得 D 等级对应的扇形的圆心角; (3)利用样本估计总体,用样本中 D 等级所占的百分比乘以 5000 即可. 【解答】解: (1)抽检的电动汽车的总数为 30÷30%=100(辆) , A 等级电动汽车的数量为 100﹣30﹣40﹣20=10(辆) , 条形统计图为:

(2)20÷100×360°=72°, 答:扇形统计图中 D 等级对应的扇形的圆心角是 72°; (3)20÷100×5000=1000, 答:估计能达到 D 等级的车辆有 1000 台. 【点评】本题考查了条形统计图:条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量 的多少画成长短不同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来.从条形图可
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以很容易看出数据的大小,便于比较.也考查了样本估计总体.

20. (7 分) (2012?顺义区一模)已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D,E 在 边 BC 上,且 BD=CE.求证:∠ADE=∠AED.

【分析】根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到∠B=∠C,然后证明△ABD 和△ACE 全等,根据全等三角形对应边相等有 AD=AE,再根据等边对等角的性质 即可证明. 【解答】证明:法一:∵AB=AC, ∴∠B=∠C(等边对等角) , 在△ABD 和△ACE 中, ∴△ABD≌△ACE(SAS) , ∴AD=AE(全等三角形对应边相等) , ∴∠ADE=∠AED(等边对等角) . 法二:过点 A 作 AM⊥BC 于 M, ∵AB=AC, ∴BM=CM, ∵BD=CE, ∴DM=EM, ∴AD=AE, ∴∠ADE=∠AED(等边对等角) . ,

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【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质,找出已知 边的夹角相等是证明三角形全等的关键,也是本题的突破点.

21. (8 分) (2017 春?陆川县期末) 如图, 平面直角坐标系中, 一次函数 y=﹣2x+1 的图象与 y 轴交于点 A. (1)若点 A 关于 x 轴的对称点 B 在一次函数 y= x+b 的图象上,求 b 的值,并 在同一坐标系中画出该一次函数的图象; (2)求这两个一次函数的图象与 y 轴围成的三角形的面积.

【分析】 (1)先求出 A 点坐标,再根据关于 x 轴对称的点的坐标特点得出 B 点坐 标, 代入一次函数 y= x+b 求出 b 的值即可得出其解析式, 画出该函数图象即可; (2)设两个一次函数图象的交点为点 C,联立两函数的解析式得出 C 点坐标, 利用三角形的面积公式即可得出结论. 【解答】解: (1)∵把 x=0 代入 y=﹣2x+1,得 y=1. ∴点 A 坐标为(0,1) , ∴点 B 坐标为(0,﹣1) . ∵点 B 在一次函数 y= x+b 的图象上, ∴﹣1= ×0+b,

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∴b=﹣1.

(2)设两个一次函数图象的交点为点 C. ∵ ,解得 ,

∴点 C 坐标为( ,﹣ ) . ∴S△ABC= ×2× = .

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点 的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

22. (8 分) (2016 秋?淮安期末)如图,Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点 O 是 BC 的中点,如果点 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动,并在移动过程中始终 保持 AN=BM. (1)求证:△ANO≌△BMO; (2)求证:OM⊥ON.

【分析】 (1)根据 SAS 证明△AON≌△BOM 即可; (2)根据全等三角形的性质和垂直的定义证明即可.
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【解答】证明: (1)∵AB=AC,∠BAC=90°,O 为 BC 的中点, ∴OA⊥BC,OA=OB=OC, ∴∠NAO=∠B=45°, 在△AON 与△BOM 中, , ∴△AON≌△BOM; (2)∵△AON≌△BOM, ∴∠NOA=∠MOB, ∵AO⊥BC, ∴∠AOB=90°, 即∠MOB+∠AOM=90°. ∴∠NOM=∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM=90°, ∴OM⊥ON. 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质;熟练掌握全等三角形的判定方法 是解决问题的关键.

23. (8 分) (2015 秋?南京期末)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°. (1)作∠BAC 的平分线,交 BC 于点 D; (要求:尺规作图,不写作法,保留作 图痕迹) (2)在(1)的条件下,若 BD=5,CD=3,求 AC 的长.

【分析】 (1)首先以 A 为圆心,小于 AC 长为半径画弧,交 AC、AB 于 H、F,再 分别以 H、F 为圆心,大于 HF 长为半径画弧,两弧交于点 M,再画射线 AM 交 CB 于 D; (2) 过点 D 作 DE⊥AB, 垂足为 E, 首先证明△ACD≌△AED 可得 AC=AE, CD=DE=3,
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在 Rt△BDE 中, 由勾股定理得: DE2+BE2=BD2, 进而可得 BE 长, 然后再在 Rt△ABC 中,设 AC=x,则 AB=AE+BE=x+4,利用勾股定理可得 x2+82=(x+4)2,再解即可. 【解答】解: (1)如图:

(2)过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E.则∠AED=∠BED=90°. ∵AD 平分∠BAC, ∴∠CAD=∠EAD. 在△ACD 和△AED 中, ∴△ACD≌△AED(AAS) . ∴AC=AE,CD=DE=3. 在 Rt△BDE 中,由勾股定理得:DE2+BE2=BD2. ∴BE2=BD2﹣DE2=52﹣32=16. ∴BE=4. 在 Rt△ABC 中,设 AC=x,则 AB=AE+BE=x+4. 由勾股定理得:AC2+BC2=AB2, ∴x2+82=(x+4)2. 解得:x=6, 即 AC=6. ,

【点评】此题主要考查了基本作图,以及勾股定理的应用,全等三角形的判定和 性质,关键是得到 AC=AE,CD=DE,掌握直角三角形中,两直角边的平方和等于 斜边的平方.

24. (10 分) (2015 秋?南京期末)如图①所示,某乘客乘高速列车从甲地经过乙 地到丙地,假设列车匀速行驶.如图②表示列车离乙地路程 y(千米)与列车从
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甲出发后行驶时间 x(小时)之间的函数关系图象. (1)甲、丙两地间的路程为 1050 千米;

(2)求高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式,并写出 x 的 取值范围; (3)当行驶时间 x 在什么范围时,高速列车离乙地的路程不超过 100 千米.

【分析】 (1)由图可知,甲地到乙地距离 900km,乙地与丙地距离 150km,进而 得到甲、丙间的距离; (2)先求出列车到达丙地的时间,然后用待定系数法分别求出从甲到乙、从乙 到丙时,y 与 x 的函数关系式; (3) 分两种情况: ①未到乙地时, 离乙地的路程不超过 100 千米; ②已过乙地, 离乙地的路程不超过 100 千米;分别列出不等式求出 x 的范围即可. 【解答】解: (1)由函数图象可知,当 x=0 时 y=900,即刚出发时,甲与乙的距 离为 900 千米, 当 x=3 时 y=0,表示 3 小时后列车到达乙地,故列车速度为:900÷3=300 千米/ 小时, ∵150÷300=0.5 小时, ∴0.5 小时后列车到达丙地, 乙与丙间的距离为 150 千米, 故甲、丙两地间的距离为:900+150=1050 千米; (2)当 0≤x≤3 时,设函数关系式为:y=k1x+b1, 将(0,900) , (3,0)代入得: ,

解得:



∴y=﹣300x+900;
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当 3≤x≤3.5 时,设函数关系式为:y=k2x+b2, 将(3,0) , (3.5,150)代入得: ,

解得: ∴y=300x﹣900;



综上,当 0≤x≤3 时,y=﹣300x+900; 当 3≤x≤3.5 时,y=300x﹣900; (3)①当列车从甲到乙地的路程不超过 100 千米时,即当 0≤x≤3 时, 有:﹣300x+900≤100,解得: ≤x≤3; ②当列车从乙行驶到丙,到乙地的路程不超过 100 千米时,即当 3≤x≤3.5 时, 有:300x﹣900≤100,解得:3≤x≤ 综上,当 ≤x≤ ;

时,高速列车离乙地的路程不超过 100 千米.

【点评】本题主要考查一次函数的综合应用,结合题意读懂图象是前提,待定系 数法求函数解析式是关键.

25. (10 分) (2015 秋?南京期末)已知,点 M、N 分别是正方形 ABCD 的边 CB、 CD 的延长线上的点,连接 AM、AN、MN,∠MAN=135°. (友情提醒:正方形的 四条边都相等,即 AB=BC=CD=DA;四个内角都是 90°,即∠ABC=∠BCD=∠CDA= ∠DAB=90°) (1)如图①,若 BM=DN,求证:MN=BM+DN. (2)如图②,若 BM≠DN,试判断(1)中的结论是否仍成立?若成立,请给予 证明;若不成立,请说明理由.

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【分析】 (1) 作 AE⊥MN, 垂足为 E. 证明△ADN≌△ABM. 得到 AN=AM, ∠NAD= ∠MAB.再证明△ADN≌△AEN.得到 DN=EN,即可解答. (2)利用已知条件证明△ABP≌△ADN,得到 AP=AN,∠BAP=∠DAN.再证明∠ MAN=∠MAP. 从而证明△ANM≌△APM, 得到 MN=MP, 由 MP=BM+BP=BM+DN, 即可得到 MN=BM+DN. 【解答】解: (1)如图①,作 AE⊥MN,垂足为 E.

∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°, ∴∠ADN=∠ABM=90°. 在△ADN 与△ABM 中, , ∴△ADN≌△ABM. ∴AN=AM,∠NAD=∠MAB. ∵∠MAN=135°,∠BAD=90°, ∴∠NAD=∠MAB= (360°﹣135°﹣90°)=67.5°. ∴∠AND=∠AMB=22.5°, ∵AN=AM,∠MAN=135°,AE⊥MN, ∴MN=2NE,∠AMN=∠ANM=22.5°. 在△ADN 与△AEN 中, ∵ ∴△ADN≌△AEN. ∴DN=EN.
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∴MN=2EN=2DN=BM+DN. (2)如图②,若 BM≠DN,①中的结论仍成立,理由如下: 延长 BC 到点 P,使 BP=DN,连结 AP.

∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°. ∴∠ADN=90°. 在△ABP 与△ADN 中, ∵ ,

∴△ABP≌△ADN. ∴AP=AN,∠BAP=∠DAN. ∵∠MAN=135°, ∴∠ MAP= ∠ MAB+ ∠ BAP= ∠ MAB+ ∠ DAN=360°﹣∠ MAN ﹣∠ BAD=360°﹣ 135°﹣ 90°=135°. ∴∠MAN=∠MAP. 在△ANM 与△APM 中, ∵ ,

∴△ANM≌△APM. ∴MN=MP. ∵MP=BM+BP=BM+DN, ∴MN=BM+DN. 【点评】 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理,解决本题的关键是证明 三角形全等.

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