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2015届高考数学(理)二轮复习专题讲解讲义:专题一 第二讲 函数的图象与性质


第二讲 函数的图象与性质(选择、填空题型)

1.(2014· 山东高考)函数 f(x)= 1 0, ? A.? ? 2? 1? C.? ?0,2?∪(2,+∞)

1 的定义域为( 2 2x -1

)

B.(2,+∞) 1? D.? ?0,2?∪[2,+∞)

1 解析:选 C (log2x)2-1>0,即 log2x>1 或 log2x<-1,解得 x>2 或 0<x< ,故所求的定义域 2 1 ? 是? ?0,2?∪(2,+∞). 2 ? ?x +1,x>0, ? 2.(2014· 福建高考)已知函数 f(x)= 则下列结论正确的是( ) ?cos x,x≤0, ? A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞) 解析:选 D 因为 f(π)=π2+1,f(-π)=-1,所以 f(-π)≠f(π),所以函数 f(x)不是偶函数,排 除 A;因为函数 f(x)在(-2π,-π)上单调递减,排除 B;函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函 数 f(x)不是周期函数,排除 C; 因为 x>0 时,f(x)>1,x≤0 时,-1≤f(x)≤1,所以函数 f(x)的值域为[- 1,+∞),故选 D. 3.(2014· 湖南高考)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+ 2 x +1,则 f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析: 选 C 用“-x”代替“x”,得 f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得 f(x)+g(x)=- 3 2 x +x +1,令 x=1,得 f(1)+g(1)=1,故选 C. 4.(2014· 陕西高考)如图,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平距离 10 千 米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )

1 3 2 4 A.y= x3- x B.y= x3- x 125 5 125 5 3 3 3 3 1 C.y= x -x D.y=- x + x 125 125 5 解析:选 A 设所求函数解析式为 y=f(x),由题意知 f(5)=-2,f(-5)=2,且 f′(±5)=0,代 1 3 入验证易得 y= x3- x 符合题意,故选 A. 125 5 5. (2014· 新课标全国卷Ⅰ)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的 始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距 离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图象大致为( )

π? 1 解析:选 B 由题意知,f(x)=|cos x|· sin x,当 x∈? sin x= sin 2x;当 ?0,2?时,f(x)=cos x· 2 π 1 ? x∈? sin x=- sin 2x,故选 B. ?2,π?时,f(x)=-cos x· 2

1.函数的三个性质 (1)单调性 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,且 x1<x2,都有 f(x1)<f(x2) 成立,则 f(x)在 D 上是增函数(都有 f(x1)>f(x2)成立,则 f(x)在 D 上是减函数). (2)奇偶性 对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称),都有 f(-x)=-f(x)成立,则 f(x)为奇函数(都 有 f(-x)=f(x)成立,则 f(x)为偶函数). (3)周期性 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件: ①当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x); ②T 是不为零的最小正数. 2.抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(x-a),则 f(x)为周期函数,2a 是它的一个周期. ②设 f(x)是 R 上的偶函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f(x)是周期函数,2a 是它的一 个周期. ③设 f(x)是 R 上的奇函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f(x)是周期函数,4a 是它的一 个周期. (2)函数图象的对称性 ①若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称. ②若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=-f(a-x),即 f(x)=-f(2a-x),则 f(x)的图象关于点(a,0)对 称. a+b ③若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称. 2

热点一 命题角度

函数及其表示 (1)考查函数的定义域,如 T1;(2)考查函数值(或值域)的求法,如 T2,T4;(3)考查 分段函数问题,如 T3.

1 + 4-x2的定义域为( ) x+ A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2] 1?x ? ?-? ,a≤x<0, ? 2.(2014· 长春模拟)已知函数 f(x)=? 2? 1.函数 f(x)= 范围是( ) A.(-∞,-3] B.[-3,0)

? ?-x2+2x,0≤x≤4

的值域是[-8,1],则实数 a 的取值

C.[-3,-1] D.{-3} ?1,x>0, ? m+n+m-nfm-n 3.(2014· 三明模拟)已知函数 f(x)=? 若 m≠n,则 的值( ) 2 ?-1,x<0. ? A.一定是 m B.一定是 n C.是 m、n 中较大的数 D.是 m、n 中较小的数 2 ? ?-4x +2,-1≤x<0, ? 4.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)= ? ?x, 0≤x<1, 3 则 f =________. 2 x+1>0, x>-1, ? ? ? ? [自主解答] 1.x 需满足?x+1≠1, 即?x≠0, 解得-1<x<0 或 0<x≤2. 2 ? ? ?4-x ≥0, ?-2≤x≤2, ?1?a ? ? 1 ? 2.当 0≤x≤4 时,f(x)∈[-8,1],当 a≤x<0 时,f(x)∈? ?-?2? ,-1?,所以?-2a,-1?? [-8,-1], 1 -8≤- a<-1,即-3≤a<0. 2
? ?1 m>n, 3.由题意可知 f(m-n)=? 所以 ? m<n, ?-

m+n+m-n ,m>n ? 2 m+n+m-nfm-n =? 2 m+n-m-n ? 2 ,m<n

? ?m,m>n, m+n+m-nfm-n =? 所以 的 2 ?n,m<n, ?

值是 m、n 中较大的数,故选 C. 1? ? 1?2 ?3? ? 1? 4.由已知易得 f? ?-2?=-4×?-2? +2=1,又由函数的周期为 2,可得 f?2?=?-2?=1. [答案] 1.B 2.B 3.C 4.1

互动探究 在题 2 中,当 a 取得最小值时,若方程 f(x)=m 有且只有一个实数根,求 m 的取值范围. 解:由题 2 可知,a 的最小值为-3,则 f(x)的图象如图所示.方程 f(x)=m 有且只有一个实 数根,等价于函数 y=f(x)的图象与直线 y=m 有且只有一个公共点,由图可知,m 的取值范围为 {m|m=1 或-1≤m<0}.

函数值和值域的求法 (1)求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可,在分段函数中要 根据自变量所在的区间选取函数解析式; (2)求解函数值域的方法有:公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等,要根 据问题具体分析,确定求解的方法. 热点二 命题角度 函数的性质 (1)判断函数的单调性,奇偶性等,如 T1;(2)求函数的最值或单调区间,如 T2;(3)利用函数的性质求值,如 T3

x x 1.(2014· 内江模拟)若函数 f(x)= - ,则函数 f(x)( ) 1-2x 2 A.是偶函数,在(-∞,0)是增函数 B.是偶函数,在(-∞,0)是减函数 C.是奇函数,在(-∞,0)是增函数 D.是奇函数,在(-∞,0)是减函数 2.函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠1},对定义域中任意的 x,都有 f(2-x)=f(x),且当 x<1 时,f(x) 2 =2x -x.那么当 x>1 时,f(x)的递增区间是( ) 5 5 ? ? ? A.? ?4,+∞? B.?1,4? 7 ? ? 7? C.? ?4,+∞? D.?1,4? 3.已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 且 f(4)=4,则 f(2 012)=( ) A.0 B.-4 C.-8 D.-16 x x [自主解答] 1.法一:由定义易得,函数 f(x)= - 为偶函数. 1-2x 2 - 1-2x-x-2x 2xln 2-22x 2 x+2x× ln 2-2x 1 1+2x× 求导得:f′(x)= - = = .(这里之所以 - 2 -2x2 -2x2 2× 2 x -2x2 在分子提 2x 出来,目的是便于将分子求导) - 再令 g(x)=2 x+2x× ln 2-2x, -x - 则 g′(x)=-2 ln 2+2ln 2-2xln 2=-ln 2(2 x+2x-2)<0(x>0), -x - 当 x>0 时,-ln 2(2 +2x-2)<-ln 2(2-2)=0,所以 g(x)=2 x+2x× ln 2-2x 在 x>0 时单调 x x 递减,g(x)<g(0)=0,从而 f′(x)<0,所以 f(x)= - 在(0,+∞)上是减函数,由偶函数的对称性 1-2x 2 x x 知,f(x)= - 在(-∞,0)上是增函数. 1-2x 2

x x - 为偶函数.结合选项来看,函数在(-∞,0)上必单调, 1-2x 2 1 1 3 2 2 5 3 x 故取特殊值来判断其单调性.f(1)= - =- ,f(2)= - =- <- ,所以 f(x)= - 2 3 2 1-2 2 1-4 2 1-2x x x x 在(0,+∞)上是减函数,由偶函数的对称性可知,f(x)= x- 在(-∞,0)上是增函数.选 A. 2 2 1-2 1? 2.由 f(2-x)=f(x),得函数图象关于直线 x=1 对称,当 x<1 时,递减区间是? ?-∞,4?,由对称 性得 C. 3.由 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称可知,函数 f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数 f(x) 为奇函数.在已知等式中取 x=-3,得 f(3)+f(-3)=2f(3),f(-3)=f(3),又 f(-3)= -f(3),因此 f(3)=0.所以 f(6+x)+f(x)=0,f(12+x)+f(6+x)=0,因此有 f(12+x)=f(x),即函 数 f(x)是一个周期为 12 的周期函数.由于 2 012=12× 168-4,因此 f(2 012)=f(-4)= -f(4)=-4. [答案] 1.A 2.C 3.B 法二:由定义易得,函数 f(x)=

1.四招破解函数的单调性 (1)对于选择、填空题,若能画出图象一般用数形结合法; (2)对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数的单 调性问题来解决; (3)对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法; (4)对于抽象函数一般用定义法. 2.函数的奇偶性应关注三点 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称; (3)对于偶函数而言,有 f(-x)=f(x)=f(|x|).

热点三 命题角度 2

函数的图象及应用 高考对函数图象的考查包括作图、识图和用 图,其中作图包括描点法和图象变换法.
-x

[例 1] (1)函数 f(x)= -x 的图象大致为( 2 -1

)

A B C D (2)(2014· 宜春模拟)一电子广告,背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成,这 列正三角形的底边在同一直线上,正三角形的内切圆由第一个正三角形的 O 点沿三角形列的 底边匀速向前滚动(如图),设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分(如图中的阴影)的面积 S 关于时间 t 的函数为 S=f(t),则下列图中与函数 S=f(t)图象最近似的是( )

(3)(2014· 安徽高考)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( ) A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 - 2 x-1+1 1 [ 师生共研 ] (1) 将解析式变形整理 ,f(x) = -x = 1 + -x , 当 x>0 时 ,f(x) = 1 + 2 -1 2 -1 1 1 ∈(-∞,0),当 x<0 时,f(x)=1+ -x ∈(1,+∞),只有 A 选项符合题意. - 2 x-1 2 -1 (2)滚动中的圆与一系列正三角形的重叠部分(如图中的阴影)的面积 s 关于时间 t 的关系 呈周期性变化,且两者之间是非线性变化,故排除答案 D;当圆滚动到两三角形的连接点时 , 阴影部分的面积取最小值,但仍不为 0,故排除答案 C;又由当 t=0 时,阴影部分的面积取最大 值,可排除答案 A;故选 B.

? ?x+a-1,-a≤x≤-1, 2 (3)当 a≥2 时,f(x)=? a ? ?-3x-a-1,x<-2,
a? a a 如图 1 可知,当 x=- 时,f(x)min=f? ?-2?=2-1 2 =3,可得 a=8; 3x+a+1,x>- , ? 2 ? a 当 a<2 时,f(x)=? -x-a+1,-1≤x≤- , 2 ? ?-3x-a-1,x<-1, a? a a 如图 2 可知,当 x=- 时,f(x)min=f? ?-2?=-2+1=3,可得 a=-4.综上可知,答案为 D. 2 a

3x+a+1,x>-1,

[答案] (1)A

(2)B (3)D

作图、识图、用图的技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变 换. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找 准解析式与图象的对应关系. (3)用图:在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结

合图象研究.但是,在利用图象求交点个数或解的个数时,作图要十分准确,否则容易出错.

1.已知函数 y=f(x)的定义域是 R,若对于任意的正数 a,函数 g(x)=f(x+a)-f(x)是其定义 域上的增函数,则函数 y=f(x)的图象可能是( )

A B C D 解析:选 A 设 x1<x2,由 g(x)为其定义域上的增函数,得 f(x1+a)-f(x1)<f(x2+a)-f(x2),即 fx1+a-fx2+a fx1-fx2 f(x1+a)-f(x2+a)<f(x1)-f(x2),所以 > ,即曲线 y=f(x)的割线的斜率单调 x1+a-x2+a x1-x2 递增,结合函数图象可知,选项 A 正确. 1 2.设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1].若 n-m 的最小值为 ,则 3 实数 a 的值为( ) 1 2 2 3 1 1 1 3 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3 3 3 4 4 3 4 4 1 ? 解析:选 B 如图作出 f(x)=|logax|的图象,因为 0<a<1 时,A(a,1),B? ?a,1?,此时满足条件 1 1 1 2 3 的(n-m)min=1-a= 或 -1= ,解得 a= 或 a= ,经验证均符合条件. 3 a 3 3 4

热点四 命题角度

函数与不等式的交汇问题 函数与不等式的交汇是高考的热点,常涉及函数性质与不等式的 解法、恒成立问题、求参数范围等,题目难度偏大.

1 [例 2] (2014· 湖北高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x-a2|+ 2 |x-2a2|-3a2).若? x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为( ) 1 1 1 1 6 6 3 3 - , ? B.?- , ? C.?- , ? D.?- , ? A.? ? 6 6? ? 3 3? ? 6 6? ? 3 3? -x,0≤x≤a , ? ? 2 2 2 [师生共研] 当 x≥0 时,f(x)=?-a ,a <x≤2a , ? ?x-3a2,x>2a2,
2

又 f(x)为奇函数,可得 f(x)的图象如图

所示,由图象可得,当 x≤2a2 时,f(x)max=a2,当 x>2a2 时,令 x-3a2=a2,得 x=4a2,又? x∈R,f(x- 6 6 1)≤f(x),可知 4a2-(-2a2)≤1? a∈?- , ?,选 B. ? 6 6?

[答案] B

解决与函数有关的综合问题的常见切入点 (1)已知函数的单调性和周期性,常画出函数的图象求解; (2)已知函数的奇偶性和相对函数的对称性,常画出函数的图象求解; (3)求函数的最值或值域时,常结合相应函数在待求区间上图象的最高点、最低点的纵坐 标求解; (4)求解方程(不等式)中的参数的取值范围时,常借助函数性质求解. 3. 定 义 域 为 R 的 函 数 f(x) 满 足 f(x + 2) = 2f(x), 当 x∈[0,2) 时 ,f(x) = x -x,x∈[0, , ? ? t 1 ? ?1?? 3? 若 x∈[ -4, - 2)时 ,f(x)≥ - 恒成立 ,则实数 t 的取值范围是 4 2t ? ?-?2??x-2?,x∈[1, , ( ) A.[-2,0)∪(0,1) B.[-2,0)∪[1,+∞) C.[-2,1] D.(-∞,-2]∪(0,1] 1 1 1 解析:选 D 当-4≤x<-3 时,0≤x+4<1,f(x)= f(x+2)= f(x+4)= [(x+4)2-(x+4)],即 2 4 4 1 1 1 1 f(x)= (x+4)(x+3).此时,- ≤f(x)≤0.当-3≤x<-2 时,1≤x+4<2,f(x)= f(x+2)= f(x+4)=- 4 16 2 4 1 3 1 5 1 ? ?? 1 ? ?? 1 2 ? · x+4-2? ?=-4· ?2??x+2?.此时,-4≤f(x)≤- 8 .所以 f(x)在[-4,-2)上的最小值为- 4 ?2? ? 2 1 t 1 t 1 1 t +t-2 t+ t- .f(x)≥ - 恒成立,则 - ≤- ,即 ≤0, ≤0,即 t≤-2 或 0<t≤1. 4 4 2t 4 2t 4 t t
2

热点五 命题角度

新定义下的函数问题 此类问题通常是新定义一类函数的概念或性质,然后根据新定义对所 给函数的性质作出鉴别或利用新定义下的函数求解问题,如参数的取值范 围等.

[例 3] (1)(2014· 山东高考)已知函数 y=f(x)(x∈R).对函数 y=g(x)(x∈I),定义 g(x)关于 f(x) 的“对称函数”为函数 y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意 x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点 (x,f(x))对称.若 h(x)是 g(x)= 4-x2关于 f(x)=3x+b 的“对称函数”,且 h(x)>g(x)恒成立,则实数 b 的取值范围是________. (2)(2014· 南京模拟)对于函数 f(x),若存在区间 M=[a,b],使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区 间 M 为函数 f(x)的一个“好区间”,给出下列 4 个函数: ①f(x)=sin x;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=x3-3x;④f(x)=lg x+1. 其中存在“好区间”的函数是________.(填入所有满足条件函数的序号) [师生共研] (1)函数 g(x)的定义域是[-2,2], hx+gx 根据已知得 =f(x), 2 所以 h(x)=2f(x)-g(x)=6x+2b- 4-x2. 又 h(x)>g(x)恒成立, 即 6x+2b- 4-x2> 4-x2恒成立, 即 3x+b> 4-x2恒成立. 令 y=3x+b,y= 4-x2, 则只要直线 y=3x+b 在半圆 x2+y2=4(y≥0)上方即可,由 |b| >2,解得 b>2 10(舍去负 10

值), 故实数 b 的取值范围是(2 10,+∞). π π? ? π π? (2)①函数 f(x)=sin x 在? ?-2,2?上是单调增函数,若函数在?-2,2?上存在“好区间”[a,b] 则必有 sin a=a,sin b=b,即方程 sin x=x 有两个根,令 g(x)=sin x-x,g′(x)=cos x-1≤0 在 ?-π,π?上恒成立,所以函数 g(x)在?-π,π?上为减函数,则函数 g(x)在?-π,π?上至多有一 ? 2 2? ? 2 2? ? 2 2? π π ? 个零点,即方程 sin x=x 在? ?-2,2?上不可能有两个解,又因为函数 f(x)的值域为[-1,1],所以 π π 当 x<- 或 x> 时,方程 sin x=x 无解.所以函数 f(x)=sin x 没有“好区间”; 2 2 ②对于函数 f(x)=|2x-1|,该函数在[0,+∞)上是增函数由幂函数的性质我们易得,M=[0,1] 时,f(x)∈[0,1]=M,所以 M=[0,1]为函数 f(x)=|2x-1|的一个“好区间”. ③对于函数 f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x-1)· (x+1),当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以函数 f(x)=x3-3x 的增区间有(-∞,-1)和(1,+∞),减区间是(-1,1),取 M=[-2,2],此时 f(-2)=- 2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,所以函数 f(x)=x3-3x 在 M=[-2,2]上的值域是[-2,2],则 M= [-2,2]为函数的一个“好区间”; ④函数 f(x)=lg x+1 在定义域(0,+∞)上为增函数,若有“好区间”[a,b]则 lg a+1=a,lg b+ 1 1=b,也就是函数 g(x)=lg x-x+1 有两个零点,显然 x=1 是函数的一个零点,由 g′(x)= xln 10 1 1 1 1 ? -1<0,得,x> ,函数 g(x)在? ?ln 10,+∞?上为减函数;由 g′(x)=xln 10-1>0,得 x<ln 10,函数 ln 10 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 在? ?0,ln 10?上为增函数,所以 g(x)的最大值为 g?ln 10?>g(1)=0,则该函数 g(x)在?0,ln 10?上 还有一个零点.所以函数 f(x)=lg x+1 存在“好区间”. [答案] (1)(2 10,+∞) (2)②③④

解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义,然后把其转化为熟悉的数学问题求 解.如本例(1)通过对“对称函数”的理解,将问题转化为熟知的直线与圆的位置关系,从而使问 题得以顺利解决. 4.在平面直角坐标系中,若两点 P、Q 满足条件; ①P、Q 都在函数 y=f(x)的图象上; ②P、Q 两点关于直线 y=x 对称,则称点对{P,Q}是函数 y=f(x)的一对“和谐点对”.(注: 点对{P,Q}与{Q,P}看作同一对“和谐点对”) ?x2+3x+ x≤0, ? 已知函数 f(x)=? 则此函数的“和谐点对”有( ) ?log2 xx , ? A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对 解析:选 C 作出函数 f(x)的图象,然后作出 f(x)=log2 x(x>0)关于直线 y=x 对称的图象, 与函数 f(x)=x2+3x+2(x≤0)的图象有 2 个不同交点,所以函数的“和谐点对”有 2 对.

1 5.设函数 f(x)=x- ,对任意 x∈[1,+∞),使不等式 f(mx)+mf(x)<0 恒成立的实数 m 称为函 x

数 f(x)的“伴随值”,则 m 的取值范围是________. 解析: 由题意知 f(x)为增函数且 m≠0,若 m>0,由函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函 1 m 数 , 此时不符合题意 , 若 m<0, 则 f(mx) + mf(x)<0 可化为 mx - + mx - <0, 所以 2mx - mx x 1 1 1 ?m+ ?·<0,即 1+ 2<2x2,因为 y=2x2 在 x∈[1,+∞)上的最小值为 2,所以 1+ 12<2,即 m2>1, m? x ? m m 解得 m<-1. 答案:(-∞,-1)

一、选择题 2-x 的定义域是( lg x A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<1 或 1<x<2} C.{x|0<x≤2} D.{x|0<x<1 或 1<x≤2} 1.函数 y= )

2-x≥0, ? ? 解析:选 D 由题意知,要使函数有意义只需?x>0, ? ?lg x≠0, 数 y=

解得 0<x<1 或 1<x≤2,所以函

2-x 的定义域为{x|0<x<1 或 1<x≤2}. lg x a 2.若函数 f(x)=x2+ (a∈R),则下列结论正确的是( ) x A.? a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.? a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.? a∈R,f(x)是偶函数 D.? a∈R,f(x)是奇函数 解析:选 C 对于 A,只有当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;对于 B,如果 a≤0,可知结 论不成立;对于 D,不存在 a,使 f(x)为奇函数,因此只有 C 是正确的,即当 a=0 时,f(x)=x2 是偶 函数,因此存在 a∈R,使 f(x)是偶函数. 3.奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析:选 D 由函数 f(x+2)为偶函数可得 f(2+x)=f(2-x).又 f(-x)=-f(x),故 f(2-x) =-f(x-2),所以 f(2+x)=-f(x-2),即 f(x+4)=-f(x).所以 f(x+8)=-f(x+4)=-[-f(x)]= f(x),故该函数是周期为 8 的周期函数.又函数 f(x)为奇函数,故 f(0)=0.所以 f(8)+f(9)=f(0)+f(1) =0+1=1,故选 D. 4. 已知函数 y= loga(x+ c)(a,c 为常数, 其中 a>0,a≠1) 的图象如图 ,则下列结论成立的是 ( )

A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 解析:选 D 由对数函数的性质得 0<a<1,因为函数 y=loga(x+c)的图象在 c>0 时是

由函数 y=logax 的图象向左平移 c 个单位得到的,所以根据题中图象可知 0<c<1. 5.(2014· 安溪模拟)若函数 f(x)满足 f(ab)=f(a)+f(b),且 f(2)=m,f(3)=n,则 f(72)的值为 ( ) A.m+n B.3m+2n C.2m+3n D.m3+n2 解析: 选 B 因为函数 f(x)满足 f(ab)=f(a)+f(b),所以 f(4)=f(2· 2)=f(2)+f(2)=2f(2).同理 f(8)=3f(2).又因为 f(2)=m,所以 f(8)=3m.又因为 f(9)=f(3· 3)=2f(3)=2n.所以 f(72)=f(8· 9)=f(9) +f(8)=3m+2n.故选 B. 6.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化 的图象可能是( )

A B C D 解析:选 B 由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥,向容器中匀速注水,说明单位时 间内注入水的体积相等,因圆锥下面窄上面宽 ,所以下面的高度增加得快 ,上面的高度增加得 慢,即图象应越来越平缓. 7.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则使 f(x)>0 的 x 的 取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 解析:选 C 因为 f(x)为 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,故 f(x)在[0,+∞)上为增 函数,又因为 f(2)=0,故此时若 f(x)>0,则有 x>2;同理,在(-∞,0]上有 f(-2)=f(2)=0,若 f(x)>0, 则有 x<-2,综上,x 的取值范围是 x<-2 或 x>2. 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)=( ) A.335 B.337 C.1 678 D.2 012 解析: 选 B 由 f(x+6)=f(x)可知,函数 f(x)的周期为 6,所以 f(-3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4) =0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有 f(1)+f(2)+…+f(6) =1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+…+f(2 014)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+335× 1=1+2 -1+0+335=337,故选 B. 9.已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件:①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4) =f(x);②对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1<x2≤2,都有 f(x1)<f(x2);③函数 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称,则下列结论中正确的是( ) A.f(4.5)<f(7)<f(6.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) C.f(7)<f(6.5)<f(4.5) D.f(4.5)<f(6.5)<f(7) 解析: 选 A 由 f(x+4)=f(x)可知函数 f(x)是周期为 4 的周期函数,函数 y=f(x+2)的图象 关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)关于 x=2 对称.当 0≤x1<x2≤2 时,有 f(x1)<f(x2),即函数 f(x)在[0,2] 上单调递增,故当 2≤x1<x2≤4 时,有 f(x1)>f(x2),即函数 f(x)在[2,4]上单调递减,所以函数的大致图 象如图所示 . 又 f(4.5) = f(0.5),f(6.5) = f(2.5),f(7) = f(3), 根据函数 f(x) 在 (0,4) 上的单调性 , 有 f(4.5)<f(7)<f(6.5).

10.(2014· 绵阳模拟)f(x)是定义在 D 上的函数,若存在区间[m,n]? D,使函数 f(x)在[m,n]上的 值域恰为[km,kn],则称函数 f(x)是 k 型函数.给出下列说法: 4 ①f(x)=3- 不可能是 k 型函数; x a2+ax-1 2 3 ②若函数 y= (a≠0)是 1 型函数,则 n-m 的最大值为 ; 2 ax 3 1 ③若函数 y=- x2+x 是 3 型函数,则 m=-4,n=0; 2 4 ④设函数 f(x)=x3+2x2+x(x≤0)是 k 型函数,则 k 的最小值为 . 9 其中正确的说法有( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 解析:选 D 由题意知 k>0,当存在直线 y=kx(k>0)与曲线 y=f(x)至少有两个交点时,函 4 4 数 f(x)就是 k 型函数.对①,作出 f(x)=3- 的图象即可知,f(x)=3- 是 k 型函数; x x a2+ax-1 a2+ax-1 对②,若函数 y= (a≠0)是 1 型函数,则 =x 有两个不同的解,即 a2x2-(a2 a2x a2x +a)x+1=0 有两个不同的解 m、n.由 Δ>0 得 a<-3,a>1,所以 a2+a2-4a2 3 2 4 2 3 n-m= = - 2+ +1≤ = (a=3 时取等号),所以 n-m 的最大值 a2 a a 3 3 2 3 为 ; 3 1 1 对于③,若函数 y= x2+x 是 3 型函数,则- x2+x=3x? x1=-4,x2=0,即 m=-4,n=0; 2 2 3 2 对④,法一: 函数 f(x)=x +2x +x(x≤0)是 k 型函数,则 x3+2x2+x=kx? x=0 或 k=x2+2x +1,即 k=x2+2x+1 至少有一个小于 0 的根.作出 y=x2+2x+1 的图象,结合图象可知 k 的取 值范围为 k>0. 法二:作出 f(x)=x3+2x2+x 的图象,由图可知,k>0.

二、填空题 11.偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则 f(-1)=________. 解析: 因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又 f(-x)=f(x), 所以 f(x)=f(4+x),则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3. 答案:3 12.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,则方程 f(x)=f(2x-3)的所有实数根的 和为________. 解析:由于函数 f(x)为偶函数,则 f(|x|)=f(|2x-3|),又函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,则|x| =|2x-3|,整理得 x2-4x+3=0,解得 x1=1,x2=3,故 x1+x2=4. 答案:4 + 2 011x 1+2 010 π π - , ??的最大 13.(2014· 江西七校联考)设函数 f(x)= +2 012sin x? x∈? x 2 2?? ? ? 2 011 +1 值为 M,最小值为 N,那么 M+N=________.

2 011x 1+2 010 2 011× 2 011x+2 010 解析:函数 f(x)= +2 012sin x= +2 012sin x=2 011 x 2 011 +1 2 011x+1 π π? 1 1 - + 2 012sin x,∵y = 2 011x 在 x∈ ? ?-2,2? 上 为 增 函 数 ,∴y = 2 011x+1 在 2 011x+1 π π? 1 ? π π? x∈ ? ?-2,2? 上 为 减 函 数 ,∴y = - 2 011x+1 在 x∈ ?-2,2? 上 为 增 函 数 , 而 y = sin x 在 π π? 1 ? π π? x∈? ?-2,2?上也为增函数,∴f(x)=2 011-2 011x+1+2 012sin x 在 x∈?-2,2?上为增函 π? 1 1 ? π? ?π? ? π? 数,∴M=f? - =4 022- ?2?,N=f?-2?,∴M+N=f?2?+f?-2?=4 022- π π 2 011 +1 2 011- +1 2 2 π 2 011 2 1 + =4 021,故答案为 4 021. π π 2 011 +1 2 011 +1 2 2 答案:4 021 a,x=1, ? ? 14.函数 f(x)=??1?|x-1| 若关于 x 的方程 2f2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0 有五个不 + 1 , x ≠1 , ? ??2?


? ? ?

? ? ?

同的实数解,则 a 的取值范围是________. 3 解析:由 2f2(x)-(2a+3)· f(x)+3a=0 得 f(x)= 或 f(x)=a.由已知画出函数 f(x)的大致图 2 象,结合图象不难得知,要使关于 x 的方程 2f2(x)-(2a+3)· f(x)+3a=0 有五个不同的实数解, 3? 3 即要使函数 y=f(x)的图象与直线 y= ,y=a 共有五个不同的交点,a 的取值范围是? ?1,2? 2 3 ? ∪? ?2,2?.

3? ?3 ? 答案:? ?1,2?∪?2,2? 则 x+y=________. y- =6, 解 析 : 令 f(x) = x3 + 2x + sin x, 则 f(x) 的 图 象 关 于 原 点 对 称 . 由 题 设 3 3 ? ? ?x- +2x+ x- =2, ?x- + x- + x- =-2, ? ? 得: 即 f(x-2)=-f(y-2),所以 3 3 ?y- +2y+ y- =6, ?y- + y- + y- =2, ? ? (x-2)+(y-2)=0,即 x+y=4. 答案:4 fx+fy 16.(2014· 安徽六校联考)设函数 f(x)的定义域为 D,如果? x∈D,存在唯一的 y∈D,使 2 =C(C 为常数)成立,则称函数 f(x)在 D 上的“均值”为 C.已知四个函数: 1?x ①y=x3(x∈R);②y=? ?2? (x∈R);③y=ln x(x∈(0,+∞));④y=2sin x+1(x∈R).上述四 个函数中,满足所在定义域上“均值”为 1 的函数是________.(填入所有满足条件函数的序号)
3 ? ?x- +2x+ ? 15.(2014· 温州模拟)设 x,y∈R,且满足 3 ?y- +2y+ ?

x- =2,

x3+y3 3 解析:①对于函数 y=x3,定义域为 R,设 x∈R,由 =1,得 y3=2-x3,所以 y= 2-x3 2 ∈R,所以函数 y=x3 是定义域上的“均值”为 1 的函数; ?1?x+?1?y ?2? ?2? 1?x 1?y ?1?x ②对于函数 y=? =1,得:? ?2? ,定义域为 R,设 x∈R,由 ?2? =2-?2? ,当 x=-2 2 1?-2 ?1?y 时,2-? ?2? =-2,不存在实数 y 的值,使?2? =-2,所以该函数不是定义域上均值为 1 的函数; ln x+ln y - ③对于函数 y=ln x,定义域是(0,+∞),设 =1,得 ln y=2-ln x,则 y=e2 ln x∈R,所 2 以该函数是定义域上的均值为 1 的函数; 2sin x+1+2sin y+1 ④对于函数 y=2sin x+1,定义域为 R,设 x∈R,由 =1,得 sin y=-sin 2 x,因为-sin x∈[-1,1],所以存在实数 y,使得 sin y=-sin x 成立,所以函数 y=2sin x+1 在其定 义域上是均值为 1 的函数. 答案:①③④


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