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高中数学必修4(人教B版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面向量 2.1 平面向量的线性运算

一、学习任务
理解向量加、减法和数乘运算,理解其几何意义;理解向量共线定理;了解向量的线性运算性质 及其几何意义.

二、知识清单
平面向量的概念与表示

平面向量的加减法

平面向量的数乘与平行

三、知识讲解
1.平面向量的概念与表示
描述: 向量的基本概念 我们把既有方向,又有大小的量叫做向量(vector). 带有方向的线段叫做有向线段.我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、 B为终点的有向线段记做?A?→B ,起点写在终点的前面.

有向线段包含三个要素:起点、方向、长度. 向量可以用有向线段来表示.向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记做 |?A?→B|,长度为 0 的向量叫做零向量(zero vector),记做 0?.零向量的方向不确定.长度等于 1 个单位的向
量,叫做单位向量(unit vector).
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 (parallel vectors),向量 a?、b? 平行,通常记做 a? ∥ b?.

规定零向量与任一向量平行,即对于任意向量→a

→ ,都有 0



→a .

相等向量与共线向量

?

??

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector).向量 a? 与 b? 相等,记做 a? = b. ?

任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量(collinear vectors).

例题: 下列四个命题:① 时间、速度、加速度都是向量;② 向量的模是一个正实数;③ 相等向量一定

是平行向量;④ 共线向量一定在同一直线上;⑤ 若 →a ,→b 是单位向量,则 →a = →b ;⑥ 若

非零向量 ?A?→B 与 ?C?→D 是共线向量,则四点 A, B, C, D 共线.其中真命题的个数为(



A.0

B.1

C.2

D.3

解:B

只有③正确.

下列说法正确的是(



A.零向量没有大小,没有方向

B.零向量是唯一没有方向的向量

C.零向量的长度为 0 D.任意两个单位向量方向相同

解:C

零向量的长度为 0,方向是任意的,故 A,B 错误,C 正确,任意两个单位向量的长度相等,但 方向不一定相同,故 D 错误.

如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心.

(1)与 ?O?→A 的模相等的向量有多少个?

(2)是否存在与 ?O?→A 长度相等、方向相反的向量?

(3)与 ?O?→A 共线的向量有哪些?

解:(1)因为 ?O?→A 的模等于正六边形的边长,而在图中,模等于边长的向量有 有 11 个与 ?O?→A 的模相等的向量.

12

个,所以共

(2)存在,是 F??→E .

(3)有 F??→E 、?C?→B 、?D?→O .

2.平面向量的加减法 描述: 向量的加法运算

向量加法的三角形法则 已知非零向量 →a 、→b ,在平面内任取一点 A,作 ?A?→B = →a ,B??→C = →b ,则向量 A??→C 叫做 →a 与→b 的和(或和向量),记作 →a + →b ,即 →a + →b = ?A?→B + B??→C = A??→C . 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

向量加法的平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 →a 、→b 为邻边作平行四边形 OACB,则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 →a 与 →b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形 法则.
对于零向量和任一向量 →a ,我们规定 →a + →0 = →0 + →a = →a .  向量加法的运算律 交换律:→a + →b = →b + →a . 结合律:(→a + →b ) + →c = →a + (→b + →c ). 向量减法运算

已知向量 →a ,→b (如图),作 ?O?→A = →a ,作 ?O?→B = →b ,则

→b + ?B?→A = →a ,



向量 ?B?→A 叫做向量 →a 与 →b 的差,并记作 →a ? →b ,即

?B?→A = →a ? →b = ?O?→A ? ?O?→B.



如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点 为终点的向量.由 ② 式还可以推知,一个向量 ?B?→A 等于它的终点相对于点 O 的位置向量 ?O?→A 减去它的始点相对于点 O 的位置向量 ?O?→B 或简记“终点向量减去始点向量”. 与 →a 方向相反且等长的向量叫做 →a 的相反向量,记作 ?→a ,任一向量与其相反向量的和是

零向量,即 →a + (?→a ) = →0 ,零向量的相反向量仍为零向量. 向量 →a 加上 →b 的相反向量,叫作 →a 与 →b 的差,即 →a ? →b = →a + (?→b ).求两个向量 差的运算,叫作向量的减法.作 ?O?→A = →a ,?O?→B = →b ,以 ?O?→A ,?O?→B 为邻边作平行四边形 OACB,连接 BA.观察图形,不难看出,向量 ?B?→A 表示向量 →a 与 ?→b 的和,也就是向量 →a ? →b .

例题: 化简下列各式:

(1)?P?→B (2)?A?→B

+ +

O??→P + ?O?→B ; ?M?→B + ?B?→O +

O??M→.

解(:2)((?A1?)→B?P?+→B?M?+→BO??)→P+

+ ?O?→B ?B?→O +

= (O??→P O??M→ =

(+?A??P→B?→B+)

+ ?O?→B = ?O?→B ?B?→O) + (O??M→

+ +

??OM??→B→B=) =2?O?A??→B→O;+

?O?→B

=

?A?→B.

已知下列各式:①?A?→B + B??→C + ?C?→A ;②(?A?→B + ?M?→B + ?B?→O + O??M→;③?O?→A + O??→C + ?B?→O + ?C?→O;

④?A?→B + ?C?→A + ?B?→D + D??→C .其中结果为

→ 0

的个数为(



A.1

B.2

C.3

D.4

解:B

利(?A?用→B向+量?M?加→B法+运?B?算→O律+,O??①M→?A=?→B?A?+→BB?;?→C③+?O?→A?C?→A+

=O??→CA??→C+

+ ?C?→A ?B?→O +

?C=?→O→0=;?B②?→A ;④

?A?→B

+

?C?→A

+

?B?→D

+

D??→C

=

→ 0.

化简 (?A?→B ? ?C?→D) ? (A??→C ? ?B?→D). 解:

(?A?→B ? ?C?→D) ? (A??→C ? ?B?→D = ?A?→B ? ?C?→D ? A??→C + ?B?→D

= (?A?→B ? A??→C ) ? D??→C + ?B?→D

= ?C?→B + ?B?→D ? ?C?→D

=

→ 0

给出下列运算:

① ④

?A(??A→?B→B??A???C→?C→D+) ?B??→C(A??=→C →?0

;② B??→C )

=?A?→B?C?→?D.?C?→B + ?C?→A =

→0 ;③

?A?→B ? (A??→C ? ?B?→D)

? C??→E

=

?E?→D;

其中所有正确的序号是______

解:①②③ →

①?A?→B ? A??→C + B??→C = ?C?→B + B??→C =→0 ,所以 ① 正确; ②?A?→B ? ?C?→B + ?C?→A = ?C?→A + ?A?→B ? ?C?→B = ?C?→B ? ?C?→B = →0 ,所以 ② 正确; ③ ?A?→B ? (A??→C ? ?B?→D) ? C??→E = ?A?→B ? A??→C + ?B?→D ? C??→E = ?C?→B + ?B?→D ? C??→E = ?C?→D ? C??→E = ?E?→D , 所以 ③ 正确; ④(?A?→B ? ?C?→D) ? (A??→C ? B??→C ) = (?A?→B + B??→C ) ? (A??→C + ?C?→D) = A??→C ? ?A?→D = D??→C ≠ ?C?→D,所以 ④ 不正确.

3.平面向量的数乘与平行

描述: 向量的数乘

一般地,我们规定实数 λ 与向量 →a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的

数乘 (multiplication of vector by scalar),记作 λ→a ,它的长度规定如下:

∣∣∣λ→a ∣∣∣ = |λ| ∣∣∣→a ∣∣∣

当 λ > 0 时,λ→a 的方向与 →a 的方向相同;当 λ < 0 时,λ→a 的方向与 →a 的方向相反;



λ

=

0

时,λ→a

=

→ 0.

λ→a 中的实数 λ ,叫做向量 →a 的系数.数乘向量的几何意义就是把向量 →a 沿着 →a 的方向

或 →a 的反方向放大或缩小.

数乘运算规律 设 λ,μ 为实数,那么 λ(μ→a ) = (λμ)→a ; (λ + μ)→a = λ→a + μ→a ; λ(→a + →b ) = λ→a + λ→b . 特别地,(?λ)→a = ?(λ→a ) = λ(?→a ),λ(→a ? →b ) = λ→a ? λ→b . 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫做向量的线性运算.

平行向量基本定理 如果 →a = λ→b ,则 →a ∥ →b ;反之,如果 →a ∥ →b ,且 →b ≠ →0 ,则一定存在唯一一个实数 λ, 使 →a = λ→b .

例题: 化简下列各式:

(1) 2 3

[(4→a ? 3→b ) +

1 3

→b ?

1 4

(6→a ? 7→b )];

(2)(λ ? μ) (→a + →b ) ? (λ + μ) (→a ? →b ).

解:(1)

(2)

原式 =

2 3

(4→a ? 3→b +

1 3

→b

?

3 2

→a

+

7 4

→b )

=

2 3

[(4 ?

3 2

)

→a

+

(?3 +

1 3

+

7 4

)

→b ]

=

2 3

(

5 2

→a

?

11 12

→b )

=

5 3

→a ?

11 18

→b

原式 = (λ ? μ)→a + (λ ? μ)→b ? (λ + μ)→a + (λ + μ)→b = [(λ ? μ) ? (λ + μ)]→a + [(λ ? μ) + (λ + μ)]→b = ?2μ→a + 2λ→b .

关于向量 →a ,→b ,有

① →a = 2→e ,→b = ?2→e ;

② →a = e→1 ? e→2 ,→b = ?2e→1 + 2e→2 ;



→a

= 4e→1 ?

2 5

e→2 ,→b

= e→1 ?

1 10

e→2 ;

④ →a = e→1 + e→2 ,→b = ?2e→1 + 2e→2 ;(其中 e→1 , e→2 不共线)

其中 →a ,→b 共线的有______(填上所有正确的序号).

解:①②③

① 中 →a = ?→b ,所以 →a ∥ →b ;

② 中 →b = ?2→a ,所以 →a ∥ →b ;

③ ④

中→a =

4(e→1 ?

1 10

中不存在非零实数

e→2 ) = λ,使

4→b ,所以 →a ∥ →b ; →a = λ→b ,所以 →a



→b

不共线.

设两个非零向量 →a ,→b 不共线. (1)若 ?A?→B = →a + →b ,B??→C = 2→a + 8→b ,?C?→D = 3(→a ? →b ) ,求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 k→a + →b 与 →a + k→b 共线. (1)证明:因为 ?A?→B = →a + →b ,B??→C = 2→a + 8→b ,?C?→D = 3(→a ? →b ) ,所以 ?A?→D = ?A?→B + B??→C + ?C?→D = 6→a + 6→b = 6?A?→B ,所以 ?A?→B 与 ?A?→D 共线,且有公共起点 A,所 以 A、B、D 三点共线. (2)解:因为 k→a + →b 与 →a + k→b 共线,所以存在实数 λ 使得 k→a + →b = λ(→a + k→b ) ,即 (k ? λ)→a = (λk ? 1)→b ,因为 →a ,→b 是不共线的非零向量, 所以 k ? λ = 0,λk ? 1 = 0,所以 k = ±1.

四、课后作业 (查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 下列命题:(1)时间、速度、加速度都是向量;(2)向量的模是一个非负实数;(3)所有的单位向 量都相等;(4)共线向量一定在同一条直线上.其中真命题的个数为 ( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个.

答案: B

2. 设 D, E, F 分别为 △ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 ?E?→B + F??→C = (

)

A.B??→C

B.

1 2

?A?→D

C.?A?→D

D.

1 2

B??→C

答案: C

解析:

?E?→B + F??→C = E??→C + ?F?→B =

1 2

(?A?→B + A??→C ) .

3. 已知向量 →a ,→b 不共线,→c = k→a + →b (k ∈ R),→d = →a ? →b ,如果 →c ∥ →d ,那么 (

)

A.k = 1 且 →c 与 →d 同向 C.k = ?1 且 →c 与 →d 同向

B.k = 1 且 →c 与 →d 反向 D.k = ?1 且 →c 与 →d 反向

答案: D 解析: 当 k = ?1,→c = ?→d .

4. 已知平面内有一点 P 及一个 △ABC,若 ?P?→A + ?P?→B + P??→C = ?A?→B,则 (

)

A.点 P 在 △ABC 外部 C.点 P 在线段 BC 上

B.点 P 在线段 AB 上 D.点 P 在线段 AC 上

答案: D 解析: 即∵∴∴2?P?P?????PPP→???→AA→→→AAA=++++?CP?????PPP????→→PB→→→BBA,++++∴P??PBP??????→C点→→→CAC =+P?=?AP??A在?0??→→→BC,B线,==段00A,C 上.

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