当前位置:首页 >> 数学 >>

5东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的单调性与最值A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

函数的单调性与最值(教案)A
一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 27 页—第 32 页) 1、 函数的单调性及性质 (1) 、定义:一般 地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量的x1 ,x2 当x1 < x2 时,都有 ,那么就说 f(x)在区间 D 上是 。 (2) 、函数的单调性的理解: 要注意以下三点: ①、单调性是与区间紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性 ②、单调性是函数在某个区间上“整体”性质 ,因此定义 中的x1 ,x2 具有任意性, 不能用特殊的值 代替, ③、由于定义是充要条件 的命题,因此由 f(x)是增(减)函数,f(x1 )< f(x2 )? x1 < x2 (x2 < x1 ),这说明单调性存在的前提下,自变量与函数值之间的不等式可以“正逆 互推” ,于是, 增函数的定义等价于: 减函数的字义等价于:
f(x 1 ? f(x 2 ) x 1 ?x 2

)>0?(x1 ? x2 )( f(x1 ? f(x2 )) >0 )<0?(x1 ? x2 )( f(x1 ? f(x2 )) <0

f(x 1 ? f(x 2 ) x 1 ?x 2

(3) 、单调区间:如果函数在某个区间是增 函数或减函数,那么就说个函数在这个 区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做函数的单调区间。 (4) 、 复合函数的单调性: 设复合函数 y=f[g(x)],其中u = g(x),如果 y= f(u)与u = g(x)的 单调性相同,那么函数 y=f[g(x)] 是 函数,如果 y= f(u)与u = g(x)的单调性相反, 那么函数 y=f[g(x)] 是 函数; (5) 、利用定义证明函数 f(x)在给定的区 间 D 上的单调性的一般 步骤: ①、任取x1 、x2 ∈ D ,且x1 < x2 ②、作差 ③、变形(通常是因势分解和配方)④、 判断符号 (即判断, f(x1 ? f(x2 )的正负)⑤下结论 (即指出函数 y=f(x)在给定的区间 上 的单调性) (6) 、函数单调性的性质 ①、奇函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ; ②、偶函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ; ③、在公共定义域内:增函数+增函数是 ,减函数+减函数是 增函数—减函数是 ,减函数—增函数是 。

1

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

2、 函数的最值 对于函数 y=f(x),设定义域为 A,则 (1) 、若存在x0 ∈ A,使得对于任意的x ∈ A,恒有 f(x)的 。 (2) 、若存在x0 ∈ A,使得对于任意的x ∈ A,恒有 f(x)的 。 二、题型探究 探究一、判断证明函数的单调性 例 1:设 a>0,f x =
ex a

成立,则称 f(x0 )是函数 成立,则称 f(x0 )是函数

+ e x 是 R 上的偶函数

?a

(1) 、求 a 的值 (2) 、证明,f x 在(0,+∞)上为增函数。

探究二、抽象函数与复合函数的单调性 例 2:定义在 R 上的函数 f(x),f(0)≠ o ,当 x>0 时, f(x)>1,且对任意的 a、b∈ R,有 f(a+b)=f(a)?f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意 x∈ R,f(x)> 0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数。

例 3:函数 f(x)对任意 a、b∈ R,有 f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且 x>0,时, f(x)> 1。 (1)证明:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解关于 m 的不等式 f(3m2 ? m ? 2)<3.

2

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

例 4:求函数的log0.7 (x2 ? 3x + 2)的单调区间

探究三、与单调性有关的参数问题 例 5:已知函数 f ( x) ? 1 ? 2a x ? a? x (a ? 1) (1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)若 x ?[?2,1] 时,函数 f ( x ) 的最小值为 ?7 ,求 值。 解析:设 a x ? t ? 0 ? y ? ?t 2 ? 2t ? 1 ? ?(t ? 1)2 ? 2 (1)? t ? ?1? (0, ??)

a 的值和函数 f ( x) 的最大

? y ? ?t 2 ? 2t ? 1 在 (0, ??) 上是减函数
? y ? 1 所以值域为 (??,1)
(2)? x ? [?2,1] a ? 1 ? t ? [

1 , a] a2

由 t ? ?1 ? [

1 , a] a2 1 , a ] 上是减函数 a2

所以 y ? ?t ? 2t ? 1 在 [
2

?a2 ? 2a ? 1 ? ?7 ?a ? 2 或 a ? ?4 (不合题意舍去)
当t ?

1 1 ? 时 y 有最大值, a2 4 1 4
2

即 ymax ? ?( ) ? 2 ?

1 7 ?1 ? 4 16

3

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

探究四、函数的单调性与最值 例 6:求下列函数的值域 1、 y=x2-2x 的定 义域为{ 0,1,2,3} 2、 y= -x2-6x-5 3、 y= x ?2
3 x+1

4、 y=x+ x 5、 y=|x+1|+|x-1| 6、 y=
2x 2 ?x+1 2x ?1

( x> )
2

1

三、方法提升 1、 函数的单调性只能在函数的定义域内讨论,函数在给定的区间的单调性反映函数 在区间上函数值的变化趋势, 是函数在区间上的整体性质 , 但不一定是函数在定 义域内上的整体性质,函数的单调性是针对某个区间而言的,所以受到区间的限 制 2、 求函数的单调区间,首先请注意函数的定义域,函数的增减区间都是定义域的子 区间,其次,掌握基本初等函数的单调区间,常用的方法有:定义法,图象法, 复合函数法和导数法。 3、 利用函数的单调必可以有解函数不等式、方程及函数的最值问题

四、反思感悟

。 五、课时作业 一、选择题
1.设偶函数

f ( x) 的定义域为 R , 当 x ? ?0,??? 时, f ( x) 是增函数 , 则 f (?2), f (? ) ,

f (?3) 的大小关系是 ( )
A

f (? ) ? f (?3) ? f (?2)

B

f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

4

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

C

f (? ) ? f (?3) ? f (?2)
B .6.

D
2

f (? ) ? f (?2) ? f (?3)
2

2.如 果 实 数 x 、 y 满 足 x + y = 4 , 则 x + y 的 最 小 值 是 (

) D.10.

中学学 科网

A .4.
3.已知偶函数

C .8.

1 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调递增,则满足 f (2 x ?1) < f ( ) 的 x 取值范 3
B. ( ? ?,

围是[来源:学.科.网] A. (

1 2 , ) 3 3

2 ) 3

C. (

1 2 , ) 2 3

D. ?

?2 ? ,?? ? ?3 ?
( )
中学学科网

4.若偶函数 f ( x) 在

?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是
B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2) D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1)

A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2) C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? )

3 2

3 2

3 2

3 2

5.已知偶函数

1 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ?1) < f ( ) 的 x 取值范 3
中学学科网

围是( A. (



1 2 1 2 1 2 1 2 , ) B.[ , ) C.( , ) D.[ , ) 3 3 3 3 2 3 2 3
在 上单调递增,则 与

6.偶函数

的大小关系是( ) A. f (a ? 1) ? f (b ? 2) C. f (a ? 1) ? f (b ? 2)
2

B. f (a ? 1) ? f (b ? 2) D. f (a ? 1) ? f (b ? 2)

7.设 a,b∈R,且 a>0,函数 f (x)=x +ax+2b,g (x)=ax+b,在[-1,1]上 g(x)的最

大值为 2,则 f(2)等于( A.4
2

). B.8 C.10 D.16 ) D. ?3, ?? ?

8.函数 f(x)= x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上递减,则 a 的取值范围是(

A.

??3, ???

B.

? ??, ?3?

C. (-∞,5)

5

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

9.已知函数

f ( x) ? log3 x ? 2, x ?[1,9] ,则函数 y ? [ f ( x)]2 ? f ( x2 ) 的最大值是
B.13 C.11 D.-3

( ) A.22
10.函数

f ( x) ?

2 sin(x ?

?

4 2 x 2 ? cos x

) ? 2x 2 ? x
的最大值为 M ,最小值为 C. M ? m ? 2

m ,则

A. M ? m ? 4
11.已知 0 ?

B. M ? m ? 4

D. M ? m ? 2

x?

? 1 t ? ,t 是大于 0 的常数,且函数 f ( x ) ? 的最小值为 2 sin x 1 ? sin x
) B.6 C.8 D.10

9,则 t 的值为( A.4 二、填空题
12.函数

?2 x ? 6 f ( x) ? ? ?x ? 7

x ? [1,2] ,则 f ( x) 的最大值、最小值为 x ? [ ?1,1]

.

13. 已知函数

y ? f (n)(n ? N * ) 的函数值全为整数且该函数是一个单调增函数,若

f (4) ? 0, f (1) ? ?4, 则 f(2)可能取的值是_________________。
14.设 x∈R,则函数 f (x) = 15. 已知

x 2 ? 1 ? ( x ? 12) 2 ? 16 的最小值为



x 2 ? y 2 + ( x ? 8) 2 ? ( y ? 6) 2 = 20 ,则 | 3 x – 4 y – 100 | 的最大值为


,最小值为 三、解答题
16.求证:函数

f ? x? ? x ?

1 ,在区间 ? 0,1? 上是减函数。 x

17.已知函数 y ?

f ( x) ?

x 2 ? 3 x ? 2a , x

x ? [2, ??)

6

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

(1)当 a ?

1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; 2

(2)若对任意 x ?[2, ??),
18.已知函数

f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

f ( x) ? 1 ? 2a x ? a? x (a ? 1)

(1)求函数 f ( x ) 的值域; (2)若 x ?[?2,1] 时,函数 f ( x ) 的最小值为 ?7 ,求 大值。

a 的值和函数 f ( x) 的最

19.对于定义域为 D 的函数

y ? f ( x) ,若同时满足下列条件:① f ( x) 在 D 内单调递

增或单调递减;②存在区间[ a , b ] ? D ,使 f ( x) 在[ a , b ]上的值域为[ a , b ];那 么把 y ? f ( x) ( x ? D )叫闭函数。
3 ( 1)求闭函数 y ? ? x 符合条件②的区间[ a , b ];

(2)判断函数 f ( x) ?

3 1 x ? ( x ? 0) 是否为闭函数?并说明理由; 4 x

(3)判断函数 y ? k ? 围。

x ? 2 是否为闭函数?若是闭函数,求实数 k 的取值范

7

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

答案
一、选择题 1.A2.C3.A4.D5.A6.D 7.B8.B9.B10.D11.A 二、填空题 12.10,-1 13.-2,-3 14.13

15.100 + 25 3 ,100 – 25 3 。 三、解答题 16.解析:设 x1

? x2 ? ? 0,1? 则
1 1 ? x2 ? x1 x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?

x2 ? x1 x1 x2

? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? x1 x2 ? ? x x ? 1? ? ? x1 ? x2 ? 1 2 x1 x2

x1 ? x2

x1 ? x2 ? 0

x1x2 ? ? 0,1?

x1 x2 ? 0

x1 x2 ?1 ? 0 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?
1 ? f ? x ? ? x ? 在区间 ? 0,1? 上是减函数。 x
17.解析: (1)当

a?

1 x 2 ? 3x ? 1 1 ? x? ?3 时, f ( x) ? 2 x x

易证 y ? f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数(须证明一下)

1 11 ? f ( x) min ? f (2) ? 2 ? ? 3 ? 2 2
(2)由 f ( x) ? 0 有

x 2 ? 3 x ? 2a ? 0 对 x ?[2, ??) 恒成立 x

8

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

? 2a ? ? x2 ? 3x
令 g ( x) ? ? x2 ? 3x x ?[2, ??)

? g ( x)max ? f (2) ? ?10 [来源:学,科,网]
? 2a ? ?10 即 a ? ?5
(另有讨论法求和函数最值法求)
18.解析:设

a x ? t ? 0 ? y ? ?t 2 ? 2t ? 1 ? ?(t ? 1)2 ? 2

( 1 )? t ? ?1? (0, ??) ? y ? ?t 2 ? 2t ? 1 在 (0, ??) 上是减函数 ? y ? 1 所以值域为 (??,1) (2)? x ? [?2,1] a ? 1 ? t ? [

1 , a] a2

由 t ? ?1 ? [

1 , a] a2 1 , a ] 上是减函数 a2

所以 y ? ?t ? 2t ? 1 在 [
2

?a2 ? 2a ? 1 ? ?7 ?a ? 2 或 a ? ?4 (不合题意舍去)
当t ?

1 1 ? 时 y 有最大值, a2 4

即 ymax ? ?( ) ? 2 ?
2

1 4

1 7 ?1 ? 4 16

?b ? ?a 3 ? ?a ? ?1 3 19.解析: (1)由 题意, y ? ? x 在[ a , b ]上递减,则 ?a ? ?b 3 解得 ? ?b ? 1 ?b ? a ?
所以,所求的区间为[-1,1]

9

东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005

(2)取 x1 ? 1, x2 ? 10, 则 f ( x1 ) ? 函数。 取 x1 ?

7 76 ? ? f ( x 2 ) ,即 f ( x) 不是 (0,??) 上的减 4 10

1 1 3 3 , x2 ? , f ( x1 ) ? ? 10 ? ? 100 ? f ( x 2 ) , 10 100 40 400

即 f ( x) 不是 (0,??) 上的增函数 所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数。 (3) 若 y?k?

x ? 2 是闭函数,则存在区间[ a , b ],在区间[ a , b ]上,函数 f ( x)

? ?a ? k ? a ? 2 ? 的值域为[ a , b ],即 ?b ? k ? b ? 2 ,? a, b 为方程 x ? k ? x ? 2 的两个实 ?

根, 即方程 x ? (2k ? 1) x ? k ? 2 ? 0( x ? ?2, x ? k ) 有两个不等的实根。
2 2

? ? ?? ? 0 ?? ? 0 ? ? 9 当 k ? ?2 时,有 ? f (?2) ? 0 ,解得 ? ? k ? ?2 。当 k ? ?2 时,有 ? f ( k ) ? 0 , 4 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? ? ? ?2 ?k ? 2 ? 2
无解。 综上所述, k ? ( ?

9 , ?2] 。 4

10


相关文章:
5东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的单调性....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005 函数的单调性与最值(教案)A 一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 27 页第 32 页) 1、 ...
5东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的单调性....doc
5东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的单调性与最值B_数学_高中教育.
5东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的单调性....doc
5东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的单调性与最值A - 2012-2
5东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的单调性....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 005A 函数的单调性与最值(教案)A 一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 27 页第 32 页) 1、 ...
2014-2015东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数....doc
2014-2015东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的单调性与最值_数
东北师范大学附属中学2015届高三文科数学第一轮复习导....doc
东北师范大学附属中学2015届高三文科数学第一轮复习导学案函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 005...
9东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--对数与对数函数A.doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 009A 对数与对数函数(学案)A 一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 62 页第 76 页) 1、 对数与...
51东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--抛物线A.doc
51东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--抛物线A - 东北师大附中 2012
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--集合及其运算A.doc
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--集合及其运算A - 东北师大附中 201
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数专题--抽....doc
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数专题--...(2)判断函数 f(x)的单调性。 (3)若 f(1)=-...(a2 + a ? 5)<9. 11、函数 f(x)是定义在(...
15东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--导数的应用(....doc
15东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--导数的应用(1)A_数学_高中教育_...通过函数的单调性与最值来证明不 等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、...
22东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--解三角形A.doc
22东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--解三角形A - 东北师大附中 201
6东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的奇偶性....doc
6东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的奇偶性A 隐藏>> 东北师大附中...x (5) 、f(x)=g(|x|)为偶函数; 二、题型探究 [探究一]:判断函数的...
东北师范大学附属中学2015届高三文科数学第一轮复习导....doc
2 东北师大附中 2014-2015 高三数学(文)第一轮复习导学案 011 探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题 例 5:已知 , ,且 <1,则 x 的取值范围是 ...
62东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-推理与证明B_....doc
62东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-推理与证明B - 东北师大附中 201
9东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--对数与对数函数A.doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 009A 对数与对数函数 A 一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 62 页第 76 页) 1、 对数与对数的...
71东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数专题--....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 071A 20013 高考数学总复习---函数专题-抽象函数一、例 题选讲 1、已知 f(2x )定义域是(1,2) ...
27东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--数列(五)数....doc
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 025A 数列() 一、知识梳理: 1、特殊数列的前 n 项公式 (1) 、等差数列求和公式: 数列求和(教案...
44东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-空间向量及应....doc
44东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-空间向量及应用(理)A - 东北师大附
12东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数与方程B.doc
12东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数与方程B - 东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 012 函数与方程 A 一、知识梳理: (阅读...
更多相关标签: