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河北省衡水中学11—12学年高一下学期三调考试(数学理)

2011—2012 学年度第二学期三调考试 高一年级数学(理科)试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答
案的序号填涂在答题卡上) 1、cos600°的值等于( ).

A. 3 2

B.- 1 2

2、下列命题中,正确的是( )

? ? ??
A. a? b ? a b

C. ? 2 2

D.- 3 2

??

? ? ??

B.对于任意向量 a, b, 有 a ? b ? a? b

??

?? ?

?

??

?? ??

C.若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ? b D.对于任意向量 a, b, 有 a? b ? a? b

3、设 a ? 1 cos 6? ? 3 sin 6?, b ? 2 tan13? , c ? 1 ? cos 50? ,则 a、b、c 的大小顺序

2

2

1 ? tan 2 13?

2

是( )

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a

4、记 cos(?80?) ? k, 那么tan 80? = ( )

A. 1? k 2 k

B. ? 1? k 2 k

C. k 1? k2

D. ? k 1? k2

5、若 0<?<? 2

,-? 2

<?<0



cos(? 4

??

)

?

1 3



cos(? 4

?

? 2

)

?

3 ,则 cos(? ? ? ) ? (

3

2



A. 3 3

B. ? 3 3

C. 5 3 9

D. ? 6 9

?

?

?

?

?

6、设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知 (DB? DC? 2 DA) ? ( AB? AC) ? 0, 则△ABC

的形状是( )

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等边

三角形

7、已知函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) ( x ? R, A ? 0,? ? 0,| ? |? ? )的图象 2

(部分)如图所示,则 f (x) 的解析式是

()

A. f (x) ? 2sin(?x ? ? )(x ? R) 6
C. f (x) ? 2sin(?x ? ? )(x ? R) 3

B. f (x) ? 2sin(2?x ? ? )(x ? R) 6
D. f (x) ? 2sin(2?x ? ? )(x ? R) 3

?

?

??

8、设向量 a ? (cos 55?,sin 55?), b ? (cos 25?,sin 25?), 若 t 是实数,则 a? t b 的最小值为( )

A. 2

B. 2

C.1

2

D. 1 2

?

?

?

?

9、设 O 为△ABC 的外心,平面上的点 P 使 OP ? OA? OB? OC ,则点 P 是 △ABC 的( )

A.外心

B.垂心

C.内心

D.重心

10、扇形 OAB 的半径为 2,圆心角 ?AOB ? 600 ,点 D 是弧 AB 的中点,点 C 在线段 OA 上,且

??
OC ? 3 ,则 CD?OB 的值为( )

A. 2 3

B. 3 3

C. 3

D. 2

?

?

??

???

??

11、已知方程 a x2 ? b x ? c ? 0, 其中 a、b、c 是非零向量,且 a、b 不共线,则该方程( )

A.至少有一个解

B.至多有一个解

C.至多有两个解

D.可能有无数个解

12、如图,半径为 2 的⊙ M 切直线 AB 于 O 点,射线 OC 从 OA出发绕着 O 点顺时针方向旋转到 OB .旋转过程中, OC 交⊙ M 于 P,记 ?PMO为 x ,弓形 PNO的面积为

S ? f (x) ,那么 f (x) 的图象是(



A

B

C

D

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13、已知点 A(1,1)、B(2,3),在直线 AB 上取一点 P,使 AP ? 2 PB, 则 P 点坐标为_________.

14 、 已 知 t a n?, t a n? 是 方 程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的 两 根 , 且 0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? , 则

? ? ? ? _____.

15、观察以下各式: sin2 10o ? cos2 40o ? sin10o cos40o ? 3 4

sin2 30o ? cos2 60o ? sin30o cos60o ? 3 4
sin2 45o ? cos2 75o ? sin 45o cos75o ? 3 4

分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的一个等式

.

16、如图,点 O

为△

ABC 的边

BC 的中点,若

?
AP

?

3

?
AO



4



P

任作一直线交

AB

,

AC

分别于

M



N

,且

?
AB

?

u

?
AM,

?
AC

?

?

?
AN,

则?

?

u

?

三、 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,其余每个均 12 分,解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置)
17、(满分 10 分) (1)求 sin 50o (1 ? 3 tan10o ) 值;

(2)求证 cos 2 ? ? cos 2 (? ? ? ) ? 2 cos ? cos ? cos(? ? ? ) 的值与? 无关。
18、(满分 12 分)
已知 O(0,0) ,A(3,0),B(0,3),C (cos ?,sin ?) (1) AC ? BC ? ?1 ,求 sin 2? 的值; (2)若|OA ? OC |? 13 ,有? ?(0,? ) ,求OB 与OC 的夹角.

19、(满分 12 分) 如图:在平面直角坐标系中 C(-3,4),点 B 在第三象限,

y C

BC 交 x 轴于点 A, ?BOC ? 120 , | BC |? 7 ,
(1)求 |OB | ;

A

o

x

(2)记 ?AOC ? ?, , ?BOA ? ? .(?, ? 为锐角),求 sin ? 的值.

B

20、(满分 12 分)
如图,在Δ ABC 中,| AB |? 3,| AC |? 1, l 为 BC 的垂直平分线且交 BC 于点 D,E 为 l 上异于 D 的
任意一点,F 为线段 AD 上的任意一点。
(1)求 AD ? ( AB ? AC) 的值; (2)判断 AE ? ( AB ? AC) 的值是否为一常数,并说明理由;
(3)若 AC ? BC,求AF ? (FB ? FC ) 的最大值。

21、(满分 12 分)

已知向量

a?

?

(c os 3

x, sin

3

? x),b

?

(cos

x

,? sin

x ),且x

?[0,

?

],求

22

22

2

(Ⅰ)

a?

?

? b及

|

a?

?

? b

|



(Ⅱ)若

f

(x)

?

a?

? ?b

?

2?

|

a?

?

? b

| 的最小值是 ?

3

,求实数 ?

的值.

2

22、(满分 12 分)
已知向量 a ? (sin x,cosx),b ? ( 3 cosx,cosx) 且 b ? 0 ,函数 f (x) ? 2a ? b ?1 (1)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间;
(2)若 a // b ,分别求 tan x 及 cos 2x 的值 f (x) ?1

2011—2012 学年度第二学期三调考试

高一年级数学(理科)试卷答案

一、B B B A C B A D B C B A

二、13、 (5 , 7) 或(3,5); 33

14、 5? ; 6

15、答案: sin2 ? ? cos2 (? ? 30o ) ? sin? cos(? ? 30o ) ? 3 , 4
(形式不唯一)本题是开放型问题,反应一般规律的等式还可以是
sin2 ? ? cos2 ? ? sin? cos? ? 3 , 其中? - ? ? 30o 4
sin2 (30o ? ?) ? cos2 ? ? sin(30o ? ?) cos? ? 3 等等 4
16、 8 3
17、解:

sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? sin 50o (cos 10o ? 3 sin 10o ) ? sin 50o 2 sin 40o ? sin 80o ? 1

(1)

cos 10o

cos 10o

cos 10o

…………5 分

(2) cos 2 ? ? cos 2 (? ? ? ) ? 2 cos ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin 2 ? (提示:利用公式化为单角的三

角函数)…………10 分. 18、解

19、解(1)∵C(-3,4),∴|OC|=5,在三角形 OBC 中, BC ?OC ?OB ,所以| BC |?|OC ? OB | ,

即 | BC |2 ?|OC |2 ? |OB |2 ?2 |OB | ? |OC | cos 120o

解得 |OB |? 3 ,……………6 分

(2)由三角函数定义知 sin? ? 4 , cos? ? 3 ,又 ? ? 120 0 ? ? ,

5

5

所以 sin ? ? sin(1200 ? ? ) ? sin1200 cos ? ? cos1200 sin ? ? 4 ? 3 3 . ………12 分 10

20、(1) AD ? (AB ? AC) ? 1 ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 1 (| AB |2 ? | AC |2) ? 4

2

2

(2) AE ? ( AB ? AC) ? ( AD ? DE) ? ( AB ? AC)

? AD ? ( AB ? AC) ? DE ? ( AB ? AC) ? AD ? (AB ? AC) ? 4

((32))当AEAC? (

A?BB?CA时C,)B?C(?AD2

? DE) ? 2, AD

( AB ? ?3

AC)

?AFAD? (F? (BA?BF?CA)C?) ?AFD?E2?F(DAB??2(AACF) ??FADD) ? (AB ? AC) ? 4

(?3)2当| AAFC||?FBDC|时co,sB0C??2 2| AF2,||AFDD?| 3

设AF|

?A(FFB|??xF, 则C )|

? AF ? FD |?

2FD 3?

? x

2(

AF

?

FD)

? 2 | AF || FD | cos 0 ? 2 | AF || FD |

?设A| FAF? (F|?Bx?,则FC| F)D? |2?x( 33??xx) ? ?2(x ?

3)2 ? 3 22

?当AFx ??(FB3?时F,CA)F?? (2FxB( ?3F?Cx))的?最?2大(x值?为33)2 ? 3

2

22 2

?当x ? 3 时, AF ? (FB ? FC)的最大值为 3

2

2

(评分标准(1)3 分(2)4 分(3)5 分)

21、解:(Ⅰ) a·b= cos 3 x ? cos x ? sin 3 x ? sin x ? cos2x,

2

22

2

………2 分

| a+b|= (cos 3 x ? cos x )2 ? (sin 3 x ? sin x )2 ? 2 ? 2 cos 2x ? 2 cos2 x

2

2

2

2

∵ x ?[0, ? ] , ∴ cosx ? 0, ∴|a+b|=2cosx. 2

………5 分

(Ⅱ) f (x) ? cos2x ? 4? cosx,

即 f (x) ? 2(cos x ? ?)2 ?1 ? 2?2.

--------------7 分

∵ x ?[0, ? ] , ∴ 0 ? cosx ? 1. 2
1?、 当? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0时, f (x) 取得最小值-1,这与已知矛盾.

1??、 当0 ? ? ? 1时,当且仅当 cos x ? ?时, f (x) 取最小值 ?1? 2?2.

由已知得 ?1 ? 2?2 ? ? 3 ,解得 ? ? 1 .

2

2

1???、 当? ?1时,当且仅当 cos x ? 1时, f (x) 取得最小值1 ? 4? ,

由已知得1 ? 4? ? ? 3 ,解得 ? ? 5 ,这与 ? ? 1相矛盾.

2

8

综上所述, ? ? 1 为所求.--------------12 分 2

22、解(1) f (x ) ? 2a ?b ?1 ? 2( 3 cosx sin x ? cos2 x ) ?1 ? 2sin(2x ? ? ) ?1 6

所以最小正周期是? ,单调增区间

???k?

?

? 3

, k?

?

? 6

? ??

(2) 由 a // b 得 sin x cos x ? 3 cos 2 x ,所以 cosx ? 0 (舍)或 tan x ? 3 ,

所原式以 =

cos 2x

?

cos 2 x ? sin 2 x

? 1 ? tan 2 x ? ? 1

2( 3 cos x sin x ? cos 2 x ) 2( 3 cos x sin x ? cos 2 x ) 2( 3 tan x ? 1) 4