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试题题库-—常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷(1) 一、 填空题(30%) ?x 1 、 方 程 M ( x, y) d ( N ( ,x ) y ? d有 y 0只 含 x 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 ) 。有只含 y 的积分因子的充要条件是______________。 2、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。 3、__________________称为伯努利方程,它有积分因子_________。 4、若 X1(t ), X 2 (t ), , X n (t ) 为 n 阶齐线性方程的 n 个解,则它们线性无关的充要 条件是__________________________。 5、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ' 6 、 若 ? (t ) 和 ? (t ) 都 是 x ? A(t ) x 的 基 解 矩 阵 , 则 ? (t ) 和 ? (t ) 具 有 的 关 系 是 _____________________________。 7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时,零解是稳 定的,对应的奇点称为___________。 二、计算题(60%) 3 1、 ydx ? ( x ? y )dy ? 0 2、 x?? ? x ? sin t ? cos2t ??1 ? ? 2 1? A?? ? ( t ), ? (0) ? ? ? ?? ? ? ? ?1 4? 试求方程组 x? ? Ax 的解 ? 2 ? 并求 expAt 3、若 dy 3 dy ) ? 4 xy ? 8 y 2 ? 0 dx 4、 dx ( dy ? x ? y2 5、求方程 dx 经过(0,0)的第三次近似解 dx dy ? ? x ? y ? 1, ? x ? y ? 5 dt 6.求 dt 的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题(10%) 1、 n 阶齐线性方程一定存在 n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 ?M ?N ? ?y ?x ? ? ( x) N 1、 2、 3、 ?M ?N ? ?y ?x ? ? ( y) ?M y? y?z dy ? p ( x ) y 2 ? Q( x ) y ? R ( x ) dx dy ? p ( x ) y ? Q( x ) y n dx u( x, y) ? y ?ne? ( n?1) p ( x ) dx 4、 w[ x1(t ), x2 (t ), , xn (t )] ? 0 xn dny d n?1 ? a ? 1 dx n dx n?1 ? an?1 dy ? an y ? 0 dx 5、 6、? (t ) ? ? (t )C 7、零 二计算题 ?M ?N ? 1, ? ?1 ?y ?x 稳定中心 1、解:因为 ,所以此方程不是恰当方程,方程有积分因子 ? ln y 2 ? ( y) ? e ? ? y dy 2 ?e 1 dx x ? y 3 1 ? dy ? 0 ? 2 2 y2 y ,两边同乘 y 得 y x? ? ? 3 ? ?x ? y 1 y? dx ? ? ? ?dy ? c ? y ? ? y2 ?y ? ? ? ? ? 所以解为 x y2 ? ?c 2 y 2 即 2 x ? y ( y ? c) 另外 y=0 也是解 2 2、线性方程 x?? ? x ? 0 的特征方程 ? ? 1 ? 0 故特征根 ? ? ?i f1(t ) ? sin t ? ? i 是特征单根,原方程有特解 x ? t( Acos t ? B sin t )代入原方程 1 A=- 2 B=0 f2 (t ) ? ? cos2t A? ? ? 2i 不 是 特 征 根 , 原 方 程 有 特 解 1 3 B=0 x ? Acos2t ? B sin 2t 代入原方程 1 1 x ? c1 cos t ? c2 sin t ? t cos t ? cos2t 2 3 所以原方程的解为 p (? ) ? 3、解: ? ?2 1 ?1 ? ? 2 ? 6? ? 9 ? 0 ? ?4 解得 ?1,2 ? 3 此时 k=1 n1 ? 2 1 i ? ??1 ? ??1 ? t (??1 ? ?2 ) ? t ??1 ? 3t ? ? ? ? ? ? v ? (t ) ? e ?? ( A ? 3E )i ? ? ? ? e3t ? ? ??2 ? t (??1 ? ?2 )? ??2 ? ? i?0 i! ? ??2 ? n?1 i t e ? t ? ( A ? ? E )i i ?0 i ! 由公式 expAt= 得 ??1 0? ??1 1? ? 3t ?1 ? t t ? exp At ? e3t ? E ? t ( A ? 3E )? ? e3t ?? ? t ? e ? ? ? ? ? ?t 1 ? t ? ? ? ??0 1? ??1 1? ? ? dy ? 2 ? ? ? 8y dx x?? ? p3 ? 8 y 2 dy dy x? ?p 4y 4 yp (*) dx 4、解:方程可化为 令 dx 则有 3 (*)两边对 y 求导: 2 y ( p3 ? 4 y 2 ) dp ? p(8 y 2 ? p3 ) ? 4 y 2 p dy 即 ( p3 ? 4 y 2 )(2 y dp dp 1 p ? p?0 ? p) ? 0 2 y y ? ( )2 2 dy c 将 y 代入(*) 由 dy 得 p ? cy 即 ? c2 2 p x? ? 2 ? ? 4 c ? 2 c 2p ? y ? ( p )2 x? ? 2 4 c 即方程的 含参数形式的通解为: ? c ? p 为参数 又由 p ? 4 y ? 0 得 p 3 2 1 2 3 ? (4 y ) 代入(*)得

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