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云南省德宏州芒市第一中学高中数学 2.2椭圆教学设计 新人教A版选修2-1


2.2





2.2.1 椭圆及其标准方程 ◆ 知识与技能目标 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程 的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方 法. . ◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时, 观察平面截圆锥的截口曲线 (截面与圆锥侧 面的交线) 是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平 行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把 圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当 学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究 P41 页上的问题(同桌的两位同学准 备无弹性的细绳子一条(约 10cm 长,两端各结一个套) ,教师准备无弹性细绳子一条(约 60cm,一端结个套,另一端是活动的) ,图钉两个) .当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画 出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条 件是什么?〖板书〗2.1.1 椭圆及其标准方程. (2)新课讲授过程 (i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义. 〖板书〗把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹 叫做椭圆 (ellipse) . 其中这两个定点叫做椭圆的焦点, 两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 即 当动点设为 M 时,椭圆即为点集 P ? M | MF1 ? MF2 ? 2a . (ii)椭圆标准方程的推导过程 提问: 已知图形, 建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、 充分利用图形的对称性; 第二、注意图形的特殊性和一般性关系. 无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量 b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、 a , b, c 的关系有明显的几何 意义.

?

?

y2 x2 类比:写出焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? . a b
(iii)例题讲解与引申 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ? 标准方程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a , b, c .引导学生用其他方 法来解.

?5 3? , ? ? ,求它的 ?2 2?

1

另解:设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ?5 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,因点 ? , ? ? 在椭圆上, 2 a b ?2 2?

9 ? 25 ? 2 ? 2 ?1 ? ?a ? 10 则 ? 4a . ?? 4b ?b ? 6 ?a 2 ? b 2 ? 4 ? ?
例 2 如图,在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 分析: 点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上运动, 由点 P 移动引起点 M 的运动, 则称点 M 是点 P 的伴随点,因点 M 为线段 PD 的中点,则点 M 的坐标可由点 P 来表示,从而能求点 M 的 轨迹方程. 引申:设定点 A? 6,2? , P 是椭圆 程. 解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设 M ? x, y ? , P ? x1 , y1 ? ;②(点与伴随点的关 系)∵ M 为线段 AP 的中点,∴ ?

x2 y 2 ? ? 1 上动点,求线段 AP 中点 M 的轨迹方 25 9

? x1 ? 2 x ? 6 ;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹) ,∵ ? y1 ? 2 y ? 2
2 2

x12 y12 ? x ? 3? ? y ? 1? 1 ? ? 1 ,∴点 M 的轨迹方程为 ? ? ;④伴随轨迹表示的范围. 25 9 25 9 4
例 3 如图,设 A , B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ? 5,0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M , 且它们的斜率之积为 ?

4 ,求点 M 的轨迹方程. 9

分析:若设点 M ? x, y ? ,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x , y 的式 子表示,由于直线 AM , BM 的斜率之积是 ? 的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. 解 法 剖 析 : 设 点 M ? ,x

4 ,因此,可以求出 x , y 之间 9 y ? x ? ?5 ? , x?5

? y,

则 k AM ?

y ? x ? 5? ; x?5 y y 4 ? ? ? ,化简即可得点 M 的轨迹方程. 代入点 M 的集合有 x?5 x?5 9 k BM ?

引 申 : 如 图 , 设 △ ABC 的 两 个 顶 点 A ? ?a,0? , B ? a,0? , 顶 点 C 在 移 动 , 且
2

k AC ? kBC ? k ,且 k ? 0 ,试求动点 C 的轨迹方程.
引申目的有两点: ①让学生明白题目涉及问题的一般情形; ②当 k 值在变化时, 线段 AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴. ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示 与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线, 是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名; 必须让学生认同与体会: 椭圆的定义及特殊情 形当常数等于两定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直 角坐标系的两个原则,及引入参量 b ?

a2 ? c2 的意义,培养学生用对称的美学思维来体

现数学的和谐美;让学生认同与领悟:例 1 使用定义解题是首选的,但也可以用其他方法来 解, 培养学生从定义的角度思考问题的好习惯; 例 2 是典型的用代入法求动点的伴随点的轨 迹,培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题;通过例 3 培养学生的对问 题引申、分段讨论的思维品质. ◆能力目标 (1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和 抛物线的实际例子,能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义,能正确且直 观地绘作图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问 题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径. 练习:第 45 页 1、2、3、4、 作业:第 53 页 2、3、

2.1.2 ◆ 知识与技能目标

椭圆的简单几何性质

3

了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、 离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题 ;通过例题了 解椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义. . ◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意 通过对椭圆的标准方程的讨论,研 究椭圆的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研 究方法的培养. ①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围; ②由方程的性质 得到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短 轴的概念;④通过 P48 的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§2.1.2 椭圆的简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和 位置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)椭圆的简单几何性质 ①范围:由椭圆的标准方程可得,

y2 x2 ? 1 ? ? 0 ,进一步得: ? a ? x ? a ,同理 b2 a2

可得: ?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭 圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点 叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴 叫做长轴,较短的叫做短轴; ④ 离 心率 : 椭 圆的 焦 距与 长 轴长 的比 e ?

c 叫 做 椭 圆的 离 心率 ( 0 ? e ? 1 ) , a

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? . ? ?椭圆图形越扁 ?椭圆越接近于圆
(iii)例题讲解与引申、扩展 例 4 求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
2 2

分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a , b, c .引导学生用椭圆的长轴、 短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量. 扩展:已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0? 的离心率为 e ?
2 2

10 ,求 m 的值. 5

解法剖析:依题意,m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:

4

①当焦点在 x 轴上,即 0 ? m ? 5 时,有 a ? 5, b ?

m, c ? 5 ? m ,∴

5?m 5

?

2 5



得 m ? 3 ;②当焦点在 y 轴上,即 m ? 5 时,有 a ?

m, b ? 5 , c ?

m? 5, ∴

m?5 m

?

10 25 . ?m? 5 3

例 5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F 1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆 一个 焦点 F 1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F 1 F2 ,

F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在 椭圆的方程.
解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的 a 2 b2

值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上 在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定 轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭 圆,近地点 A 距地面 200 km ,远地点 B 距地面 350 km ,已知 地球的半径 R ? 6371km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆 的轨迹方程. 例 6 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l : x ?

25 的距离的比是常数 4

4 ,求点 M 的轨迹方程. 5
分 析 : 若 设 点 M ? x, y ? , 则 M F ?

?

2 ,到直线 l : x ? x ?4? ? y 2

25 的距离 4

d ? x?

25 , 则容易得点 M 的轨迹方程. 4

引申: (用 《几何画板》 探究) 若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c,0?

a2 的距离和它到定直线 l : x? 的距离比是常数 c
e? c a2 l x ? , 则点 的轨迹方程是椭圆. 其中定点 是焦点, 定直线 : a ? c ? 0 F c ,0 M ? ? ? ? a c

5

相应于 F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点 F ? ? ?c,0? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ?

a2 . c

◆ 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探 究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界 观,激励学生创新.必须让学生认同和掌握:椭圆的简单几何性质,能由椭圆的标准方程能 直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立 直角坐标系的两个原则,①充分利用图形对称性,②注意图形的特殊性和一般性;必须让学 生认同与熟悉:取近似值的两个原则:①实际问题可以近似计算,也可以不近似计算,②要 求近似计算的一定要按要求进行计算, 并按精确度要求进行, 没有作说明的按给定的有关量 的有效数字处理; 让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题, 培养学生学习数学的 兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能. ◆能力目标 (1) 分析与解决问题的能力:通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问 题和解决问题的能力. (2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为 几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生 的辩证思维能力. (3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力. (4) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决 问题的一般的思想、方法和途径. 练习:第 52 页 1、2、3、4、5、6、7 作业:第 53 页 4、5

补充: 1.课题:双曲线第二定义 学法指导:以问题为诱导,结合图形,引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.

复习回顾

问题推广

引出课题

归纳小结

课堂练习

典型例题

教学目标 知识目标:椭圆第二定义、准线方程; 能力目标:1 使学生了解椭圆第二定义给出的背景;

6

2 了解离心率的几何意义; 3 使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义; 4 使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用; 5 使学生掌握椭圆第二定义的简单应用; 情感与态度目标:通过问题的引入和变式,激发学生学习的兴趣,应用运动变化的观点看待 问题,体现数学的美学价值. 教学重点:椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程; 教学难点:椭圆的第二定义的运用; 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取 的精神. 教学过程: 学生探究过程:复习回顾 1.椭圆 9 x 2 ? y 2 ? 81的长轴长为 18 ,短轴长为 6 ,半焦距为 6 2 ,离心率为
2 2 , 3

焦点坐标为 (0,?6 2 ) ,顶点坐标为 (0,?9) (?3,0) , (准线方程为 y ? ?

27 2 ). 4

2.短轴长为 8,离心率为

3 的椭圆两焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F1 作直线 l 交椭圆于 A、B 5
.

两点,则 ?ABF2 的周长为 20 引入课题

【习题 4(教材 P50 例 6) 】椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,M1,M2 为椭圆上的点 25 16

① 求点 M1(4,2.4)到焦点 F(3,0)的距离 2.6 . ② 若点 M2 为(4,y0)不求出点 M2 的纵坐标,你能求出这点到焦点 F(3,0)的距离吗?

169 13 4 2 y0 2 解: | MF |? (4 ? 3) ? y 且 ? ? 1 代入消去 y 0 得 | MF |? ? 25 16 25 5
2 2 0

2

【推广】你能否将椭圆

x2 y2 ? ? 1上任一点 M ( x, y) 到焦点 F (c,0)(c ? 0) 的距离表示成 a2 b2

点 M 横坐标 x 的函数吗? 解 :

?| MF |? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2 2 2









y2



b2 2 c | MF |? x ? 2cx ? c ? b ? 2 x ? ( x ? a) 2 a a
?| c c a2 a2 x ? a |? | x ? |? e | x ? | a a c c
7

问题 1:你能将所得函数关系叙述成命题吗?(用文字语言表述) 椭圆上的点 M 到右焦点 F (c,0) 的距离与它到定直线 x ?

a2 c 的距离的比等于离心率 a c

问题 2:你能写出所得命题的逆命题吗?并判断真假?(逆命题中不能出现焦点与离心率) 动点 M 到定点 F (c,0) 的距 离与它到定直线 x ? 轨迹是椭圆. 【引出课题】椭圆的第二定义

c a2 的距离的比等于常数 ( a ? c ) 的点的 a c

c (0 ? e ? 1) 时, 这 a 个点的轨迹是椭圆.定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率.
当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ? 对于椭圆

a2 x2 y2 x ? ? ? 1 F ( c , 0 ) ,相应于焦点 的准线方程是 .根据对称性,相应于焦 c a2 b2

y2 x2 a2 a2 点 F ?(?c,0) 的准线方程是 x ? ? .对于椭圆 2 ? 2 ? 1 的准线方程是 y ? ? . c c a b
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比, 这就是离心率的几 何意义. 由 椭 圆 的 第 二 定 义 ?

| MF | ?e 可 得 : d

右 焦 半 径 公 式 为

| MF右 |? ed ? e | x ?
典型例题 例 1、求椭圆

a2 a2 |? a ? ex ;左焦半径公式为 | MF左 |? ed ? e | x ? (? ) |? a ? ex c c

x2 y2 ? ? 1 的右焦点和右准线;左焦点和左准线; 25 16
a2 a2 ;左焦点 F (?c,0) 和左准线 x ? ? c c

解:由题意可知右焦点 F (c,0) 右准线 x ?
2 2

变式:求椭圆 9 x ? y ? 81方程的准线方程;

解:椭圆可化为标准方程为:

y2 x2 a2 27 2 ? ? 1 ,故其准线方程为 y ? ? ?? 81 9 c 4

小结:求椭圆的准线方程一定要化成标准形式,然后利用准线公式即可求出

x2 y2 ? ? 1 上 的 点 M 到 左 准 线 的 距 离 是 2 .5 , 求 M 到 左 焦 点 的 距 离 例 2、椭圆 25 16
为 . 变式:求 M 到右焦点的距离为 .

8

解:记椭圆的左右焦点分别为 F1 , F2 到左右准线的距离分别为 d1 , d 2 由椭圆的第二定义可 知:

| MF1 | | MF | 3 c 3 ?e | MF1 |? 1.5 ? e ? ? ?| MF1 |? ed 1 ? ? 2.5 ? 1.5 ? d 5 d1 a 5

又由椭的第一定义可知: | MF1 | ? | MF2 |? 2a ? 10? | MF2 |? 8.5 另解:点 M 到左准线的距离是 2.5,所以点 M 到右准线的距离为 2

a2 50 5 85 ? 2.5 ? ? ? c 3 2 6

?

| MF2 | 3 85 ? e? | MF2 |? ed 2 ? ? ? 8.5 d2 5 6

小结:椭圆第二定义的应用和第一定义的应用 例1、 点 P 与定点 A(2,0)的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1:2,求点 P 的轨 迹; 解法一: 设 P ( x, y ) 为所求轨迹上的任一点, 则 故所的轨迹是椭圆。 解法二:因为定点 A(2,0)所以 c ? 2 ,定直线 x ? 8 所以 x ?

( x ? 2) 2 ? y 2 1 x2 y2 ? 1, ? 由化简得 ? 16 12 | x ?8| 2
a2 ? 8 解得 a ? 4 ,又因 c

为e ?

c 1 x2 y2 ? 故所求的轨迹方程为 ? ?1 a 2 16 12

变式:点 P 与定点 A(2,0)的距离和它到定直线 x ? 5 的距离的比是 1:2,求点 P 的轨迹; 分析: 这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目, 那么能否用上面的两种方法 来解呢? 解 法 一 : 设 P ( x, y ) 为 所 求 轨 迹 上 的 任 一 点 , 则

( x ? 2) 2 ? y 2 1 ? 由化简得 | x ?5| 2

3x 2 ? 6x ? 4 y 2 ? 9 ? 0 配方得

( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 , 故所的轨迹是椭圆,其中心在( 1,0) 4 3 a2 ? 5 解得 a 2 ? 10 ,故 c

解法二:因为定点 A(2,0)所以 c ? 2 ,定直线 x ? 8 所以 x ?

x2 y2 ? ?1 所求的轨迹方程为 10 6
问题 1:求出椭圆方程

x2 y2 ( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 的长半轴长、短半轴长、半焦距、 ? ? 1和 4 3 4 3

9

离心率; 问题 2:求出椭圆方程

x2 y2 ( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 长轴顶点、焦点、准线方程; ? ? 1和 4 3 4 3

解: 因为把椭圆

x2 y2 ( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 所以问题 ? ? 1 向右平移一个单位即可以得到椭圆 4 3 4 3
3 , c ? 1, e ? c 1 ? a 2

1 中的所有问题均不变,均为 a ? 3, b ?

x2 y2 ? ? 1 长轴顶点、焦点、准线方程分别为: (?2,0) , (?1,0) x ? ?4 ; 4 3 ( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 长轴顶点、焦点、准线方程分别为: (?2 ? 1,0) , (?1 ? 1,0) x ? ?4 ? 1 ; 4 3
反思:由于是标准方程,故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆,而题目中有三个条 件,所以我们必须进行检验,又因为 e ?

1 c 2 ? 另一方面离心率就等于 这是两上矛盾 2 a 10

的结果,所以所求方程是错误的。又由解法一可知,所求得的椭圆不是标准方程。 小结:以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是 采用求轨迹方程的思路,但是这种方法计算量比较大; 解法二运算量比较小,但应注意到会不会是标准方程,即如果三个数据可以符合课本例 4 的关系的话,那么其方程就是标准方程,否则非标准方程,则只能用解法一的思维来解。 例 4、设 AB 是过椭圆右焦点的弦,那么以 AB 为直径的圆必与椭圆的右准线( ) A.相切 B.相离 C.相交 D.相交或相切 分析:如何判断直线与圆的位置关系呢? 解:设 AB 的中点为 M,则 M 即为圆心,直径是 |AB|;记椭圆的右焦点为 F,右准线为 l ; 过点 A、B、M 分别作出准线 l 的垂线,分别记为 d1 , d 2 , d 由梯形的中位线可知 d ?

d1 ? d 2 2

又由椭圆的第二定义可知

| AF | | BF | ?e ? e 即 | AF | ? | BF |? e(d1 ? d 2 ) d1 d2

又?

d ? d2 | AB | | AB | | AF | ? | BF | ? ? e? 1 且 0 ? e ? 1? d ? 故直线与圆相离 2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 的上任意一点, F1 、 F2 分别为左右焦点;且 A(1,2) 求 例 5、已知点 M 为椭圆 25 16
5 | MA | ? | MF1 | 的最小值 3 5 分析:应如何把 | MF1 | 表示出来 3
10

解:左准线 l1 : x ? ?

a2 25 ? ? ,作 MD ? l1 于点 D,记 d ?| MD | c 3
?

由第二定义可知: 故有 | MA | ?

| MF1 | c 3 ?e? ? d a 5

| MF1 |?

3 d ? 5

d?

5 | MF1 | 3

5 | MF1 |?| MA | ? d ?| MA | ? | MD | 3
25 3

所以有当 A、M、D 三点共线时,|MA|+|MD|有最小值: 1 ? 即 | MA | ?

5 28 | MF1 | 的最小值是 3 3

变式 1: 3 | MA | ?5 | MF1 | 的最小值; 解: 3 | MA | ?5 | MF1 |? 3( | MA | ?

5 28 | MF1 | ) ? 3 ? ? 28 3 3

3 | MA | ? | MF1 | 的最小值; 5 3 3 5 3 28 28 ? 解: | MA | ? | MF1 |? (| MA | ? | MF1 |) ? ? 5 5 3 5 3 5
变式 2:

M D A F

巩固练习

1

1.已知 是椭圆 的距离为_____________.

上一点,若

到椭圆右准线的距离是

,则

到左焦点

2.若椭圆

的离心率为

,则它的长半轴长是______________.

答案:1.

2.1 或 2

教学反思 1.椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程; 2.椭圆定义的简单运用; 3.离心率的求法以及焦半径公式的应用;
11

课后作业 1.例题 5 的两个变式;

2. 已 知



为椭圆

上的两点,

是椭圆的右焦点.若



的中点到椭圆左准线的距离是

,试确定椭圆的方程.

解:由椭圆方程可知

、两准线间距离为

.设



到右准线距离分别为



,由椭圆定义有 , 中点

,所以 到右准线距离为 ,于是

,则 到左准线距离为

, 思考:

,所求椭圆方程为



2 2 1.方程 2 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ?| x ? y ? 2 | 表示什么曲线?

解:

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 2 2 ? ? ? 1 ;即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比 | x? y?2| 2 2 2

常数(且该常数小于 1)? 方程表示椭圆 例Ⅱ、 (06 四川高考 15)如图把椭圆的长轴 AB 分成 8 等分,过每个等分点作 x 轴的垂线交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 P 1, P 2 ?P 7 七 个 点 , F 是 椭 圆 的 一 个 焦 点 , 则

| P1 F | ? | P2 F | ? ?? | P7 F | =
解法一: e ?

c 3 5 ? ,设 Pi 的横坐标为 x i ,则 xi ? ?5 ? i 不妨设其焦点为左焦点 a 5 4



| Pi F | c 3 a2 3 5 3 ? e ? ? 得 | Pi F |? e( x i ? ) ? a ? exi ? 5 ? ? (?5 ? i) ? 2 ? i d a 5 c 5 4 4
3 (1 ? 2 ? ? ? 7) ? 35 4

| P1 F | ? | P2 F | ? ? ? | P7 F |? 2 ? 7 ?

解法二:由题意可知 P 1 和 P 7 关于 y 轴对称,又由椭圆的对称性及其第一定义可知

| P1 F | ? | P7 F |? 2a ,同理可知 | P2 F | ? | P6 F |? 2a , | P3 F | ? | P5 F |? 2a , | P4 F |? a
故| P 1F | ? | P 2 F | ? ?? | P 7 F |? 7a ? 35
12

板书设计: 复习回顾 引入课题 问题: 推广: 椭圆第二定义

典型例题 1. 2. 3. 4. 5.

课堂练习: 课堂小结: 课后作业: 思考:

2. 椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 性质一:已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2

PF1 F2 中 ?F1PF2 ? ? , 则 S ?F1PF2 ? b 2 tan
? (2c) 2 ? F1 F2
2 2 2

?
2



? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ?

2 ? ( PF 1 ? PF 2 ) ? 2 PF 1 PF 2 (1 ? cos? )

? PF1 PF2 ?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 4c 2 2(1 ? cos? )

?

4a 2 ? 4c 2 2b 2 ? 2(1 ? cos? ) 1 ? cos?

? S?F1PF2

1 b2 ? ? PF1 PF2 sin ? ? sin ? ? b 2 tan 2 1 ? cos ? 2 x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 左右两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2

性质二:已知椭圆方程为

PF1 F2 ,若 ?F1 PF2 最大,则点 P 为椭圆短轴的端点。
证明:设 P( xo , yo ) ,由焦半径公式可知: PF 1 ? a ? exo , PF 1 ? a ? exo 在 ?F1 PF2 中, cos? ?

PF1 ? PF1 ? F1 F2 2 PF1 PF2

2

2

2

?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 ? 4c 2 2 PF1 PF2
13

?
? ?a ? x0 ? a

2b 2 4a 2 ? 4c 2 4b 2 ?1 ?1 ? ?1= 2 2 2 PF1 PF2 2(a ? exo )(a ? exo ) a ? e 2 xo
2 ? xo ? a2

性质三:已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2

PF1 F2 中 ?F1 PF2 ? ? , 则 cos? ? 1 ? 2e 2 .
证明:设 PF 1 PF 2 中,由余弦定理得: 1 ?r 1 , PF 2 ? r2 , 则在 ?F

r 2 ? r22 ? F1 F2 (r ? r ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 2a 2 ? 2c 2 cos? ? 1 ? 1 2 ? ?1 2r1r2 2r1r2 2r1r2
? 2a 2 ? 2c 2 2a 2 ? 2c 2 ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2e 2 . 2 r ?r 2a 2( 1 2 ) 2 2
命题得证。

2

(2000 年高考题)已知椭圆
0

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上存在 a2 b2

一点 P, 使得 ?F1 PF2 ? 120 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。 简解:由椭圆焦点三角形性质可知 cos120 ? 1 ? 2e . 即 ?
0 2

1 ? 1 ? 2e 2 2

,

于是得到 e 的取值范围是 ?

? 3 ? ,1? ?. 2 ? ?

性质四:已知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a2 b2
sin(? ? ? ) 。 sin ? ? sin ?

PF1 F2 , ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则椭圆的离心率 e ?
?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,
由正弦定理得:

F 1F2 sin(180o ? ? ? ? )
?

?

PF2 sin ?

?

PF1 sin ?

由等比定理得:

F 1F2 sin(? ? ? )

PF 1 ? PF2 sin ? ? sin ?

14



F 1F2 sin(? ? ? )

?

PF 1 ? PF2 2c 2a , ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin ? sin ? ? sin ?



e?

c sin(? ? ? ) 。 ? a sin ? ? sin ?

已知椭圆的焦点是 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和| PF2|的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠PF1F2=120°,求 tanF1PF2.

解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2| ∴2a=4,又 2c=2,∴b= 3 ∴椭圆的方程为

x2 y2 ? =1. 4 3

(2)设∠F1PF2=θ ,则∠PF2F1=60°-θ

? 椭圆的离心率 e ?

1 2



1 sin(180o ? ? ) ? ? 2 sin 120o ? sin(60o ? ? )

sin ? 3 ? sin(60o ? ? ) 2



整理得:5sinθ = 3 (1+cosθ )

3 2? ? 3 sin ? 3 5 ?5 3. ? ∴ 故 tan ? ,tanF1PF2=tanθ = 3 1 ? cos ? 5 11 2 5 1? 25

15


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