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2013届高考理科数学第一轮复习测试题5


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(时间:40 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分)

满分:60 分)

4 1.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,AD=4,sin∠ACD= ,则 5 CD=________,BC=________.

AD 4 解析 在 Rt△ADC 中, AD=4, sin∠ACD= = , 得 AC=5, 又由射影定理 AC2= AD· AB, AC 5 AC2 25 得 AB= = . AD 4 25 9 ∴BD=AB-AD= -4= , 4 4 9 由射影定理 CD2= AD· BD=4× =9,∴ CD=3. 4 9 25 15 又由射影定理 BC2=BD· AB= × ,∴ BC= . 4 4 4 答案 3 15 4

2.(2011· 揭阳模拟)如图,BD⊥ AE,∠ C=90° ,AB=4,BC=2,AD=3,则 EC=________.

AD AB 解析 依题意得, △ ADB∽ △ ACE, ∴ = , 则 AD· AE=AC· AB, 即得 AD(AD+DE)=AC· AB, AC AE 6× 4-9 ∴DE= =5,∴ DB= AB2-AD2= 7, 3 DB AD DB· AC 由 = ,可得 EC= =2 7. EC AC AD 答案 2 7 3.(2011· 茂名模拟)如图,已知 AB∥ EF∥ CD,若 AB=4,CD=12,则 EF=________.

解析 ∵ AB∥ CD∥ EF, AB BC BC CD ∴ = , = , EF CF BF EF
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4 BC BC 12 ∴ = , = , EF BC-BF BF EF ∴ 4(BC-BF)=12BF,∴ BC=4BF, BC 1 12 ∴ = = ,∴ EF=3. BF 4 EF 答案 3 4.(2011· 湛江模拟)如图,在△ ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 交于 BC 于 F, 则 BF =________. FC

解析 如图,过点 D 作 DG∥ AF,交 BC 于点 G,易得 FG=GC,又在三角形 BDG 中,BE BF 1 =DE,即 EF 为三角形 BDG 的中位线,故 BF=FG,因此 = . FC 2

答案

1 2

5.如图所示,∠ C=90° ,∠ A=30° ,E 是 AB 中点,DE⊥ AB 于 E,则△ ADE 与△ ABC 的相似 比是________.

AE 1 1 3 解析 ∵ E 为 AB 中点,∴ = ,即 AE= AB,在 Rt △ ABC 中,∠ A=30° ,AC= AB, AB 2 2 2 AE 1 又∵ Rt△ AED∽ Rt△ ACB,∴ 相似比为 = . AC 3 故△ ADE 与△ ABC 的相似比为 1∶ 3. 答案 1∶ 3 1 6.如图,AE∥ BF∥ CG∥ DH,AB= BC=CD,AE=12,DH=16,AH 交 BF 于 M,则 BM 2 =________,CG=_____ ___.

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1 解析 ∵ AE∥ BF∥ CG∥ DH,AB= BC=CD,AE=12, 2 AB 1 BM AB DH=16,∴ = , = . AD 4 DH AD BM 1 ∴ = ,∴ BM=4. 16 4 取 BC 的中点 P,作 PQ∥ DH 交 EH 于 Q,如图, 则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线, 1 1 ∴ PQ= (AE+DH)= (12+16)=14. 2 2 1 1 同理:CG= (PQ+DH)= (14+16)=15. 2 2 答案 4 15

7.已知在△ ABC 中,D 是 BC 边上的中点,且 AD=AC,DE⊥ BC,DE 与 AB 相交于点 E, EC 与 AD 相交于点 F,S△ FCD=5,BC=10,则 DE=________. 解析 过点 A 作 AM⊥ BC 于 M,由于∠ B=∠ ECD ,且∠ ADC=∠ ACD,得△ ABC 与△ FCD 相似, S△ ABC ? BC ?2 那么 = =4 又 S△ FCD=5,那么 S△ ABC=20, S△ FCD ?CD? 1 由于 S△ ABC= BC· AM,由 BC=10,得 AM=4,又因为 2 DE BD 1 5 DE 5 8 DE∥ AM,得 = ,∵ DM= DC= ,因此 = ,得 DE= . AM BM 2 2 4 5 3 5+ 2 答案 8 3

8.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,且 AB=2CD,E、F 分别是 AB、BC 的中点,EF 与 BD 相交于点 M.若 DB=9,则 BM= ________.

解析 ∵ E 是 AB 的中点, ∴ AB=2EB. ∵ AB=2CD,∴ CD=EB. 又 AB∥ CD,∴ 四边 形 CBED 是平行四边形.

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由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ ? DEM=∠ BFM, ?∠ ? ∴ CB∥ DE,∴ ?∠ EDM=∠ FBM, ?

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∴ △ EDM∽ △ FBM. DM DE ∴ = .∵ F 是 BC 的中点,∴ DE=2BF. BM BF 1 ∴ DM=2BM.∴ BM= DB=3. 3 答案 3 二、解答题(共 20 分) 9.(10 分)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB=DC,过点 D 作 AC 的平行线 DE, 交 BA 的延长线于点 E,求证:

(1)△ ABC≌ △ DCB; (2)DE· DC=A E· BD. 证明 (1)∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形,∴ AC=BD. ∵ AB=DC,BC=CB, ∴ △ ABC≌ △ D CB. (2)∵ △ ABC≌ △ DCB. ∴ ∠ ACB=∠ DBC,∠ ABC=∠ DCB. ∵AD∥ BC,∴ ∠ DAC=∠ ACB, ∠ EAD=∠ ABC. ∴ ∠ DAC=∠ DBC,∠ EAD=∠ DCB. ∵ ED∥ AC,∴ ∠ EDA=∠ DAC. ∴ ∠ EDA=∠ DBC, ∴ △ ADE∽ △ CBD. ∴ DE∶ BD=AE∶ CD. ∴ DE· DC=AE· BD. 1 1 10.(10 分)已知:如图,△ ABC 中,AB=AC,∠ BAC=90° ,AE= AC,BD= AB,点 F 在 3 3 1 BC 上,且 CF= BC.求证: 3

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(1)EF⊥ BC; (2)∠ ADE=∠ EBC. 证明 设 AB=AC=3a,则 AE=BD=a,CF= 2a. CE 2a 2 CF 2a 2 (1) = = , = = CB 3 2a 3 CA 3a 3. 又∠ C 为公共角,故△ BAC∽ △ EFC,由∠ BAC=90° . ∴ ∠ EFC=90° ,∴ EF⊥ BC. (2)由(1)得 EF= 2a, AE a 2 AD 2a 2 故 = = , = = , EF 2a 2 BF 2 2a 2 AE AD ∴ = .∵ ∠ DAE=∠ BFE=90° , EF FB ∴ △ ADE∽ △ FBE,∴ ∠ ADE=∠ EBC.

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