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2014届高考数学一轮复习 第8章 第4节《直线与圆、圆与圆的位置关系》名师首选练习题 新人教A版


第八章
一、选择题

第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系

1 . 直 线 x + y = 1 与 圆 x + y - 2ay = 0(a>0) 没 有 公 共 点 , 则 a 的 取 值 范 围 是 ( ) A.(0, 2-1) C.(- 2-1, 2+1) B.( 2-1, 2+1) D.(0, 2+1)

2

2

2 .设两圆 C1 、 C2 都和两坐标轴相切,且都过点 (4,1) ,则两圆心的距离 |C1C2| = ( ) A .4 C.8 B.4 2 D.8 2

3.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 A.(x+1) +(y-1) =2 B.(x-1) +(y+1) =2 C.(x-1) +(y-1) =2 D.(x+1) +(y+1) =2 4.在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边 形 ABCD 的面积为 A.5 2 C.15 2 B.10 2 D.20 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(

)

(

)

5.直线 x+7y-5=0 截圆 x +y =1 所得的两段弧长之差的绝对值是 A. π 4 π B. 2 3π D. 2
2

(

)

C.π

6.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x 有公共点,则 b 的取值范围是 A.[1-2 2,1+2 2] C.[-1,1+2 2] 二、填空 题 B.[1- 2,3] D.[1-2 2,3]

(

)

7.已知两圆 x +y =10 和(x-1) +(y-3) =20 相交于 A,B 两点,则直线 AB 的方程 是________________. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y =4 上有且只有四个点到直线 12x-5y+c
2 2

2

2

2

2

1

=0 的距离 为 1,则实数 c 的取值范围是________. 9.过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x +y -2x-2y+1=0 截得的弦长为 2,则直线 l 的 斜率为_______ _. 三、解答题 10.已知点 A(1,a),圆 x +y =4. ( 1)若过点 A 的圆的切线只有一条,求 a 的值及切线方程; (2)若过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为 2 3,求 a 的值.
2 2 2 2

11. 已知圆 C 的圆心与点 P(-2,1)关于直线 y=x+1 对称, 直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,求圆 C 的方程.

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y -12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2) 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k,使得向量 OA + OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不 存在,请说明理由.

2

2

2

详解答案

一、选择题 1.解析:由圆 x +y -2ay=0(a>0)的圆心(0,a)到直线 x+y=1 的距离大于 a,且 a>0 可得 a 的取值范围. 答案:A 2.解析:依题意,可 设圆心坐标为(a,a)、半径为 r,其中 r=a>0,因此圆方程是(x -a) +(y-a) =a ,由圆过点(4,1)得(4-a) +(1-a) =a ,即 a -10a+17=0,则该方 程的两根分别是圆心 C1,C2 的横坐标,|C1C2|= 2× 10 -4×17=8. 答案:C 3. 解析: 因为两条直线 x-y=0 与 x-y-4=0 平行, 故它们之间的距离即为圆的直径, 所以 2R= 4 2 ,所以 R= 2.设圆心 C 的坐标为(a,-a),由点 C 到两条切线的距离都等于
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2|a| |2a-4| 半径,所以 = 2, = 2,解得 a=1,故圆心为(1,-1),所以圆 C 的方程为 2 2 (x-1) +(y+1) =2. 答案:B 4.解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是 10,且点 E(0,1)位于该圆内, 故过点 E(0,1)的最短弦长|BD|=2 10-
2 2 2

+2

2

=2 5(注:过圆内一定点的最短弦是以

该点为中点的弦),过点 E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|=2 10,且 AC⊥BD, 1 1 因此四边形 ABCD 的面积等于 |AC|×|BD|= ×2 10×2 5=10 2. 2 2 答案:B |0+0-5| 2 5.解析:圆心到直线的距离 d= = . 2 1+49 又∵圆的半径 r=1, ∴直线 x+7y-5=0 截圆 x +y =1 的弦长为 2. π ∴劣弧所对的圆心角为 . 2 3 π ∴两段弧长之差的绝对值为 π - =π . 2 2
2 2

3

答案:C 6.解析:在平面直角坐标系内画出曲线 y=3- 4x-x 与直线 y =x,在平面直角坐标系内平移该直线,结合图形分析可知,当直线 沿左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y =3- 4x-x 都有公共点; 当直线沿右下方平移到与以点 C(2,3)为圆 心、 2 为半径的圆相切的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y=3- 4x-x 都有公共点. 注 意与 y=x 平行且过点(0,3)的直线方程是 y=x+3;当直线 y=x+b 与以点 C(2,3)为圆心、 |2-3+b| 2 为半径的圆相切时,有 =2,b=1±2 2.结合图形可知,满足题意的 b 的取值范 2 围是 [1-2 2,3]. 答案:D 二、填空题 7.解析:因为点 A、B 同时在两个圆上,联立两圆方程作差并消去二次项可得直线 AB 的方程为 x+3y=0. 答案:x+3y=0 8. 解析: 因为圆的半径为 2, 且圆上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1, 即要圆心到直线的距离小于 1,即 答案:(-13,13) 9.解析:由条件易知直线 l 的斜率必存在,设为 k,圆心(1,1)到直线 y+2=k(x+1) |2k-3| 2 17 17 的距离 为 = ,解得 k=1 或 k= .即所求直线 l 的斜率为 1 或 . 2 2 7 7 k +1 17 答案:1 或 7 三、解答题 10. 解: (1)由于过点 A 的圆的切线只有一条, 则点 A 在圆上, 故 1 +a =4, ∴a=± 3. 当 a= 3时,A(1, 3),切线方程为 x+ 3y-4=0;
2 2 2 2 2

|c| 12 + -
2

2

<1,解得-13<c<13.

当 a=- 3时,A(1,- 3),切线方程为 x- 3y-4=0, ∴a= 3时,切线方程为 x+ 3y-4=0,

a=- 3时,切线方程为 x- 3y-4=0.
(2)设直线方程为 x+y=b, 由于直线过点 A,∴1+a=b,a=b-1.

4

|b| 又圆心到直线的距离 d= , 2 |b| 2 2 3 2 ∴( ) +( ) =4. 2 2 ∴b=± 2.∴a=± 2-1.

b-1 ? ?k =a+2=-1, 11.解:设圆心为 C(a,b),则由? 1+b -2+a ? ? 2 = 2 +1
CP



??

? ?a+b+1=0, ?a-b-1=0, ?

??

? ?a=0, ?b=-1. ?

∴C(0,-1). 设圆 C 半径为 r,点 C 到直线 3x +4y-11=0 的距离为 d, |3×0+ 则 d= - 3 +4
2 2

-11| =3.

|AB| 2 2 2 ∴r =( ) +d =9+9=18. 2 ∴圆 C 的方程为 x +(y+1) =18. 12.解:(1)圆的方程可化为(x-6) +y =4,其圆心为 Q(6,0).过点 P(0, 2)且斜率为
2 2 2 2

k 的直线方程为 y=kx+2.代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0,
整理得(1+k )x +4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A, B,所以 Δ =[4(k-3)] -4×36(1+k )=4 (-8k - 6k)>0, 3 3 解得- <k<0,即 k 的取值范围为(- ,0). 4 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2). 由方程①,得 x1+x2=-
2 2 2 2 2 2

k- 2 1+k

,②

又∵y1+y2=k(x1+x2)+4.③ 而 P(0,2),Q(6,0), PQ =(6,-2), 所以 OA + OB 与 PQ 共线等价于(x1+x2)=-3(y1+y2), 3 将②③ 代入上式,解得 k=- . 4

5

3 由(1)知 k∈(- ,0),故没有符合题意的常数 k. 4

6


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