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函数的值域 学生版

教学内容:函数的值域与最值 ●知识点归纳
一、值域的相关概念:函数 y ? 二、基本函数的值域 一次函数 y ? kx ? b(a ? 0) 的定义域为 R,值域为 R;
2 2 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R, ;当 a ? 0时, 值域是[ 4ac ? b ,? ?); a ? 0时, 值域是(??,4ac ? b ] 4a 4a

f ( x),x ? A ,我们把函数值的集合 { y | y ? f ( x), x ? A} 称为这个函数的值域。

反比例函数 y ? k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为 { y / y ? 0} ;
x

三、求函数常用的方法
2 (1)观察法(用非负数的性质,如: x ? 0 ; x ? 0 ; x ? 0( x ? 0) 等)

例如:求下列函数的值域:y=3x

2

+2

y=5+2 x ? 1 (x≥-1)

(2)配方法:(二次或四次) 转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值; 例如:求值域:y= x ? x ? 1 , x ?
2

R ;x ? ?? 1,3? ; x ? (1,5]

变式 1:y=-x +4x-1 x∈[-1,3);

2

变式 2:求函数 y=

5 的值域. 2x ? 4x ? 3
2

(3)换元法:大家知道我想说什么吧,我就不说了哈。。什么?有两个火星人不知道,拖出去请大家吃饭!! 。 ! 例如:求函数 y ? 2 x ? 4 1 ? x 的值域.

变式 1:求函数 y=3x- 1 ? 2 x 的值域.

变式 2: y ? 2 x ? 1 ?

x ? 1 的值域为_____

(4)分离常数法: (分式转化法) 对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来求值域. ;

y?
例如:求函数

3x ? 1 x ? 1 的值域

2 x2 ? x ?1 变式:求 f ( x) ? 2 的值域。 3x ? 4 x ? 1
(5)利用判别式法(将函数转化为一元二次方程) ;若函数 y=f(x)可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a(y) 2 x + b(y)x+c(y)=0,则在 a(y)≠0 时,由于 x、y 为实数,故必须有Δ =b2(y)-4a(y) ·c(y)≥0,从而确定 函数的最值,检验这个最值在定义域内有相应的 x 值. 例 5 求函数 y =

3x 的最值. x ?4
2

变式: y ?

2 x2 ? x ? 2 ; x2 ? x ? 1

课堂练习
例一:求下列函数的值域: (1) y ?

? x2 ? 6x ? 5 ; (2) y ?

3x ? 1 ; (3) y ? x ? 4 1 ? x ; x?2

2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 (x ? ) ; (6) y ? 2 ; (7) y ? x ? x ?1 2x ?1 2

例二 (分段函数法及图像法)求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域 解:将函数化为分段函数形式:

?? 2 x ? 1( x ? ?1) ? y ? ?3(?1 ? x ? 2) , ?2 x ? 1( x ? 2) ?
画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y|y ? 3}

y

3

-1 O

2

x


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