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第四章 向量组的线性相关性测试题


第四章 一、选择题

向量组的线性相关性测试题 ) 。

1.下列向量组线性无关的是(

A. (1,-1,0,2),(0,1,-1,1),(0,0,0,0); B. (a,b,c),(b,c,d),(c,d,a),(d,a,b); C. (a,1,b,0,0),(c,0,d,1,0),(e,0,f,0,1); D. (1,2,1,5),(1,2,1,6),(1,2,3,7),(0,0,0,1)。 2.设向量组 ?1 ,?2 ,?3 ,?4 线性无关,则下列向量组线性无关的是( A. ?1 ? ?2 ,?2 ? ?3 ,?3 ? ?4 ,?4 ? ?1 ; C. ?1 ? ?2 ,?2 ? ?3 ,?3 ? ?4 ,?4 ? ?1 ; 3.设向量组 ? 可由向量组 ?1 ,?2 , (I): ?1 ,?2 , ) 。

B. ?1 ? ?2 ,?2 ? ?3 ,?3 ? ?4 ,?4 ? ?1 ; D. ?1 ? ?2 ,?2 ? ?3 ,?3 ? ?4 ,?4 ? ?1 .

,?m 线性表示,但不能由向量组 , ? m?1 , ? ,则( )。

,?m?1 线性表示,记向量组(II): ?1 , ? 2 ,

A. ? m 不能由(I)线性表示,也不能由(II)线性表示; B. ? m 不能由(I)线性表示,但能由(II)线性表示; C. ? m 能由(I)线性表示,也能由(II)线性表示; D. ? m 能由(I)线性表示,但不能由(II)线性表示。 4. 设向量组 (I): ?1 ,?2 , ( ) 。

,?r 可由向量组(II): ?1 , ? 2 ,

, ? s 线性表示,则

A. 当 r<s 时,向量组(II)必线性相关; B. 当 r>s 时,向量组(II)必线性相关; C. 当 r<s 时,向量组(I)必线性相关; D. 当 r>s 时,向量组(I)必线性相关。 5. 下列向量组中,线性无关的是( ) 。

A. (1,2,3,4),(4,3,2,1),(0,0,0,0); B. (a,b,c),(b,c,d),(c,d,e),(d,e,f); C. (a,1,b,0,0),(c,0,d,2,3),(e,4,5,5,6); D. (a,1,2,3),(b,1,2,3),(c,4,2,3),(d,0,0,0)。 6.向量组 ?1 ,?2 ,?3 线性无关,向量 ?1 可由 ?1 ,?2 ,?3 线性表示,而向量 ? 2 不 能由 ?1 ,?2 ,?3 线性表示,则对于任意常数 k,必有( A. ?1 , ?2 ,?3 , k ?1 ? ? 2 线性无关; C. ?1 , ?2 ,?3 , ?1 ? k ? 2 线性无关; 7.设 ?1 ,?2 , ) 。

B. ?1 , ?2 ,?3 , k ?1 ? ? 2 线性相关; D. ?1 , ?2 ,?3 , ?1 ? k ? 2 线性相关。 ) 。

,?m 是 n 维向量组,下列命题中正确的是( ,?m?1 线性表示,则 ?1 ,?2 ,

A. 如 ? m 不能由 ?1 ,?2 , B. 如 ?1 ,?2 ,

,?m 线性无关;

,?m 线性相关, ? m 不能由 ?1 ,?2 ,

,?m?1 线性表示,则

?1 ,?2 ,

,?m?1 线性相关; ,?m 中,任意 m-1 个向量都线性无关,则 ?1 ,?2 , ,?m 线性

C. 如 ?1 ,?2 , 无关;

D. 零向量不能由 ?1 ,?2 ,

,?m 线性表示。
) 。

8. 设 A 为 m? n 矩阵, B 为 n? m 矩阵, 则当 m>n 时, 方阵 AB 的秩 ( A. 大于 m ;B. 等于 m; C. 小于 m; D. 不小于 m 。

9.设 ?1 , ?2 , ?3 为 R 3 的一组基,则下列向量组中仍为 R 3 的一组基的是 ( ) 。 B. ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 , ?1 ? ?3 ; D. ?1 ? ?3 , ?1 ? ?2 , 2?1 ? ?2 ? ?3 。 )。

A. ?1 ? ?2 ? ?3 , ?2?2 , ??1 ? ?2 ? ?3 ; C. ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 , 2?1 ? 2?3 ;

10.设 A 为 m? n 矩阵,B 为 n? m 矩阵,则(

A. 当 n>m 时,AB 的行向量组线性无关; B. 当 n>m 时,AB 的列向量组线性相关; C. 当 m>n 时,AB 的行向量组线性无关; D. 当 m>n 时,AB 的列向量组线性相关。 11.设 ?1 ,?2 ,?3 是向量空间 R 3 的一组标准正交基,下列向量组中仍是 R 3 的 一组标准正交基的是( ) 。 B. ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 , ?3 ? ?1 ;

A. ?1 ? ?2 , ?2 ? ?3 , ?3 ? ?1 ;

2 2 2 1 2 2 2 1 C. ? 1 3 ?1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 , 3 ?1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 , 3 ?1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ;

D.

1 2

1 1 1 1 ?1 ? 1 2 ? 2 , 2 ? 2 ? 2 ? 3 , 2 ? 3 ? 2 ?1 。

12.向量组 ?1 ,?2 ,?3 与向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 等价的充分必要条件是( A. r (?1 , ?2 , ?3 ) ? r ( ?1 , ? 2 , ? 3 ) ; B.

) 。

r (?1 ,?2 ,?3 ) ? r (?1 , ?2 , ?3 , ?1 , ? 2 , ? 3 ) ;
C. r ( ?1 , ? 2 , ? 3 ) ? r (?1 ,?2 ,?3 , ?1 , ? 2 , ? 3 ) ; D. r (?1 , ?2 , ?3 ) ? r ( ?1 , ? 2 , ? 3 ) ? r(?1 , ?2 , ?3 , ?1 , ? 2 , ? 3 ) 。 13. 设 A 为 m? n 矩阵,B 为 n? m 矩阵,AB 为可逆矩阵,且 m ? n ,则下 列结论正确的是( ) 。 B. A 的列向量组线性无关; D. B 的列向量组线性无关;

A. A 的行向量组线性相关; C. B 的行向量组线性无关; 二、填空题

1. 设 ? ? (3,5, ?6)T ,?1 ? (1,0,1)T , ?2 ? (1,1,1)T , ?3 ? (0, ?1, ?1)T , 则将向量 ? 表示成 ?1 ,?2 ,?3 的线性组合,为 2.判断下述向量组的线性相关性: (1) ?1 ? (1,1,1)T ,?2 ? (1,2,3)T , ?3 ? (1,6,3)T , ?1 ,?2 ,?3 是线 .



. ( 2 ) ?1 ? (1,2,3)T ,?2 ? (1, ?4,1)T , ?3 ? (1,14,7)T , ?1 ,?2 ,?3 是 线



. , 则向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线

3. 设 b1 ? a1 ? a2b2 , a ?2 a ?3b3 a,3 ? a4 ? b4 a4 ? ,a1 ? 性 .

4. 设 ?1 ? (1,1,0)T , ?2 ? (1,1,1)T , ?3 ? (2, a, b)T , 则当 a ? 线性无关.
?1 ? 0 5. 矩阵 ? ?2 ? ?1 1 2 0 1 2 2 1? ? 1 5 ?1 ? 列向量组的一个最大无关组是 3 ?1 3 ? ? 0 4 ?1 ?

时, ?1 ,?2 ,?3



及秩为

.

6 . 设 向 量 组 B 能 由 向 量 组 A 线 性 表 示 , 则 R( A) 与 R( B) 一 定 满 足 .

? 1 0 2? ? 7 . 设 A 是 4 ? 3 的 矩 阵 , R( A) ? 2 , B ? ? ? 0 2 0? , 则 ? ?1 0 3 ? ? ?
R( AB) ?

.

8 . 已 知 向 量 组 ?1 ,?2 ,?3 ,?4 线 性 无 关 , 则 ( 1 ) 向 量 组

a1 ? a, a2? 2

a ,3 a ? 3

线 性 , a4 ? a4 a1 线性 ,a4 ? a a1 4
xn )T x1 ,

,( 2 ) 向 量 组 .
? xn ? 0? ,问 V1 是不是向

a1 ? a2 , a2? a ,3 a ? 3
9 . V1 ? ? x ? ( x1 , x2 , 量空间?

, xn ? R, x1 ?

10.V2 = ? x ? ( x1 , x2 , 向量空间?

xn )T x1 ,

, xn ? R, x1 ?

? xn ? 1? ,问 V2 是不是

11. ?1 ? (1,1,0) , ? 2 ? (1,0,1) , ? 3 ? (0,1,1) 是一组基,则 u ? (2,0,0) 在 这组基下的坐标是 。 的解。 的解; ?1 ? ?2 是

12.(1)若 ?1 , ? 2 是 AX=0 的解,则 a?1 ? b? 2 是 (2)若 ?1 ,?2 是 AX=b 的解,则 的解。
1 (? ? ?2 ) 是 2 1

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? 13. 从 R 2 的 基 ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? , 到 基 ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? 的 过 渡 矩 阵 ? 0? ? ?1 ? ? 1? ? 2?
为 。

14.A, B均为 m? n 矩阵, 且齐次线性方程组 Ax ? 0 的解均为 Bx ? 0 的解, 则 R(A)与 R(B)一定满足 R(A) 三、计算题 1. 求下列向量组的秩及一个最大无关组, 并将其余向量用这个最大线性无 关组线性表示: R(B)。

?1 ? ? 1, 2,1, 3 ? , ? 2 ? ? 4, ?1, ?5, ?6 ? , ? 3 ? ? 1, ?3, ?4, ?7 ? 。
T T T

? 2 x1 ? 3 x2 ? 2 x3 ? x4 ? 0 ? 2.求 ? 3 x1 ? 5 x2 ? 4 x3 _ 2 x4 ? 0 的基础解系及通解。 ?8 x ? 7 x ? 6 x _ 3 x ? 0 2 3 4 ? 1 ? x1 ? 5 x2 ? 2 x3 ? 3 x4 ? 11 ? 3.求 ? 5 x1 ? 3 x2 ? 6 x3 ? x4 ? ?1 的一个特解及对应齐次方程的基础解系,并 ? 2 x ? 4 x ? 2 x ? x ? ?6 2 3 4 ? 1

求其通解。 4.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 ?1 ,?2 ,?3 是它的三 个解向量,且 ?1 ? (2, 3,4,5)T , ?2 ? ?3 ? (1, 2, 3,4)T ,求其通解。 5. 已知 4 阶方阵 A ? ??1 ,?2 ,?3 ,?4 ? , ?1 ,?2 ,?3 ,?4 均为 4 维列向量,其中

?2 ,?3 ,?4 线性无关,且 ?1 ? 2?2 ? ?3 ,如果 ? ? ?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ,求线性方

程组 Ax ? ? 的通解。 四、证明题 1.设 b1 ? a1 , b2 ? a1 ? a2 , 无关,证明向量组 b1 , b2 ,

, br ? a1 ? a2 ?

? ?r ,且向量组 a1 , a2 ,

, ? r 线性

, br 线性无关。

2. 设A,B都是 n 阶矩阵,且AB=0。证明 R ? A? ? R ? B ? ? n 。
? n, R ? A? ? n ? 3. 设 A 是 n 阶方阵A的伴随矩阵,证明 R ? A ? ? ?1, R ? A ? ? n ? 1 。 ? 0, R ? A ? ? n ? 1 ?
?

?

4. 设 A 是 m? n 矩阵, B 是 n? m 矩阵,且 m ? n ,证明 AB ? 0 。

选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 C D B D C A B C B D C D D


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