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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.3.3直线与双曲线的位置关系]

第二章

2.3

第 3 课时

一、选择题 x2 1.(2013· 惠州一调)已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,m 为等比中项,则圆锥曲线 m +y2=1 的离心率为( A. C. 30 6 30 或 7 6 ) B. 7 5 D. 或 7 6

[答案] C x2 [解析] ∵4,m,9 成等比数列,∴m =36,∴m=± 6.当 m=6 时,圆锥曲线方程为 + 6
2

y2=1,其离心率为 C.

30 x2 ;当 m=-6 时,圆锥曲线方程为 y2- =1,其离心率为 7,故选 6 6

2.等轴双曲线 x2-y2=a2 与直线 y=ax(a>0)没有公共点,则 a 的取值范围是( A.a=1 C.a>1 [答案] D B.0<a<1 D.a≥1

)

[解析] 等轴双曲线 x2-y2=a2 的渐近线方程为 y=± x, 若直线 y=ax(a>0)与等轴双曲线 x2-y2=a2 没有公共点,则 a≥1. 3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是 ( ) A.(- C.(- 15 15 , ) 3 3 15 ,0) 3 B.(0, D.(- 15 ) 3 15 ,-1) 3

[答案] D [分析] 直线与双曲线右支交于不同两点,则由直线与双曲线消去 y 得到的方程组应有 两正根,从而 Δ>0,x1+x2>0,x1x2>0,二次项系数≠0.
?y=kx+2, ? [解析] 由? 2 2 得(1-k2)x2-4kx-10=0. ? x - y = 6. ?

? 16k +40?1-k ?>0, ?Δ = 4k 由题意,得? >0, 1-k ? >0. ?k 10 -1
2 2 2 2

1-k2≠0,

解得-

15 <k<-1. 3 )

4.若 ab≠0,则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的(

[答案] C x2 y2 [解析] 方程可化为 y=ax+b 和 + =1.从 B,D 中的两椭圆看 a,b∈(0,+∞),但 a b B 中直线有 a<0,b<0 矛盾,应排除;D 中直线有 a<0,b>0 矛盾,应排除;再看 A 中双曲 线的 a<0,b>0,但直线有 a>0,b>0,也矛盾,应排除;C 中双曲线的 a>0,b<0 和直线中 a, b 一致.应选 C. π x2 y2 y2 x2 5.(2013· 湖北理,5)已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 4 cos θ sin θ sin θ sin θtan2θ =1 的( ) B.虚轴长相等 D.离心率相等

A.实轴长相等 C.焦距相等 [答案] D π [解析] ∵0<θ< ,∴双曲线 C1 的离心率 4 cos2θ+sin2θ c 1 e1= = = , a cosθ cosθ 而双曲线 C2 的离心率 sin2θ+sin2θtan2θ sinθ 1+tan2θ c e2= = = a sinθ sinθ = 1+ sin2θ = cos2θ 1 1 = , cos2θ cosθ

∴e1=e2,故选 D. x2 y2 6.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分 a 9 别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|=( )

A.1 或 5 C.7 [答案] C

B.6 D.9

[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0, b 3 ∴ = ,∵b=3,∴a=2. a 2 又||PF1|-|PF2||=2a=4, ∴|3-|PF2||=4. ∴|PF2|=7 或|PF2|=-1(舍去). 二、填空题 y2 7.已知直线 l:x-y+m=0 与双曲线 x2- =1 交于不同的两点 A、B,若线段 AB 的 2 中点在圆 x2+y2=5 上,则 m 的值是________. [答案] ± 1 x-y+m=0, ? ? [解析] 由? 2 y2 消去 y 得 x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0. ?x - 2 =1, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 x1+x2=2m, y1+y2=x1+x2+2m=4m, ∴线段 AB 的中点坐标为(m,2m), 又∵点(m,2m) 在圆 x2+y2=5 上,∴5m2=5,∴m=± 1. x2 y2 8.双曲线 - =1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 9 16 x 轴的距离为____________________. [答案] 3.2 [解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),∴a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义知,m-n= 2a=6, 又 PF1⊥PF2. ∴△PF1F2 为直角三角形. 即 m2+n2=(2c)2=100. 由 m-n=6,得 m2+n2-2mn=36, ∴2mn=m2+n2-36=64,mn=32. 设点 P 到 x 轴的距离为 d, 1 1 S△PF1F2= d|F1F2|= |PF1|· |PF2|, 2 2 1 1 mn 32 即 d· 2c= mn.∴d= = =3.2, 2 2 2c 10 即点 P 到 x 轴的距离为 3.2.

x2 y2 x2 y2 9.(2014· 天津市六校联考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦 a b 16 9 点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为__________________. [答案] x2 y2 - =1 4 3

[解析] 椭圆中,a2=16,b2=9,∴c2=a2-b2=7, ∴离心率 e1= 7 ,焦点(± 7,0), 4

c 7 ∴双曲线的离心率 e2= = ,焦点坐标为(± 7,0), a 2 ∴c= 7,a=2,从而 b2=c2-a2=3, x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 4 3 三、解答题 10.(2013· 新课标Ⅱ文,20)在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长 为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 2

[解析] (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题意知 y2+2=r2,x2+3=r2,从而得 y2+2=x2+3. ∴点 P 的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设与直线 y=x 平行且距离为 =± 1. ∴l:x-y+1=0 或 x-y-1=0. 与方程 y2-x2=1 联立得交点坐标为 A(0,1),B(0,-1). 即点 P 的坐标为(0,1)或(0,-1),代入 y2+2=r2 得 r2=3. ∴圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3 或 x2+(y-1)2=3. 2 的直线为 l: x-y+c=0, 由平行线间的距离公式得 C 2

一、选择题 11.已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交 点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有( 1 1 A. 2+ 2=4 e1 e2 1 1 C. 2+ 2=2 e1 e2
2 B.e1 +e2 2=4

)

2 D.e2 1+e2=2

[答案] C
? ?|PF1|+|PF2|=2a [解析] 设椭圆长半轴长为 a,双曲线实半轴长为 m,则? ?||PF1|-|PF2||=2m ?

① ②

①2+②2 得:2(|PF1|2+|PF2|2)=4a2+4m2, 又|PF1|2+|PF2|2=4c2 代入上式得 4c2=2a2+2m2, 1 1 两边同除以 2c2 得 2= 2+ 2,故选 C. e1 e2 x2 y2 12.(2014· 陕西工大附中四模)F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左右焦点,过 a b 点 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支 分别交于 A、B 两点.若△ABF2 是等边三角形,则该双 .... 曲线的离心率为( A. 2 C. 5 [答案] D [解析] 如图,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=2a, |BF1|-|BF2|=2a, ∴|AB|=|BF1|-|AF1|=|BF1|-|AF1|+|AF2|-|BF2| =(|BF1|-|BF2|)+(|AF2|-|AF1|)=4a, ∴|BF2|=4a,|BF1|=6a, 在△BF1F2 中,∠ABF2=60° , 由余弦定理,|BF1|2+|BF2|2-|F1F2|2=2|BF1|· |BF2|· cos60° , ∴36a2+16a2-4c2=24a2,∴7a2=c2, c ∵e>1,∴e= = 7,故选 D. a 13.动圆与圆 x2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都相外切,则动圆圆心的轨迹为( A.双曲线的一支 C.抛物线 [答案] A [解析] 设动圆半径为 r,圆心为 O,x2+y2=1 的圆心为 O1,圆 x2+y2-8x+12=0 的 圆心为 O2, 由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2, ∴|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1<|O1O2|=4, 由双曲线的定义知,动圆圆心 O 的轨迹是双曲线的一支. 二、填空题 x2 y2 14.(2013· 湖南理,14)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C a b 上 一 点 , 若 |PF1| + |PF2| = 6a , 且 △ PF1F2 的 最 小 内 角 为 30° ,则 C 的离心率为 B.圆 D.双曲线 ) ) B. 3 D. 7

__________________. [答案] 3

?4a?2+4c2-4a2 [解析] 由余弦定理 =cos30° , 2×4a×2c ∴2 3ac=3a2+c2,等式两边同除以 a2 得 e2-2 3e+3=0, ∴e= 3. 15.(2014· 揭阳中学期中)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,A、B 为椭圆 的顶点,当 FB⊥AB 时,其离心率为 5-1 ,此类椭圆被称为“黄金椭圆”,类比“黄金椭 2

圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于________.

[答案]

5+1 2

[解析] 设中心在坐标原点的双曲线左焦点 F,实轴右端点 A,虚轴端点 B,FB⊥AB, 则|AF|2=|AB|2+|BF|2, ∵|AF|2=(a+c)2,|AB|2=a2+b2,|BF|2=b2+c2, ∴c2-a2-ac=0, c ∵e= ,∴e2-e-1=0, a ∵e>1,∴e= 三、解答题 16.已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点. (1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; 1 (2)是否存在这样的实数 a,使 A、B 两点关于直线 y= x 对称?若存在,请求出 a 的值; 2 若不存在,请说明理由.
?y=ax+1, ? [解析] (1)由? 2 2 消去 y 得, ?3x -y =1. ?

5+1 . 2

(3-a2)x2-2ax-2=0.
2 ?3-a ≠0, ? 依题意? ?Δ>0. ?



即- 6<a< 6且 a≠± 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),



? ?x +x =3-a 则? -2 xx= ? ? 3 -a ④
1 2 2 1 2 2

2a



∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB. ∴x1x2+y1y2=0,但 y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1, 由③④知, -2 2a ∴(a2+1)· 2+a· 2+1=0. 3-a 3-a 解得 a=± 1 且满足②. 1 1 (2)假设存在实数 a,使 A、B 关于 y= x 对称,则直线 y=ax+1 与 y= x 垂直,∴a= 2 2 -2. 直线 l 的方程为 y=-2x+1. 将 a=-2 代入③得 x1+x2=4. ∴AB 中点横坐标为 2, 纵坐标为 y=-2×2+1=-3. 1 但 AB 中点(2,-3)不在直线 y= x 上. 2 1 即不存在实数 a,使 A、B 关于直线 y= x 对称. 2 x2 y2 17.过双曲线 - =1 的右焦点作倾斜角为 45° 的弦 AB.求: 9 16 (1)弦 AB 的中点 C 到右焦点 F2 的距离; (2)弦 AB 的长. [解析] (1)因为双曲线的右焦点为 F2(5,0),直线 AB 的方程为 y=x-5.
2 2 ? ?16x -9y -144=0, 由? ?y=x-5, ?

消去 y,并整理得 7x2+90x-369=0. 如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),

90 369 ∴x1+x2=- ,x1· x2=- . 7 7 设 AB 的中点 C 的坐标为(x,y), x1+x2 45 则 x= =- , 2 7 80 ∴y=- . 7 ∴|CF2|= 45 80 80 2 ?5+ ?2+? ?2= . 7 7 7

(2)|AB|= 2· |x1-x2|= 2[?x1+x2?2-4x1x2] = 8100 1476 192 2? + ?= . 49 7 7


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