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河北省唐山市海港高中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析

2014-2015 学年河北省唐山市海港高中高一(上)第一次月考数 学试卷
一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= B.y=(x﹣1)
2 ﹣x 2





C.y=2 D.y=log0.5(x+1) )

3.已知全集 U={0,1,2,3,4}且? UA={0,2},则集合 A 的非空真子集共有( A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 4. (5 分) (2014 秋? 掇刀区校级期中)给出下列四种从集合 A 到集合 B 的对对应:

其中是从 A 到 B 的映射的是( ) A. (1) (2) B. (1) (2) (3) C. (1) (2) (4) D. (1) (2) (3) (4) 5.用分数指数幂表示 ,正确的是( )

A.

B.

C.

D. )

6.已知函数 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],则 y=f(x﹣1)的定义域是( A.[0,5] B.[﹣1,4] C.[﹣3,2] D.[﹣2,3]
x

7. 把函数 y=f (x) 的图象向左、 向下分别平移 2 个单位得到 y=2 的图象, 则函数 f (x) = ( x+2 x+2 x﹣2 x﹣2 A.f(x)=2 +2 B.f(x)=2 ﹣2 C.f(x)=2 +2 D.f(x)=2 ﹣2 8.设 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+ 0)时,f(x)等于( A.x(1+ ) ) ) C.﹣x(1﹣ ) D.x(1﹣ )



) ,则当 x∈(﹣∞,

B.﹣x(1+

9.已知集合 A={x|2a+1≤x≤3a﹣5},B={x|3≤x≤22},则能使 A? (A∩B)成立的 a 的取值 集合为( ) A.[6,9] B. (﹣∞,9] C. (﹣∞,9) D. (6,9) 10.若 f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,则 f(x)值域为( ) A.R B.[﹣2,2] C.[﹣2,+∞) D.[2,+∞)

11.函数 y=( ) A.[1,2] B.R

的单调增区间为( C. (﹣∞,2]
2



D.[2,+∞) )

12.已知函数 f(x)=ax ﹣x+a+1 在(﹣∞,2)上单调递减,则 a 的取值范围是( A.[0,4] B.[2,+∞) C.[0, ] D. (0, ]

二、填空题:本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中的横线上. 13.函数 y= + + 的定义域为 .

14.已知集合 A={y|y=﹣x ﹣2x},B={x|y= 是 .
2

2

},且 A∪B=R,则实数 a 的最大值

15.若函数 f(x)=kx +(k﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是 16.已知 y=f(x)+2 为奇函数,且 g(x)=f(x)+1.若 f(2)=2,则 g(﹣2)=
x

. .

三、解答题:本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知全集 U={x|x﹣2≥0 或 x﹣1≤0},A={x|x ﹣4x+3>0},B={x|x≤1 或 x>2},求 A∩B, A∪B, (? UA)∩(? UB) , (? UA)∪(? UB) .
2

18. (1)计算(0.001)

+27

﹣( )

+( )

﹣1.5



(2)已知函数 f(x)是奇函数,而且在(0,+∞)上是增函数,判断 f(x)在(﹣∞,0) 上是增函数还是减函数,并证明你的判断. 19.已知函数 f(x)=x ﹣2ax﹣1,在[0,2]]内的最大值为 g(a) . (Ⅰ)求 g(a)的表达式; (Ⅱ)求 g(a)的最小值.
2

20.根据市场调查,某种新产品投放市场的 30 天内,每件销售价格 P(元)与时间 t(天 t ∈N+)的关系满足如图,日销量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系是 Q=﹣t+40(t∈N+) . (Ⅰ)写出该产品每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (Ⅱ)在这 30 天内,哪一天的日销售金额最大?(日销量金额=每件产品销售价格×日销量)

21.设函数 f(x)=x ﹣2|x|﹣3. (1)画出 y=f(x)的图象,并指出 y=f(x)的单调递增区间; (2)判断 y=f(x)的奇偶性,并求 y=f(x)的值域; (3)方程 f(x)=k+1 有两解,求实数 k 的取值范围.

2

22.已知函数 f(x)=



(1)求 f(x)的定义域和值域; (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性; (3)解关于 x 的不等式 f(x ﹣2x+2)+f(﹣5)<0.
2

2014-2015 学年河北省唐山市海港高中高一(上)第一次 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x ﹣2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 解出集合 A,再由交的定义求出两集合的交集. 解答: 解:∵A={x|x ﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2}, ∴A∩B={0,2} 故选 C 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键. 2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(
2 ﹣x 2 2





A.y= B.y=(x﹣1) C.y=2 D.y=log0.5(x+1) 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据基本初等函数的单调性,判断各个选项中函数的单调性,从而得出结论. 解答: 解:由于函数 y= 在(﹣1,+∞)上是增函数,故满足条件, 2 由于函数 y=(x﹣1) 在(0,1)上是减函数,故不满足条件, ﹣x 由于函数 y=2 在(0,+∞)上是减函数,故不满足条件, 由于函数 y=log0.5(x+1)在(﹣1,+∞)上是减函数,故不满足条件, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数的单调性的定义和判断,基本初等函数的单调性,属于基础题. 3.已知全集 U={0,1,2,3,4}且? UA={0,2},则集合 A 的非空真子集共有( A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题;集合.
n



分析: 对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有 n 个元素,则它有 2 个子集. 解答: 解:依题意,A={1,3,4}, ∴集合 A 的非空真子集共有 8﹣2=6 个, 故选 B. 点评: 本题考查了集合的子集个数, 若一个集合中有 n 个元素,则它有 2 个子集, 有(2 ﹣1) 个真子集,属于基础题. 4. (5 分) (2014 秋? 掇刀区校级期中)给出下列四种从集合 A 到集合 B 的对对应:
n n

其中是从 A 到 B 的映射的是( ) A. (1) (2) B. (1) (2) (3) C. (1) (2) (4) D. (1) (2) (3) (4) 考点: 映射. 专题: 阅读型. 分析: 逐一分析各个选项中的对应是否满足映射的概念,即前一个集合中的每一个元素在后 一个集合中是否都有唯一确定的元素和它对应. 解答: 解:如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应, 则此对应构成映射. 故(1) 、 (2)构成映射, (3)不能构成映射,因为前边的集合中的元素 a 在后一个集合中有两个元素和它对应,故此 对应不是映射. (4)中 b 在后一个集合中没有元素和它对应,所以(4)是错误的. 故选 A. 点评: 本题考查映射的概念,即一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个 元素和它对应,则此对应构成映射. 5.用分数指数幂表示 ,正确的是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 把根式由内到外用分数指数幂表示即可. 解答: 解: = = = = .

故选 B. 点评: 熟练掌握根式与分数指数幂的互化是解题的关键. 6.已知函数 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],则 y=f(x﹣1)的定义域是( ) A.[0,5] B.[﹣1,4] C.[﹣3,2] D.[﹣2,3] 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先由函数 y=f(x+1)定义域求出函数 f(x)的定义域,然后由 x﹣1 在 f(x)的定义 域内求函数 y=f(x﹣1)的定义域. 解答: 解:因为 y=f(x+1)定义域是[﹣2,3],

即 x∈[﹣2,3],所以 x+1∈[﹣1,4], 所以函数 f(x)的定义域为[﹣1,4], 由﹣1≤x﹣1≤4,得:0≤x≤5, 所以函数 y=f(x﹣1)的定义域是[0,5]. 故选 A. 点评: 本题考查了函数定义域及其求法,给出了函数 f(x)的定义域为[a,b],求函数 f[g (x)]的定义域,让 a≤g(x)≤b 求解 x 的范围即可,此题是基础题. 7. 把函数 y=f (x) 的图象向左、 向下分别平移 2 个单位得到 y=2 的图象, 则函数 f (x) = ( ) x+2 x+2 x﹣2 x﹣2 A.f(x)=2 +2 B.f(x)=2 ﹣2 C.f(x)=2 +2 D.f(x)=2 ﹣2 考点: 指数函数的图像变换. 专题: 计算题. 分析: (法一) :直接求解:把函数 y=f(x)的图象向左、向下分别平移 2 个单位可得 y=f (x+2)﹣2,根据题意可得 f(x+2)﹣2=2 ,从而可求 f(x) x (法二)逆向求解:把函数 y=2 的图象向右、向上分别平移 2 个单位可得函数 y=f(x)的图 象,根据函数的图象的平移法则可求 f(x) 解答: 解: (法一)∵把函数 y=f(x)的图象向左、向下分别平移 2 个单位可得 y=f(x+2) ﹣2 ∴f(x+2)﹣2=2 x x+2﹣2 ∴f(x+2)=2 +2=2 +2 x﹣2 则 f(x)=2 +2 x (法二)∵把函数 y=f(x)的图象向左、向下分别平移 2 个单位得到 y=2 的图象 x ∴函数 y=2 的图象向右、向上分别平移 2 个单位可得函数 y=f(x)的图象 x﹣2 根据函数的图象的平移法则可得,f(x)=2 +2 故选:C 点评: 本题主要考查了函数的图象的平移法则:左加右减,上加下减的应用,要注意解答本 题时的两种思维方式
x x x

8.设 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+ 0)时,f(x)等于( A.x(1+ ) ) ) C.﹣x(1﹣ ) D.x(1﹣

) ,则当 x∈(﹣∞,

B.﹣x(1+



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 x<0,则﹣x>0,运用偶函数的定义和已知解析式,即可得到所求的解析式. 解答: 解:令 x<0,则﹣x>0, 由于 f(x)是 R 上的偶函数, 且当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+ 则 f(﹣x)=﹣x(1﹣ 即有 f(x)=﹣x(1﹣ )=f(x) , ) (x<0) ) ,

故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性的运用:求解析式,考查运算能力,属于基础题. 9.已知集合 A={x|2a+1≤x≤3a﹣5},B={x|3≤x≤22},则能使 A? (A∩B)成立的 a 的取值 集合为( ) A.[6,9] B. (﹣∞,9] C. (﹣∞,9) D. (6,9) 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 利用 A? B,建立不等关系即可求解,注意当 A=? 时,也成立. 解答: 解:∵A? (A∩B) , ∴A? B,又 A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}, 当 A=φ时,2a+1>3a﹣5 ,∴a<6,

当 A≠φ,∴

解得∴6≤a≤9, ∴a 的取值集合为(﹣∞,9], 故选 B. 点评: 本题主要考查利用集合关系求参数取值问题,注意对集合 A 为空集时也成立,注意端 点取值等号的取舍问题. 10.若 f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,则 f(x)值域为( ) A.R B.[﹣2,2] C.[﹣2,+∞) D.[2,+∞) 考点: 函数的值域. 分析: 先将解析式化简,是一个分段函数,再求各段上的值域,求并集即可.

解答: 解:f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|=

当﹣1<x<1 时,f(x)单调递增,值域为(﹣2,2) , 所以函数 f(x)的值域为(﹣2,2)∪{﹣2}∪{2}=[﹣2,2], 故答案为 B. 点评: 本题考查分段函数的值域,关键是找出界点写出函数的解析式来.

11.函数 y=( )

的单调增区间为(



A.[1,2] B.R C. (﹣∞,2] 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=﹣3+4x﹣x ,则 y= 质可得函数 t 的减区间.
2

D.[2,+∞)

,本题即求函数 t 的单调减区间,利用二次函数的性

解答: 解:令 t=﹣3+4x﹣x =﹣(x﹣2) +1,则 y=

2

2



本题即求函数 t 的单调减区间. 利用二次函数的性质可得函数 t 的减区间为[2,+∞) , 故选:D. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中 档题. 12.已知函数 f(x)=ax ﹣x+a+1 在(﹣∞,2)上单调递减,则 a 的取值范围是( A.[0,4] B.[2,+∞) C.[0, ] D. (0, ]
2



考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 对函数求导,函数在(﹣∞,2)上单调递减,可知导数在(﹣∞,2)上导数值小于 等于 0,可求出 a 的取值范围. 解答: 解:对函数求导 y′=2ax﹣1,函数在(﹣∞,2)上单调递减, 则导数在(﹣∞,2)上导数值小于等于 0, 当 a=0 时,y′=﹣1,恒小于 0,符合题意; 当 a≠0 时,因函导数是一次函数,故只有 a>0,且最小值为 y′=2a×2﹣1≤0, ∴a≤ , ∴a∈[0, ], 故选 C. 点评: 本题主要二次函数的性质、考查函数的导数求解和单调性的应用.属于基础题. 二、填空题:本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中的横线上. 13.函数 y= + + 的定义域为 [﹣1,2)∪(2,3] .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件即可求出函数的定义域.

解答: 解:依题意,

,解得﹣1≤x<2 或 2<x≤3,

所以函数的定义域为[﹣1,2)∪(2,3], 故答案为:[﹣1,2)∪(2,3] 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件
2

14.已知集合 A={y|y=﹣x ﹣2x},B={x|y=

},且 A∪B=R,则实数 a 的最大值是 1 .

考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用配方法求出函数 y=﹣x ﹣2x 的值域 A,再求出集合 B,根据 A∪B=R 画出数轴,求 出 a 的范围,再求出实数 a 的最大值. 解答: 解:由 y=﹣x ﹣2x=﹣(x+1) +1≤1 得,A=(﹣∞,1], B={x|y= }=[a,+∞) ,
2 2 2

又 A∪B=R, 则画出数轴可知 a≤1,即实数 a 的最大值是 1, 故答案为:1.

点评: 本题考查了并集及其运算,配方法求出二次函数的值域,考查数形结合思想. 15.若函数 f(x)=kx +(k﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递减区间是 (﹣∞,0] . 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义建立方程即可求解 k,然后利用二次函数的性质确定函数的单 调递减区间. 解答: 解:∵函数 f(x)=kx +(k﹣1)x+3 为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 即 f(﹣x)=kx ﹣(k﹣1)x+3=kx +(k﹣1)x+3 ∴﹣(k﹣1)=k﹣1, 即 k﹣1=0, 解得 k=1, 此时 f(x)=x +3,对称轴为 x=0, ∴f(x)的递减区间是(﹣∞,0]. 故答案为: (﹣∞,0]. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用以及二次函数的性质,利用函数是偶函数,建立方程 f(﹣x)=f(x)是解决本题的关键.
x 2 2 2 2 2

16.已知 y=f(x)+2 为奇函数,且 g(x)=f(x)+1.若 f(2)=2,则 g(﹣2)= ﹣



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

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分析: 根据奇函数得出 f(2)+2 =﹣[f(﹣2)+2 ],即 f(﹣2)=﹣ 解答: 解:∵y=f(x)+2 为奇函数, 2 ﹣2 ∴f(2)+2 =﹣[f(﹣2)+2 ], 得 f(﹣2)=﹣
x

2

﹣2

,即可求解 g(﹣2) .

∴g(﹣2)=f(﹣2)+1=﹣ 故答案为:﹣ ,



点评: 本题考查了利用函数的奇偶性求解函数值,整体思想的运用,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知全集 U={x|x﹣2≥0 或 x﹣1≤0},A={x|x ﹣4x+3>0},B={x|x≤1 或 x>2},求 A∩B, A∪B, (? UA)∩(? UB) , (? UA)∪(? UB) . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 由题意化简全集 U={x|x≥2 或 x≤1},A={x|x ﹣4x+3>0}={x|x<1 或 x>3},从而求 集合的交集,并集,补集. 解答: 解:全集 U={x|x≥2 或 x≤1}, A={x|x ﹣4x+3>0}={x|x<1 或 x>3}, ∴A∩B=A={x|x<1 或 x>3}; A∪B=B={x|x≤1 或 x>2}; (? UA)∩(? UB)=? U(A∪B)={2}; (? UA)∪(? UB)=? U(A∩B)={x|2≤x≤3 或 x=1}. 点评: 本题考查了集合的化简与集合的运算,属于基础题.
2 2 2

18. (1)计算(0.001)

+27

﹣( )

+( )

﹣1.5



(2)已知函数 f(x)是奇函数,而且在(0,+∞)上是增函数,判断 f(x)在(﹣∞,0) 上是增函数还是减函数,并证明你的判断. 考点: 奇偶性与单调性的综合;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题(1)利用指数幂运算法则进行计算,得到本题结论; (2)利用函数单调性定义, 结合函数奇偶性,可证明函数在(﹣∞,0)上的单调生,得到本题结论. 解答: 解析: (1)原式=(10 )
﹣3

+(3 )

3

﹣(2 )

﹣2

+(3 )

﹣2

=10+9﹣2+27=44. (2)f(x)在(﹣∞,0)上是增函数, 证明:在(﹣∞,0)上任取 x1、x2,使 x1<x2<0,则﹣x1>﹣x2>0, ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(﹣x1)>f(﹣x2) ①, 又∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(﹣x1)=﹣f(x1) ,f(﹣x2)=﹣f(x2) ②; ②代入①得,﹣f(x1)>﹣f(x2) , ∴f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递增.

点评: 本题考查了指数幂的运算和函数单调性、奇偶性,本题难度不大,属于基础题. 19.已知函数 f(x)=x ﹣2ax﹣1,在[0,2]]内的最大值为 g(a) . (Ⅰ)求 g(a)的表达式; (Ⅱ)求 g(a)的最小值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据 f(x)=x ﹣2ax﹣1=(x﹣a) ﹣a ﹣1 的图象的对称轴方程为 x=a,分类 讨论,利用二次函数的性质求得函数在[0,2]]内的最大值为 g(a) . (Ⅱ)根据 g(a)的解析式,分类讨论求得 g(a)的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=x ﹣2ax﹣1=(x﹣a) ﹣a ﹣1 的图象的对称轴方程为 x=a, 当 a≤0 时,f(x)在[0,2]上为增函数,∴最大值为 f(2)=3﹣4a. 当 0<a≤1,f(x)在[0,a]上为减函数,在[a,2]上为增函数,且 f(2)>f(0) .∴f(x) 的最大值为 f(2)=3﹣4a; 当 1<a<2 时,f(x)在[0,a]上为减函数,在[a,2]上为增函数,且 f(0)>f(2) ,∴f (x)的最大值为 f(0)=﹣1; 当 a≥2 时,f(x)在[0,2]上为减函数,f(x)的最大值为 f(0)=﹣1, 综上所述, .
2 2 2 2 2 2 2

(Ⅱ)结合函数 g(a)的解析式可得,当 a≤1 时,g(a)≥3﹣4=﹣1,而当 a>1 时,g(a) =﹣1, 故 g(a)的最小值为﹣1. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了分类讨 论的数学思想,属基础题. 20.根据市场调查,某种新产品投放市场的 30 天内,每件销售价格 P(元)与时间 t(天 t ∈N+)的关系满足如图,日销量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系是 Q=﹣t+40(t∈N+) . (Ⅰ)写出该产品每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (Ⅱ)在这 30 天内,哪一天的日销售金额最大?(日销量金额=每件产品销售价格×日销量)

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (I)根据图象,可得每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系; (II)结合日销量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系,可得日销售金额函数,分段求最值, 即可得到结论.

解答: 解: (Ⅰ)根据图象,每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系为: .…(4 分)

(Ⅱ)设日销售金额 y(元) ,则

=
2

…(8 分)
2

若 0<t≤20,t∈N+时,y=﹣t +10t+1200=﹣(t﹣5) +1225,…(10 分) ∴当 t=5 时,ymax=1225; 若 20<t≤30,t∈N+时,y=﹣50t+2000 是减函数, ∴y<﹣50×20+2000=1000, 因此,这种产品在第 5 天的日销售金额最大,最大日销售金额是 1225 元.…(12 分) 点评: 本题考查函数模型的建立,考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 21.设函数 f(x)=x ﹣2|x|﹣3. (1)画出 y=f(x)的图象,并指出 y=f(x)的单调递增区间; (2)判断 y=f(x)的奇偶性,并求 y=f(x)的值域; (3)方程 f(x)=k+1 有两解,求实数 k 的取值范围.
2

考点: 函数图象的作法;函数奇偶性的判断;函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)需将函数解析式改写成分段函数后在画图; (2)利用整体思想把|x|先看成整体,然后再去绝对值; (3)方程有两个解即函数 y=f(x)和函数 y=k+1 的图象有两个交点,利用数形结合思想分析 问题. 解答: 解(1)f(x)=x ﹣2|x|+1=
2

,图象如图(1)所示:

两部分都是抛物线的一部分,对称轴分别为 x=﹣1、x=1, f(x)的递增区间为(﹣1,0) , (1,+∞) (2)∵f(﹣x)=(﹣x) ﹣2|﹣x|﹣3=x ﹣2|x|﹣3=f(x) ,∴f(x)是偶函数, 函数值域为[﹣4,+∞) (3)由图象(2)分析可知当方程 f(x)=k+1 有两解时,k+1=﹣4 或 k+1>﹣3, ∴k=﹣5 或 k>﹣4 点评: 本题只要考查分段函数以及分段函数的画法,同时考查利用图象研究函数的性质,属 于基础题.
2 2

22.已知函数 f(x)=



(1)求 f(x)的定义域和值域; (2)判断 f(x)的奇偶性与单调性; (3)解关于 x 的不等式 f(x ﹣2x+2)+f(﹣5)<0. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)运用指数函数的值域即可得到定义域,再由函数 f(x) ,解得 2 ,再令它大于 0, 即可得到值域; (2)运用奇偶性的定义和单调性的定义,即可判断; (3)运用(2)的结论,f(x ﹣2x+2)+f(﹣5)<0 即为 f(x ﹣2x+2)<﹣f(﹣5)=f(5) , 2 得 x ﹣2x+2<5,解出即可. 解答: 解: (1)f(x)的定义域是 R,令 y=
x 2 2 x 2

,得 2 =﹣

x



∵2 >0,∴﹣

>0,解得﹣1<y<1.

∴f(x)的值域为{y|﹣1<y<1}; (2)∵f(﹣x)= = =﹣f(x) ,∴f(x)是奇函数.

∵f(x)=

=1﹣

,在 R 上任取 x1,x2,且 x1<x2,

f(x1)﹣f(x2)=

=



∵x1<x2,∴



(2 +1)>0,

x1

即有 f(x1)<f(x2) ,则 f(x)在 R 上是增函数. (3)由(2)得 f(x)是奇函数, 且 f(x)在 R 上是增函数. 则 f(x ﹣2x+2)+f(﹣5)<0 即为 f(x ﹣2x+2)<﹣f(﹣5)=f(5) , 2 2 得 x ﹣2x+2<5,即有 x ﹣2x﹣3<0, 解得﹣1<x<3,则不等式解集为(﹣1,3) . 点评: 本题考查函数的定义域和值域的求法,考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用,考 查不等式的解法,属于中档题.
2 2


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