2012届高三数学复习模拟调研测试题2

阶段性测试卷

姓名:

分数:

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | y ? 3 ? x 2 }, N ? {x | x ? 1 ? 2} ,且 M 、 N 都是全集 I 的子集,则右 图韦恩图中阴影部分表示的集合为( A. {x | ? 3 ? x ? 1} C. {z | ?3 ? z ? ? 3} )
N I M

B. {z | ?3 ? z ? 1} D. {x |1 ? x ? 3} ( )

2.阅读右面的程序框图,则输出的 k ? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3.已知 sin(? ?

?

3 2? cos(? ? ) 等于( ) 3 4 3 A. ? B. ? 5 5 3 4 C. D. 5 5

) ? sin ? ? ?

4 3 ? , ? ? ? ? 0, 则 5 2

4.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知( DB ? DC ? 2DA) ? ( AB ? AC) ? 0, 则 △ABC 的形状是( A.直角三角形
2

) C.等腰直角三角形 D.等边三角形

B.等腰三角形

5.已知函数 f ? x ? ? ax ? 2ln ?1 ? x ?? a ? R ? ,且 f ? x ? 在 ? ?3, ?2 ? 上是增函数,则实数 a 的取值 范围是 ( )

A. ? ??, ? ?

? ?

1? 6?

? 1 ? B. ? ? , ?? ? ? 6 ?

C. ? ? , ?? ?

? 1 ? 6

? ?

D. ? ??, ? ? 6

? ?

1? ?

6.定义域为 D 的函数 f(x)同时满足条件① 常数 a,b 满足 a<b,区间[a,b] ? D,② f(x)在 使 [a,b]上的值域为[ka,kb](k∈ +),那么我们把 f(x)叫做[a,b]上的“k 级矩阵”函数, N 函数 f(x)=x 是[a,b]上的“1 级矩阵”函数,则满足条件的常数对(a,b)共有 A.1 对
2
3

B.2 对
2

C.3 对 ) B.? x 2k? ?

D.4 对

7.函数 f ( x) ? lg(sin x ? cos x) 的定义域是 ( A.? x 2k? ?

? ?

3? ? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 4 ?

? ?

?
4

? x ? 2k? ?

5? ? ,k ?Z? 4 ?

C. ? x k? ?

? ?

?
4

? x ? k? ?

?

? ,k ?Z? 4 ?

D. ? x k? ?

? ?

?
4

? x ? k? ?

3? ? ,k ?Z? 4 ?

8.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数且满足 f ( ? x ) ? f ( x ) , f ( ?2) ? ?3 ,数列 且 (其中 Sn 为 {an } 的前 n 项 {an } 满足 a1 ? ?1 , Sn ? 2an ? n , 和) 。则 f (a5 ) ? f (a6 ) ? ( )

3 2

A. ? 3 B. ? 2 C. 3 D. 2 9.如果执行右边的程序框图,输入 x=-12,那么其输出的结果是 ( ) A.9 B.3 C. 3 D.

1 9

10. 已知 f ( x ) 是定义在 ? a, b? 上的函数, 其图象是一条连续的曲线, 且满足下列条件:① f ( x ) 的值域为 M,且 M? ? a, b? ; ② 对任意不相等的 x , y ∈? a, b? , 都有| f ( x ) - f ( y ) |<| x - y |. 那么,关于 x 的方程 f ( x ) = x 在区间 ? a, b? 上根的情况是 A.没有实数根 C.恰有两个不等的实数根 ( )

B.有且仅有一个实数根 D.实数根的个数无法确定

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸 (单位:cm),可得这个 几何体的体积为________cm3. 12.将边长为 3 的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为 1 的小正四面 体,所得几何体的表面积为_ 13.下表给出一个“直角三角形数阵” .

1 4
1 1 , 2 4

3 3 3 , , 4 8 16
…… 满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且各行的公比都相等,记第i行第

j列的数为 aij (i ? j, i, j ? N ),则a83 等于

?

.

14.已知在平面直角坐标系中, A(?2,0), B(1,3), O 为原点,且 OM ? ? OA ? ? OB, (其中 ,若 ,则 . ? ? ? ? 1, ? , ? 均为实数) N(1,0) | MN | 的最小值是 15.已知两个等比数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? a(a ? 0), b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2 , b3 ? a3 ? 3 ,若数 列 ?an ? 唯一,则 a = . 1 4 7 2 5 8 3 6 9

16.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1, 2, ?, 9 的 9 个小正 方形(如右图) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色 都不相同,且标号为“ 1 、 5 、 9 ”的小正方形涂相同的颜色,则符 合条件的所有涂法共有 种. 17.已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA, MB 交 2 a b 3

椭圆于 A, B 两点, 且斜率分别为 k1 , k2 ,若点 A, B 关 于原点对称,则 k1 ? k2 的 值 为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? 2 3 sin x ?

sin 2 x . sin x

(I)求 f ( x ) 的周期,并求 x ? ? 0, ? ? 时的单调增区间.

a (II) 在△ABC 中, 、b、c 分别是角 A, C 所对的边, A ? B, 若
的最大值.

? , a ? 3 , AB? AC 且 求 3

19. (本小题满分 14 分)

数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,满足关系 3tSn ? (2t ? 3)Sn ?1 ? 3t ( t ? 0 , n ? 2 ,3,4…) (I)设数列 {an } 的公比为 f (t ) ,作数列 {bn } ,使 b1 ? 1 , bn ? f (
bn
1 ) . n ? 2 ,3,4…)求 ( bn ?1

(II)求 Tn ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? … ?(b2n ?1b2n ? b2n b2n ?1 ) 的值

P
20. (本小题满分 14 分) 如图已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PD⊥ 底面 ABCD,E、F 分别为棱 BC、AD 的中点. (Ⅰ )若 PD=1,求异面直线 PB 和 DE 所成角的余弦值. 6 (Ⅱ )若二面角 P-BF-C 的余弦值为 ,求四棱锥 P-ABCD 6 的体积.

D F B

C

E

A

21. (本小题满分 15 分) 以 F1(0 ,-1),F2(0 ,1)为焦点的椭圆 C 过点 P( (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )过点 S( ?

2 ,1). 2

1 ,0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问:在坐标平面上是否存 3

在一个定点 T,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 15 分)

已知函数 f ? x ? ? a

| x|

?

2 ax

? a ? 0, a ? 1? ,

(Ⅰ )若 a ? 1 ,且关于 x 的方程 f ? x ? ? m 有两个不同的正数解,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ )设函数 g ? x ? ? f ? ? x ? , x ? ??2, ?? ? , g ? x ? 满足如下性质:若存在最大(小)值, 则最大(小)值与 a 无关.试求 a 的取值范围.

数学(理科)模拟试题(二) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 D 6 C 7 D 8 C 9 C 10 B

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题4分,共 28 分) 11. 4 12. 7 3 13.

1 2

14.

3 2 2

15.

1 3

16.108

17. ?

1 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)解: ) f ? x ? ? 2 3 sin x ? 2 cos x ? 4sin( x ? (Ⅰ

?
6

) …………2 分

当x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

? k ? Z ?时,f ( x)取得最大值为4

? ? ? ? f ? x ?的最大值为4,x 的取值集合为 ? x | x ? 2k? ? , k ? Z ? ……6 分 3 ? ?
(Ⅱ 由 )
?

a c a sin C a sin B ? 得,c= ,同理可得b= sin A sin C sin A sin A
?

∴ AB ? AC = cb cos A ?

a 2 sin B sin C 2? cos A ? 2sin B sin( ? B) 2 sin A 3

? 3 sin B cos B ? sin 2 B ?
?当 B ?

3 1 1 ? sin 2B ? (1 ? cos 2B) ? ? sin(2B ? ) 2 2 2 6
3 2
……14 分

?
3

AB 时, ? AC 最大为

?

?

19. (本小题满分 14 分)
?3tSn ? (2t ? 3) Sn ?1 ? 3t (n ? 2) ,两式相减得 3tan?1 ? (2t ? 3)an ? 0 , 解: (1)证:? ? ?3tSn ?1 ? (2t ? 3) Sn ? 3t

又 t ? 0,?

an ?1 2t ? 3 ? (n ? 2) ,又当 n ? 2 时, 3tS2 ? (2t ? 3)S1 ? 3t , an 3t
a a 2t ? 3 2t ? 3 2t ? 3 (n ? 1) ,即 2 ? ,? n ?1 ? a1 3t an 3t 3t

即 3t (a1 ? a2 ) ? (2t ? 3)a1 ? 3t ,得 a2 ?
?数列?an ?



















f (n) ?

2t ? 3 3t



2 ?3 b 1 2 ? b( n) ? f ( ) ? n ?1 ? bn ?1 ? (n ? 2) 3 bn ?1 3 bn ?1

?数列?bn ? 是以 b1 ? 1 为首项,

2 2 1 为公比的等比数列。? bn ? n ? 3 3 3

(2) Tn ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? … ?(b2n ?1b2n ? b2n b2n ?1 ) = b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? …… ?b2n (b2n ?1 ? b2n ?1 )
2 ? 5 n(n ? 1) 4 ? 8 4 ? ? = ? n2 ? n = ?2d (b2 ? b4 ? ? ? ?b2 n ) ? ?2 ? ? n ? ? 3? 3 2 3? 9 3 P 20. (本小题满分 14 分) 解: )E,F 分别为棱 BC,AD 的中点,ABCD 是边长为 (Ⅰ 2 的正方形? DF ∥BE 且 DF = BE ? DFBE 为平行四边形 ? DE ∥BF ? ?PBF是PB与DE 的所成角. D 2 5 F ?PBF 中,BF= 5 ,PF= 2 ,PB=3? cos?PBF ?

C

5

E B

A

2 5 ?异面直线 PB 和 DE 所成角的余弦为 ………………6 分 5

??? ? ? PF ? n ? 0 ? 设平面 PFB 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则可得 ? ??? ? ? FB ? n = 0 ?

(Ⅱ )以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a, ??? ? ??? ? 可得如下点的坐标: P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0),则有: PF ? (1,0, ?a), FB ? (1, 2,0), 因为 PD⊥ 底面 ABCD,所以平面 ABCD 的一个法向量为 m ? (0,0,1) , 即

? ?x? a z 0 ? ? x + 2y = 0

1 1 1 1 令 x=1,得 z ? , y ? ? ,所以 n ? (1, ? , ) . 由已知,二面角 P-BF-C 的余弦 a 2 2 a

m?n 6 ? 值为 ,所以得: cos < m , n > ? | m || n | 6

1 a 5 1 ? 4 a2

?

6 , 解得 a ? 2 .………12 分 6

1 8 因为PD是四棱锥P-ABCD的高,所以,其体积为 VP ? ABCD ? ? 2 ? 4 ? .………14分[Z.X 3 3 21. (本小题满分15分)
解: (Ⅰ )设椭圆方程为
2

y 2 x2 ? ? 1 (a>b>0),由已知 c =1, a 2 b2
2

又 2a=

? 2? ? 2? 2 2 . ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?0 ? 2 2 ? ? ? ? ?

则 a= 2 ,b2=a2-c2=1,

椭圆 C 的方程是

y2 + x2 =1. 2

。。。。。。。。4 分 。。。。。。。

(Ⅱ )若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x2+y2=1, 若直线 l 垂直于 x 轴,则以 AB 为直径的圆是(x+

1 2 2 16 ) +y = . 3 9

? x 2 ? y 2 ? 1, ? x ? 1, ? 由? 即两圆相切于点(1,0).因此所求的点 T 如果 1 2 16 解得 ? 2 ? y ? 0. ?( x ? ) ? y ? , 3 9 ?
存在,只能是(1,0). 事实上,点 T(1,0)就是所求的点.证明如下: 。 分 。6 当直线 l 垂直于 x 轴时,以 AB 为直径的圆过点 T(1,0).若直线 l 不垂直于 x 轴,

1 ? ? y ? k ( x ? 3 ), 1 2 1 ? 可设直线 l:y=k(x+ ).由 ? 即(k2+2)x2+ k2x+ k2-2=0.记点 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 3 3 9 ? x 2 ? y ? 1. ? ? 2

2 ? ? k2 ? 3 , ? x1 ? x2 ? 2 ??? ??? ? k ?2 则 又 因 为 =(x1?1, y1), =(x2?1, TA TB ? 1 2 ? k ?2 ?xx ? 9 . ? 1 2 k2 ? 2 ? ??? ??? 1 1 1 1 y2), TA · =(x1?1)(x2?1)+y1y2=(x1?1)(x2?1)+k2(x1+ )(x2+ )=(k2+1)x1x2+( k2?1)(x1+x2)+ k2+1=(k TB 3 3 3 9 1 2 2 k ?2 ? k2 1 2 1 2 2 k +1=0,则 TA⊥ +1) 9 2 +( k ?1) 23 + TB,故以 AB 为直径的圆恒过点 T(1, 3 k ?2 k ?2 9
0).所以在坐标平面上存在一个定点 T(1,0)满足条件. 。。。。。15 分 。。。。
x 22. (本小题满分 15 分)解:(1)令 a ? t , x ? 0 ,因为 a ? 1 ,所以 t ? 1 ,所以关于 x 的方

程 f ? x ? ? m 有两个不同的正数解等价于关于 t 的方程 t ? 即
2

2 ? m 有相异的且均大于 1 的两根, t
1 的 两

关 于 t 的 方 程 t ? mt ? 2 ? 0 有 相 异 的 且 均 大 于

根,…………………………………………………2 分

? ? ? m 2 ? 8 ? 0, ? ?m 所以 ? ? 1, ,…………………………………………………………………4 分 ?2 ?12 ? m ? 2 ? 0 ?
解得 2 2 ? m ? 3 ,故实数 m 的取值范围为区间 (2 2,3) .……………………………6 分 (2) g ( x) ? a| x| ? 2a x , x ?[?2, ??) ① a ? 1 时, 当 a) x ? 0 时, a x ? 1 , g ( x) ? 3a x ,所以 g ( x) ?[3, ??) , b) ?2 ? x ? 0 时,

1 ? a x ? 1 g ( x) ? a? x ? 2a x ,所以 a2
2?ax ? ?1
2

g '( x) ? ?a ? x ln a ? 2a x ln a ?

ax

ln a ……8 分

ⅰ 当

1 1 ? 即 1 ? a ? 4 2 时,对 ?x ? (?2,0) , g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [?2,0) 上递增, 2 a 2

所以 g ( x) ?[a2 ? 分

2 2 ,3) ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 a 2 ? 2 与 a 有关,不符合……10 2 a a

ⅱ当

1 1 1 1 ? 即 a ? 4 2 时 , 由 g '(x )? 0得 x ? ? log a 2 , 且 当 ?2 ? x ? ? log 2时 , a a2 2 2 2

1 1 g '(x )? 0,当 ? loga 2 ? x ? 0 时, g '( x ) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [?2, ? loga 2] 上递减,在 2 2

1 ? 1 ? [? log a 2,0] 上递增,所以 g ( x)min ? g ? ? log a 2 ? ? 2 2 ,综合 a) b) g ( x) 有最小值为 2 ? 2 ?
2 2 与 a 无关,符合要求.………12 分
② 0 ? a ? 1 时, 当 a) x ? 0 时, 0 ? a x ? 1 , g ( x) ? 3a x ,所以 g ( x) ? (0,3] b) ?2 ? x ? 0 时, 1 ? a x ?

1 , g ( x) ? a? x ? 2a x , a2
x

所以 g '( x) ? ?a ln a ? 2a ln a ? 所以 g ( x) ? (3, a2 ? 分

?x

2?ax ? ?1
2

ax

ln a ? 0 , g ( x) 在 [?2,0) 上递减,

2 2 ] ,综合 a) b) g ( x) 有最大值为 a 2 ? 2 与 a 有关,不符合………14 2 a a

综上所述,实数 a 的取值范围是 a ? 4 2 .………………………………………………15 分


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