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2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理

专题二

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质

1.角的概念. (1)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”). (2)确定角 α 所在的象限,只要把角 α 表示为 α =2kπ +α 0[k∈Z,α 0∈[0,2π )], 判断出 α 0 所在的象限,即为 α 所在象限. 2.诱导公式. 诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据,其记忆口诀为:奇变偶不变,符 号看象限.

1.三角函数的定义:设 α 是一个任意大小的角,角 α 的终边与单位圆交于点 P(x,

y y),则 sin α =y,cos α =x,tan α = . x
2.同角三角函数的基本关系. (1)sin α +cos α =1. sin α (2)tan α = . cos α
2 2

1

2

3

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). 3 1 3? ? 1 (1)角 α 终边上点 P 的坐标为?- , ?,那么 sin α = ,cos α =- ;同理角 α 2 2 ? 2 2? 终边上点 Q 的坐标为(x0,y0),那么 sin α =y0,cos α =x0.(×) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.(√) (4)常函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.(√) (5)y=cos x 在第一、二象限上是减函数.(×) (6)y=tan x 在整个定义域上是增函数.(×)

5 1.(2015·福建卷)若 sin α =- ,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值等于(D) 13 A. 12 5 12 B.- 5 5 5 C. D.- 12 12
2

解析: 解法一: 因为 α 为第四象限的角, 故 cos α = 1-sin α = 5 - 13 12 sin α 5 ,所以 tan α = = =- . 13 cos α 12 12 13 5 解法二:因为 α 是第四象限角,且 sin α =- , 13 所以可在 α 的终边上取一点 P(12,-5),

5 2 1-(- ) = 13

y 5 则 tan α = =- .故选 D. x 12
2.已知 α 的终边经过点 A(5a,-12a),其中 a<0,则 sin α 的值为(B) 12 12 A.- B. 13 13 5 5 C. D.- 13 13

π? ? 3.(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?,④y 6? ? π? ? =tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有函数为(A) 4? ?
4

A.①②③

B.①③④

C.②④

D.①③

2π 解析:①中函数是一个偶函数,其周期与 y=cos 2x 相同,T= =π ;②中函数 y= 2 2π π |cos x|的周期是函数 y=cos x 周期的一半,即 T=π ;③T= =π ;④T= .故选 A. 2 2 4.(2015·陕西卷)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y= π 3sin( x+φ )+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(C) 6

A.5 B.6 C.8 D.10 解析:根据图象得函数的最小值为 2,有-3+k=2,k=5,最大值为 3+k=8.

一、选择题 3 1.若 sin(α -π )= ,α 为第四象限角,则 tan α =(A) 5 3 A.- 4 C. 3 4 4 B.- 3 4 D. 3

3 解析:∵sin(α -π )= , 5 3 3 ∴-sin α = ,sin α =- . 5 5 又∵α 为第四象限角, ∴cos α = 1-sin α =
2

2 ? 3? 4 1-?- ? = , ? 5? 5
5

3 5 sin α 3 tan α = = =- . cos α 4 4 5 - 2. 定义在 R 上的周期函数 f(x),周期 T=2,直线 x=2 是它的图象的一条对称轴,且

f(x)在[-3,-2]上是减函数,如果 A,B 是锐角三角形的两个内角,则(A)
A.f(sin A)>f(cos B) B.f(cos B)>f(sin A) C.f(sin A)>f(sin B) D.f(cos B)>f(cos A) 解析:由题意知:周期函数 f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数.又因 π 为 A,B 是锐角三角形的两个内角,A+B> ,得:sin A>cos B,故 f(sin A)>f(cos B).综 2 上知选 A. 3.函数 y=2sin? A.2- 3 C.-1

?π x-π ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(A) 3? ? 6 ?

B.0 D.-1- 3

解析:用五点作图法画出函数 y=2sin? 函数的最大值为 2,最小值为- 3.故选 A.

?π x-π ?(0≤x≤9)的图象,注意 0≤x≤9 知, 3? ? 6 ?

4. 把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 然 后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是(A)

解析:y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后

6

向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的解析式为 y=cos (x+1).故选 A. 5. (2015·新课标Ⅰ卷)函数 f(x)=cos(ω x+φ )的部分图象如图所示, 则 f(x)的单调 递减区间为(D)

1 3? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 4 4? ? 3? ? 1 C.?k- ,k+ ?,k∈Z 4 4? ? 1 3? ? D.?2k- ,2k+ ?,k∈Z 4 4? ?

?5 1? 解析:由图象知周期 T=2? - ?=2, ?4 4?
∴ 2π =2,∴ ω =π . ω

1 π π 由π × +φ = +2kπ ,k∈Z,不妨取 φ = , 4 2 4 π? ? ∴ f(x)=cos?π x+ ?. 4? ? π 1 3 由 2kπ <π x+ <2kπ +π ,得 2k- <x<2k+ ,k∈Z, 4 4 4 ∴ 1 3? ? f(x)的单调递减区间为?2k- ,2k+ ?,k∈Z.故选 D.

?

4

4?

π 6.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(x∈R,A>0,ω >0,|φ |< )的图象(部分)如图 2 所示,则 f(x)的解析式是(A)

7

π? ? A.f(x)=2sin?π x+ ?(x∈R) 6? ? π? ? B.f(x)=2sin?2π x+ ?(x∈R) 6? ? π? ? C.f(x)=2sin?π x+ ?(x∈R) 3? ? π? ? D.f(x)=2sin?2π x+ ?(x∈R) 3? ? 2π ?5 1? 解析:由图象可知其周期为:4? - ?=2,∵ =2,得 ω =π ,故只可能在 A,C 中 6 3 ω ? ? 1 π 选一个,又因为 x= 时达到最大值,用待定系数法知φ = . 3 6 二、填空题 4 3 7.若 sin θ =- ,tan θ >0,则 cos θ =- . 5 5 4 8.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =- . 5

x 4 解析:由题意可知 x=-4,y=3,r=5,所以 cos α = =- . r 5
三、解答题 9. (2014·福建卷)已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). (1)求 f?

?5π ?的值; ? ? 4 ?

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 5π 分析:思路一 直接将 代入函数式,应用三角函数诱导公式计算. 4 π? ? (2)应用和差倍半的三角函数公式,将函数化简 2sin?2x+ ?+1. 4? ?

8

2π 得到 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数 f(x)=2sin xcos x+2cos x= 2
2

π? ? sin?2x+ ?+1. 4? ? 5π (1)将 代入函数式计算; 4 2π (2)T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 解析:解法一 (1)f? =-2cos =2. (2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos x =sin 2x+cos 2x+1 π? ? = 2sin?2x+ ?+1. 4? ? 2π 所以 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 解法二 因为 f(x)=2sin xcos x+2cos x =sin 2x+cos 2x+1 π? ? = 2sin?2x+ ?+1. 4? ?
2 2

?5π ?=2cos 5π ?sin 5π +cos 5π ? ? ? ? 4 4 ? 4 ? ? 4 ?

π π? π? ?-sin 4 -cos 4 ? 4? ?

9

(1)f?

?5π ?= 2sin11π +1= 2sin π +1=2. ? 4 4 ? 4 ?

2π (2)T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? π? ? 10.函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0,ω >0)的最大值为 3, 其图象相邻两条对称 6? ? π 轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式;

? π? ?α ? (2)设 α ∈?0, ?,则 f? ?=2,求 α 的值. 2? ? ?2?
解析:(1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期为 T=π , ∴ω =2,故函数 f(x)的解析式为

y=2sin?2x- ?+1. 6

? ?

π?

?

π? ?α ? ? (2)∵f? ?=2sin?α - ?+1=2, 6? ?2? ? π? 1 ? 即 sin?α - ?= , 6? 2 ? π π π π ∵0<α < ,∴- <α - < . 2 6 6 3 π π π ∴α - = ,故 α = . 6 6 3 11.(2015·北京卷)已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值. 解析:(1)由题意得 f(x)= 2 2 2 ? π? sin x- (1-cos x)=sin?x+ ?- ,所以 f(x)的 4? 2 2 2 ?

x

x

2

x

10

最小正周期为 2π . (2)因为-π ≤x≤0,所以- 3π π π ≤x+ ≤ . 4 4 4

π π 3π 当 x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值. 4 2 4 所以 f(x)在区间[-π ,0]上的最小值为

f?-

? 3π ?=-1- 2. ? 2 ? 4 ?

11


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