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第4专题—等比数列的概念及性质

等比数列的概念及性质 【知识要点】 一、等比数列的定义及通项公式 1、等比数列的定义 一般地, 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等差数列的公比,用符号语言 表示为: an?1 ? q(q为常数,且q ? 0,n ? N ? ) . an 2、等比数列的通项公式 an ? a1q n?1 ; 3、等比中项 an ? am q n?m 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a ,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 等比中项,即 G ? ? ab , G 2 ? ab . 【例题 1—1】等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 ? 1 , a2 是 a1 和 a5 的等比中 项,则数列{ an }的前 10 项和是( A、90 B、100 C、145 ) D、190 3 a9 的值为( a11 3 【例题 1—2】已知在等比数列{ an }中, a1a8 a15 ? 243,则 ) A、3 B、9 C、27 D、81 二、等比数列的性质 1、与首末两项等距的两项的和相等,即: a1an ? a2 an?1 ? a3 an?2 ? · · · . 2、若 m、n、k、l ? N ? ,且 m ? n ? k ? l ,则 am an ? ak al . 2 3、 {an } 为等比数列 ? an ?1 ? an an?2 . 4、 { an } 、 { bn } (项数相同) 是等比数列, 则{ ?a n } (? ? 0) , { 1 2 }, { an }, { an bn }, an { an }仍为等比数列. bn 第 1 页 共 5 页 【例题】已知{ an }是等比数列, a 2 ? 2,a5 ? ( n ? N ? )的取值范围是( A、[12,16] B、[8, 32 ] 3 1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? ? ? an an?1 4 ) C、[8, 32 ) 3 D、[ 16 32 , ] 3 3 【例题 2—1】已知{ an }是等比数列,且 an ? 0 , a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 ? ( A、5 B、10 ) C、15 D、20 3 【例题 2—2】 在各项都为正数的等比数列{ an }中, 若 a5 a 6 ? 9 , 则o l g a1 ?o l g 3 a2 ? log3 a3 ? ? ? ? ? log3 a10 等于( A、8 B、10 C、12 ) D、 2 ? log3 5 【例题 2—3】已知等比数列{ an }满足 a1a4 a7 ? 1 , a2 a5 a8 ? 8 ,则 a3 a6 a7 的值为 ( A、8 ) B、12 C、16 D、32 【方法规律】 一、等比数列求解的基本方法 1、学会运用函数与方程思想解题. 2、抓住首项与公比是解决等比数列问题的关键. 3、等比数列的通项公式、前 n 项和公式涉及 5 个量:a1,q,n,an,S n ,首项 a1 和公比 q 是两个基本量,知三求二. 4、巧设未知量. ?a k ? a k ?1 5、等比数列 {an } 的最大项为 a k ? ? ?a k ? a k ?1 【例题 1】有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之 和为 37,中间两数之和为 36,求这四个数. 【练习 1—1】已知 {an } 为等比数列,a4 ? a7 ? 2 ,a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?( A、7 B、5 C、 ? 5 D、 ? 7 第 2 页 共 5 页 ) 【练习 1 — 2 】公比为 2 的等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3 a11 ? 16 ,则 log2 a10 ? ( A、4 B、5 ) C、6 D、7 ) 【练习 1—3】若等比数列 {an } 满足 an an?1 ? 16n ,则公比为( A、2 B、4 C、8 D、16 【练习 1—4】设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 a i ,a i ?1 的矩形的面 积 (i ? 1, 2 ? ??) .则 { An } 为等比数列的充要条件是( A、 {an } 是等比数列 B、 a1,a3, ? ? ?,a2n?1, ? ? ? 或a2,a4, ? ? ? a2n, ? ? ? 是等比数列 C、 a1,a3, ? ? ?,a2n?1, ? ? ? 或a2,a4, ? ? ? a2n, ? ? ? 均是等比数列 D、 a1,a3, ? ? ?,a2n?1, ? ? ? 或a2,a4, ? ? ? a2n, ? ? ? 均是等比数列,且公比相同 【练习 1—5】 在等比数列 {an } 中, 公比为 q , 且 q ? 1. 若 am ? a1a2 a3 a4 a5 , a1 ? 1 , 则 m 等于( A、9 B、10 ) C、11 D、12 ) 二、等比数列证明的基本方法 1、定义法: an?1 ? q(q为常数,且 q ? 0,n ? N ? ) ? {an } 是公比为 q 的等比数列. an 2、通项公式法: an ? a1q n?1 (q ? 0,n ? 2,n ? N ? ) ? {an } 为等比数列. 2 3、中项公式法: an ,n ? N ? ) ? {an } 为等比数列. ?1 ? an an?2 (an an?1an?2 ? 0 【 例 题 2 】 设 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? a ? 1 , 且 a n ?1 4 ?1 a ,(n为 偶 数 ) ? ?2 n ?? ,记 ?a ? 1 , (n为 奇 数 ) n ? 4 ? 1 bn ? a 2 n ?1 ? ,n ? 1, 2, 3, ….

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