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广东省惠州市2017届高三第三次调研考试数学理试题(含解析)


惠州市 2017 届高三第三次调研考试

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将 自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 (1)已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2}, 则图 1 中阴影部分所表示的集合为( (A){0,1,2} (B){0,1} ) (D){1} 图1
开始
i = 1,S = 0

(C){1,2}

(2) 设函数 y ? f ( x), x ? R , “ y ? f ( x) 是偶函数” 是 “ y ? f ( x) 的图像关于原点对称”的( (A)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 )

(B)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 )
S = S ? lg i i?2

i=i?2

(3)执行如右图 2 所示的程序框图, 则输出的结果为( (A)7 (B)9 (C)10 (D)11

S ? ?1?

(4)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离 心率为( (A) 3 ) (B) 2 (C)2 ) (C)5 (D)20 (D)3

是 输出i 结束

图2

1 2 3 ?5 (5)? ?2x-2y? 的展开式中 x y 的系数是( (A)-20 (B)-5

数学试题(理科)

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(6)某四棱锥的三视图如图 3 所示,该四棱锥最长棱的棱长为( (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

)

(7)若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足 → → → → → (OB-OC)· (OB+OC-2OA)=0,则△ABC 的形状为( (A)等腰三角形 (C)正三角形 (B)直角三角形 (D)等腰直角三角形 ) )

(8)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为( (A)

3 4

(B)1

(C)

3 2

(D)2

图3

?x ? y ? 0 ? (9)已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a 等于( ? y?0 ?
(A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3 ) 1? (10)函数 f(x)=? ?x-x?cos x(-π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

(11)如图 4 是一几何体的平面展开图,其中 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的 中点,在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线 BE 与直线 CF 异面; ②直线 BE 与直线 AF 异面; ③直线 EF∥平面 PBC; 其中正确的有( (A)1 个 ) (C)3 个
2

④平面 BCE⊥平面 PAD. 图4

(B)2 个

(D)4 个

(12)已知函数 g ( x) ? a ? x

1 ( ? x ? e, e 为自然对数的底数)与 h( x) ? 2ln x 的图像 e
) (D) [e ? 2, ??)
2

上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( (A) [1,

1 ? 2] e2

(B) [1, e ? 2]
2

(C) [

1 ? 2, e 2 ? 2] 2 e

数学试题(理科)

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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。 第22题~第23题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 (13)若复数 z 满足 z ? i ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 z 的共轭复数是________. (14) 某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 5 次试验. 根 据收集到的数据(如下表): 零件数 x (个) 加工时间 y (分钟) 10 20 30 40 50 89

62 68 75 81 ^ 由最小二乘法求得回归方程 y=0.67x+a,则 a 的值为________.

(15)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 b ? 2, c ? 2 2 ,且 C ? 则 ?ABC 的面积为_____________. (16)已知定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 满足条件 f ? x ?

?
4



? ?

3? ? ? ? f ? x ? ,且函数 2?

3? ? y ? f ? x ? ? 为奇函数,给出以下四个命题: 4? ?
(1)函数 f ? x ? 是周期函数; (2)函数 f ? x ? 的图象关于点 ? ?

? 3 ? , 0 ? 对称; ? 4 ?

(3)函数 f ? x ? 为 R 上的偶函数; (4)函数 f ? x ? 为 R 上的单调函数. 其中真命题的序号为______________. (写出所有真命题的序号) 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中,点 (a n , a n ?1 ) 在直线 y ? x ? 2 上,且首项 a1 ? 1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 , b2 ? a 2 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 T n ,请写出适合条件 Tn ? S n 的所有 n 的值.
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(18) (本小题满分 12 分) 某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学 学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随 机选取 3 名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) . (Ⅰ)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (Ⅱ)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

(19) (本小题满分 12 分) 如图, 四边形 ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面, 点 P 在圆柱 OQ 的底面圆周上,G 是 DP 的 中点,圆柱 OQ 的底面圆的半径 OA ? 2 ,侧面积为 8 3? , ?AOP ? 120? . (Ⅰ)求证: AG ? BD ; (Ⅱ)求二面角 P ? AG ? B 的平面角的余弦值. D . Q C

G A (20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : O 19 题图 P B

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ? ?1,0? , F2 ?1,0? ,点 a 2 b2

? 2? A? 1, ? 2 ? ? 在椭圆 C 上. ? ?
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)是否存在斜率为 2 的直线,使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M 、N 时,能在 直线 y ?

???? ? ???? 5 上找到一点 P ,在椭圆 C 上找到一点 Q ,满足 PM ? NQ ?若存在,求 3

出直线的方程;若不存在,说明理由.

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(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? bx )e ?
3 x

ln x ,且函数 f ( x ) 的图象在点 (1, e) 处的切线与直线 x

x ? (2e ? 1) y ? 3 ? 0 垂直.
(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)求证:当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 .

请考生在第 22 题和第 23 题中任选一题做答, 做答时请在答题卡的对应答题区写上题 号,并用 2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值.

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) . ? y ? t sin ?

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|x-a|. (Ⅰ)若不等式 f (x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f (x)+f (x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

数学试题(理科)

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惠州市 2017 届高三第三次调研考试

理科数学参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 A 6 C 7 A 8 C 9 B 10 D 11 B 12 B

1.【解析】因为 A∩B={2,3,4,5},而图中阴影部分为 A 去掉 A∩B,所以阴影部分所表示的 集合为{1}. 2.【解析】 y ? f ( x) 是偶函数不能推出 y ? f ( x) 的图像关于原点对称,反之可以。
1 1 3 1 3.【解析】 i ? 1, S ? lg ? ? lg 3 ? ?1, 否; i ? 3, S ? lg + lg ? lg ? ? lg 5 ? ?1, 否; 3 3 5 5

1 5 1 1 7 1 i ? 5, S ? lg +lg ? lg ? ? lg 7 ? ?1, 否; i ? 7, S ? lg +lg ? lg ? ? lg9 ? ?1, 否; 5 7 7 7 9 9
1 9 1 i ? 9, S ? lg + lg ? lg ? ? lg11 ? ?1, 是,输出 i ? 9, 故选 B. 9 11 11 x2 y2 4.【解析】设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由于直线 l 过双曲线的焦点且与 a b

x2 y2 c2 b4 对称轴垂直, 因此直线 l 的方程为: x=c 或 x=-c, 代入 2- 2=1 得 y2=b2( 2-1)= 2, a b a a c2-a2 b2 2 b2 2b2 b2 ∴y=± ,故|AB|= ,依题意 =4a,∴ 2=2,∴ 2 =e2-1=2,∴e= 3. a a a a a 1 r ?1x?5-r· x-2y?5 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr 5.【解析】 ? 5 ?2 ? ?2 ? (-2y)
r 5-r r 3?1?2 3 ?1?5-r· =Cr ( - 2) · x · y . 当 r = 3 时, C 5·2 5 2 · ? ? ? ? (-2) =-20.

6.【解析】四棱锥的直观图如图所示,PC⊥平面 ABCD,PC=1,底面 四边形 ABCD 为正方形且边长为 1, 最长棱长 PA= 12+12+12= 3. → → → → → 7.【解析】因为(OB-OC)· (OB+OC-2OA)=0, → → → → → → → → → → → → 即CB· (AB+AC)=0,∵AB-AC=CB,∴(AB-AC)· (AB+AC)=0,即|AB|=|AC|, 所以△ABC 是等腰三角形,故选 A. 8.【解析】 y=cos 2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1, 1?2 3 设 t=sin x(-1≤t≤1),则原函数可以化为 y=-2t2+2t+1=-2? ?t-2? +2,
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1 3 ∴当 t= 时,函数取得最大值 . 2 2 9.【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
? ?x-y=0, 易知 A(2,0),由? 得 B(1,1). ? ?x+y=2,

由 z=ax+y,得 y=-ax+z. ∴当 a=-2 或 a=-3 时,z=ax+y 在 O(0,0)处取得最大值,最大值为 zmax=0, 不满足题意,排除 C,D 选项;当 a=2 或 3 时,z=ax+y 在 A(2,0)处取得最大值, ∴2a=4,∴a=2,故选 B. 1? 10.【解析】 函数 f(x)=? ?x-x?cos x(-π≤x≤π 且 x≠0)为奇函数,排除选项 A,B;当 x=π 1? 1 时,f(x)=? ?π-π?cos π=π-π<0,排除选项 C,故选 D. 11.【解析】 将几何体展开图还原为几何体(如图),因为 E,F 分 别为 PA,PD 的中点,所以 EF∥AD∥BC,即直线 BE 与 CF 共 面,①错;因为 B?平面 PAD,E∈平面 PAD,E?AF,所以 BE 与 AF 是异面直线,②正确;因为 EF∥AD∥BC,EF?平面 PBC, BC?平面 PBC,所以 EF∥平面 PBC,③正确;平面 PAD 与平面 BCE 不一定垂直,④ 错. 12.【解析】由已知,得到方程 a ? x ? ?2ln x ,即 ?a ? 2 ln x ? x 在 [ , e ] 上有解,设
2 2

1 e

f ? x? ? 2ln x ? x2 , 求 导 得 f ? ? x ? ?

2 2(1 ? x)(1 ? x) 1 ? 2x ? ,因为 ? x ? e ,所以 x x e

1 1 f ? ? x ? ? 0 在 x ? 1 有唯一的极值点,因为 f ( ) = -2 - 2 , f (e) = 2 - e 2 , e e

1 1 f ( x) 极大值 = f (1) = -1 且 f ? e ? ? f ( ) ,故方程 ?a ? 2ln x ? x2 在 [ , e ] 上有解等价于 e e
2 2 ? e2 ? ?a ? ?1,所以实数 a 的取值范围是 ? ?1, e ? 2 ? ? ,故选 B.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

1? i

14. 54.9

15.

3 ?1

16. (1) (2) (3)

数学试题(理科)

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13.【解析】? zi ? 1 ? i,? z ?

1? i ? 1 ? i ,所以 z 的共轭复数是1 ? i i

- - 14.【解析】 由 x =30,得 y =75,则 a=54.9 15.【解析】由正弦定理

b c b sin C 1 ? ? sin B ? ? ,又 c ? b ,且 B ? (0, ? ) , sin B sin C c 2 ? 7? 所以 B ? ,所以 A ? , 6 12
所以 S ?

1 1 7? 1 6? 2 bc sin A ? ? 2 ? 2 2 sin ? ? 2? 2 2 ? ? 3 ?1 2 2 12 2 4
3 2

16. 【解析】 f ( x ? 3) ? f [( x ? ) ? ] ? ? f ( x ? ) ? f ( x) ,所以 f ( x ) 是周期为 3 的周

3 3 2 2 3 期函数, (1)正确;函数 f ( x ? ) 是奇函数,其图象关于点 (0, 0) 对称,则 f ( x ) 的图 4 3 3 象关于点 (? , 0) 对称, (2)正确; f ( ? x) ? ? f ( ? ? x) , 4 2 3 3 3 f (? ? x) ? ? f (? ? x ? ) ? ? f ( x) ,所以 f (? x) ? f ( x) , (3)正确; f ( x ) 是周 2 2 2 期函数,在 R 上不可能是单调函数, (4)错误.真命题序号为(1) (2) (3) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17. (本小题满分 12 分) 解:(I)根据已知 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 即 an?1 ? an ? 2 ? d , 所以数列 {an } 是一个等差数列, an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 (II)数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n
2

……2 分 ………4 分

……………6 分 ……8 分

n ?1 等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a2 ? 3 ,所以 q ? 3 , bn ? 3

数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

1 ? 3n 3n ? 1 ? 1? 3 2

……10 分

Tn ? S n 即

3n ? 1 ? n 2 ,又 n ? N * ,所以 n ? 1 或 2 2

…12 分

18. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A,则
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0 C1 C2 C3 49 3· 7+C3· 7 P(A)= = . 3 C10 60

所以,选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.
k Ck C3 4· 6 P(X=k)= (k=0,1,2,3). C3 10


49 .……………4 分 60

C0 C3 1 C1 C2 1 4· 6 4· 6 ∴P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C10 6 C10 2 C2 C1 3 C3 C0 1 4· 6 4· 6 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3 = . C10 10 C10 30 所以,随机变量 X 的分布列是 X P 0 1 6 1 1 2 2 3 10 3 1 30 ????????10 分 ……12 分 …………………8 分

1 1 3 1 6 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 6 2 10 30 5 19. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)(解法一):由题意可知 8 3? ? 2 ? 2? ? AD ,解得 AD ? 2 3 ,…… 1 分 在 ?AOP 中, AP ? 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos120O ? 2 3 , ∴ AD ? AP ,又∵ G 是 DP 的中点,∴ AG ? DP . ∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AP ? BP . 由已知知 ………… 2 分 ① ………… 3 分

DA ? 底面ABP ,∴ DA ? BP ,
………… 5 分 ②

∴ BP ? 平面DAP . ∴ BP ? AG . ∴ AG ? BD .

∴由①②可知: AG ? 平面DPB , …………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: AG ? 平面DPB ,∴ AG ? BG , AG ? PG , ∴ ?PGB 是二面角 P ? AG ? B 的平面角 . …………8 分

PG ?

1 1 PD ? ? 2 AP ? 6 , BP ? OP ? 2 , ?BPG ? 90? . 2 2

∴ BG ?
数学试题(理科)

PG2 ? BP2 ? 10 .
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cos?PGB ?

PG 6 15 . ? ? BG 5 10

………12 分

(解法二):建立如图所示的直角坐标系, 由题意可知 8 3? ? 2 ? 2? ? AD .解得 AD ? 2 3 . 则 A?0,0,0? , B?0,4,0? , D 0,0,2 3 , P 3,3,0 , ∵ G 是 DP 的中点, ∴ 可求得 G?

?

? ?

?

z
…………3 分 D . Q C

? 3 3 ? ?. , , 3 ? 2 2 ? ? ?

(Ⅰ) BP ?

? 3,?1,0?, BD ? ?0,?4,2 3?,
? 3 3 ? ? ? 2 , 2 , 3?. ? ? ? 3 3 ? ? ? 0,?4,2 3 ? 0 , , , 3 ? 2 2 ? ? ?
…………6 分 A

G

y

∴ AG ? ?

x

O P

B

∵ AG ? BD ? ? ∴ AG ? BD .

?

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, BP ?

? 3,?1,0?,

? 3 3 ? ? AG ? ? ? 2 , 2 , 3?, ? ?

? ? 3 3 ?, PG ? ? ? , ? , 3 ? 2 ? 2 ? ?

? 3 5 ? ? . BG ? ? , ? , 3 ? 2 ? 2 ? ?
??? ?
……8 分

∵ AG ? PG ? 0 , AG ? BP ? 0 .∴ BP 是平面 APG 的法向量.

设 n ? ?x, y,1? 是平面 ABG 的法向量,由 n ? AG ? 0 , n ? AB ? 0 , 解得 n ? ?? 2,0,1? ………10 分

??? ? ? BP ? n ?2 3 15 cos ? ? ??? ?? . ? ? ? 5 2 5 BP ? n
所以二面角 P ? AG ? B 的平面角的余弦值 20. (本小题满分 12 分)
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15 . 5

…………12 分

解:(Ⅰ)设椭圆 C 的焦距为 2c ,则 c ? 1 , 因为 A ? ? 1,

? ?

2? ? 在椭圆 C 上,所以 2a ? AF1 ? AF2 ? 2 2 , ……2 分 2 ? ?

因此 a ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 1 ,故椭圆 C 的方程为

x2 . . . . .5 分 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)椭圆 C 上不存在这样的点 Q ,证明如下:设直线的方程为 y ? 2 x ? t , 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ? x3 , ? , Q ? x4 , y4 ? , MN 的中点为 D ? x0 , y0 ? ,

? ?

5? 3?

? y ? 2x ? t ? 由 ? x2 消去,得 9 y 2 ? 2ty ? t 2 ? 8 ? 0 , ……………6 分 2 ? ? y ?1 ?2
2t 2 2 ,且 ? ? 4t ? 36 ? t ? 8 ? ? 0 , 9 y ? y2 t ? 且 ?3 ? t ? 3 . 故 y0 ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 2 9 ???? ? ???? 5 由 PM ? NQ 得 ( x1 ? x3 , y1 ? ) ? ( x 4 ? x 2 , y 4 ? y 2 ) . . . . . . . . .9 分 3 5 5 2 5 所以有 y1 ? ? y 4 ? y 2 , y 4 ? y1 ? y 2 ? ? t ? . . . . . . . . . . . .10 分 3 3 9 3 ???? ? ???? (也可由 PM ? NQ 知四边形 PMQN 为平行四边形,而 D 为线段 MN 的中点,因
所以 y1 ? y2 ?

5 2t ? 15 ? y4 t ,可得 y4 ? ), 此,也 D 为线段 PQ 的中点,所以 3 y0 ? ? 9 2 9 7 又 ?3 ? t ? 3 ,所以 ? ? y4 ? ?1 , 3
与椭圆上点的纵坐标的取值范围 ?? 1,1?矛盾。 . . . . . . . . .11 分 因此点 Q 不在椭圆上. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为 f (1) ? e ,故 (a ? b)e ? e ,故 a ? b ? 1 ①;

数学试题(理科)

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依题意, f ' (1) ? ?2e ? 1 ;又 f ( x) ? ae ?
' x

1 ? ln x ? b (e x x 3 ? 3 x 2 e x ) , 2 x

故 f ' (1) ? ae ? 1 ? 4be ? ?2e ? 1 ,故 a ? 4b ? ?2 ②, 联立①②解得 a ? 2, b ? 1 , (Ⅱ)由(1)得 f ( x) ? 2e ?
x

…………………………………………5 分

ln x ? e x x3 x ln x ; x
………………………7 分

x x 3 要证 f ( x) ? 2 ,即证 2e ? e x ? 2 ?

令 g ( x) ? 2e x ? e x x 3 ,

? g ' ( x) ? ex (? x3 ? 3x2 ? 2) ? ?ex ( x3 ? 3x2 ? 2) ? ?ex ( x ? 1)( x2 ? 2x ? 2) ,
故当 x ? (0,1) 时, ? e x ? 0, x ? 1 ? 0 ; 令 p( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ,因为 p ( x) 的对称轴为 x ? ?1 ,且 p(0) ? p(1) ? 0 , 故存在 x0 ? (0,1) ,使得 p( x0 ) ? 0 ; 故当 x ? (0, x0 ) 时, p( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 , g ' ( x) ? ?e x ( x ? 1)(x 2 ? 2 x ? 2) ? 0 , 即 g ( x)在(0, x0 ) 上单调递增; 当 x ? ( x0 ,1) 时, p( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ,故 g ' ( x) ? ?e x ( x ? 1)(x 2 ? 2 x ? 2) ? 0 , 即 g ( x)在( x0 ,1) 上单调递减;因为 g (0) ? 2, g (1) ? e, 故当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? g (0) ? 2 , ………………………10 分 ……………………11 分 ………………………12 分

ln x ln x ? 0,? 2 ? ?2 x x ln x x x 3 所以 2e ? e x ? 2 ? ,即 f ( x) ? 2 x
又当 x ? (0,1) 时, 22. (本小题满分 10 分)

2 解:(Ⅰ)由 ? ? 4cos ? 得 ? ? 4? cos? . ∵ x ? y ? ? , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,
2 2 2
2 2 2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 0 ,即 ? x ? 2 ? ? y ? 4 ……4 分 2

数学试题(理科)

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(Ⅱ)将 ?

? x ? 1 ? t cos ? , 2 2 代入圆的方程得 ? t cos ? ? 1? ? ? t sin ? ? ? 4 , ? y ? t sin ?
……………5 分

化简得 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 .

设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ? ∴ AB ? t1 ? t2 ?
2

?t1 ? t2 ? 2cos ? , ?t1t2 ? ?3.

……………6 分

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 4cos2 ? ? 12 ? 14 . ……………8 分
……………10 分

∴ 4cos ? ? 2 , cos ? ? ? 23. (本小题满分 10 分)

? 3? 2 ,? ? 或 . 4 4 2

解: (Ⅰ)由 f(x)≤3,得|x-a|≤3.解得 a-3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}.
? ?a-3=-1, 所以? 解得 a=2. ?a+3=5, ?

………………………………4 分

(Ⅱ)当 a=2 时,f(x)=|x-2|.设 g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|. 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2 时等号成立), ∴g(x)的最小值为 5. 因此,若 g(x)=f(x)+f(x+5)≥m 对 x∈R 恒成立, 知实数 m 的取值范围是(-∞,5]. …………………………………10 分

数学试题(理科)

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