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第21课《独立性检验》导学案


《数学》选修 2-3 第 3 章第 20-21 课时导学案 课题:独立性检验

编制:李洪光

组长签字

使用者:第

小组

姓名

5/27/2015

【学习目标】 ①了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用; ②能利用二维条形图进行粗略判断; ③通过计算 K 观测值 k 并利用临界值表给出独立性检验的结论; ④体会案例研究法在学习中的作用。 【教材助读】快速阅读教科书 91-96 页内容,按照知识出现的先后顺序,将下列给出的符号或名称 填入空格中。 { H 0 , k0 , k , K ,独立性检验,分类变量,观测值,列联表,临界值}
2 2

相互独立,即

P( AB) ? _______________

吸烟与患肺癌列联表(一般化) 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计 根据上表算出 P ( AB ) ? ∴
a
c

患肺癌
b d

总计
a?b c?d a?b?c?d

a?c

b?d

a a?b a?c ,P ( A) ? ,P ( B ) ? , 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量, n n n

一、案例分析

为研究吸烟是否对患肺癌有影响, 某肿瘤研究所随机地调查了 9965 人, 得到 整理得

a a?b a?c ? ? n n n
。 ;| ad ? bc | 越大,说明吸烟与患肺癌之间

如下结果(单位:人) : 吸烟与患肺癌列联表 不患肺癌 不吸烟 吸烟 总计
7775 2099 9874

因此, | ad ? bc | 越小,吸烟与患肺癌之间关系越 总计
7817 2148 9965

患肺癌

的关系越

.
n(ad ? bc)2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d 为 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

42
49
91

5、 用数据说话——构造一个随机变量 K 2 ? 样本容量。

统计学家经过研究后制作了下面这张表,它反映了 H 0 成立与 K 的关系。观察表中的数据可 以发现,随着 K 值增大, H 0 成立的概率变
P( K 2 ≥ k0 )
2

2

那么吸烟是否对患肺癌有影响? 1、 分类变量——变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,这样的变量称为分类变量。 2、 列联表——就是分类变量的频数表。本书中我们只研究两个分类变量,并且每个分类变量 只取两个值,这样的列联表称为 列联表。 ;在吸烟者中患肺癌的比例为 。与

。 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

k0

3、粗略分析——在不吸烟者中患肺癌比例为

表格相比,图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响(92 页图) 。 通过分析数据与图形,你的直观印象是 。

根据案例中数据,计算得到 K 2 的观测值为 k ? ∵ P( K 2 ≥ 6.635) ? 0.01 , ∴ H 0 成立的概率约为 0.01。 即有 99%的把握认为吸烟与患肺癌

9965 ? (7775 ? 49 ? 42 ? 2099)2 ? 56.632 , 7817 ? 2148 ? 9874 ? 91

, B 表示“不患 3、 进一步分析——先假设 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系。用 A 表示“不吸烟” 肺癌” ,则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立” ,就是假设 H 0 等价于 A 与 B



《数学》选修 2-3 第 3 章第 20-21 课时导学案 课题:独立性检验

编制:李洪光

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使用者:第

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5/27/2015

二、独立性检验的基本思想 要判断 “两个分类变量有关系” ,首先假设该结论不成立,即 H 0 :两个分类变量没有关系成立。 (为什么要假设结论不成立呢?写出你的理解: 量 K 2 ,计算 K 2 的观测值 k (为什么称为观测值呢?写出你的理解: )构造一个随机变 ) 。 甲班 乙班 总计 判断 k 值的大小需确定一个临界值 k 0 ,若 k ≥ k0 ,就认为“两个分类变量之间有关系” ;否则就 认为“两个分类变量之间没有关系” (书上已经给出临界值表) 。 若 k 很大,则断言 H 0 不成立,即认为“两个分类变量有关系” ;若 k 很小,则断言 H 0 成立,即 认为“两个分类变量没有关系” 。 规范的解释:在实际应用中,通常 把 1 - P(K 2 ? k 0 )) ?100% 的把握认为“两个 ......... .k ? k 0 解释为有( ........
2 分类变量之间有关系;把 ...........k ? k 0 解释为不能以( 1 - P(K ? k 0

班级与成绩列联表 优秀 11 8 19 。 不优秀 34 37 71 总计 45 45 90

则随机变量 K 2 的观测值约为

3、两个分类变量 X 、 Y ,他们的值域分别是 {x1 ,x2 } , { y1 ,y2 } ,其样本频率列联表如下
y1 y2
b d

总计
a?b c?d a?b?c?d

x1
x2

a
c

) ) ?100% 的把握认为“两个分类变 ...........

量之间有关系,或者说样本观测数据没 有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据 。 ................. ..................... . 利用随机变量 K 2 来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法,称为两个分 类变量的独立性检验。

总计

a?c

b?d

若两个分类变量 X ,Y 独立,则下列结论

【预习自测】独立完成下列题目 1、在研究吸烟与患肺癌的关系时,通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关” 的结论,并且有 99% 以上的把握认为这个结论是成立的。下列说法中正确的是 ( (A) 100 个吸烟者中至少有 99 人患肺癌 (B) 1 个人吸烟,那么这个人有 99%的概率患有肺癌 (C) 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人 (D) 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 2、在某次期中考试后,对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩进行统计,按照优秀和不优秀 的标准得到如下 2 ? 2 列联表: )

a c c?d b?d c?a b?d ; ③ ; ④ ; ? ? ? a?b c?d a?b?c?d a?b?c?d a?b?c?d a?b?c?d (a ? b ? c ? d )(ad ? bc) 2 ?0 ⑤ (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
① ad ? bc ; ②

其中正确的序号是 【探究讨论】 根据例 1 归纳出判断两个 分类变量关系步骤。

。 【归纳总结】 1、 粗略估计的方法:利用条形图估计频率 2、 独立性检验的步骤(3 步)

《数学》选修 2-3 第 3 章第 20-21 课时导学案 课题:独立性检验

编制:李洪光

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使用者:第

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5/27/2015

【当堂检测】 1、用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系时,算出的随机变量 K 2 的值越大,说明“ X 与 Y 有关系”成立的可能性越大。这个命题 (填真或假)。

(2)下表 1 和表 2 分别是注射药物 A 和 B 后的试验结果.(疱疹面积单位: mm 2 ) 表 1:注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数
[60 , 65)
30

[65 ,70)
40

[70 , 75)
20

[75 , 80)
10

2、根据中学生近视情况的调查,某校男生 150 名中有 80 名近视,女生 140 名中有 70 名近视。 在检验这些中学生眼睛近视是否与性别相关时,用( (A)期望与方差 (C)独立性检验 )方法有说服力。

表 2:注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 频数
[60 , 65)
10

(B)排列与组合 (D)概率 的把握认为两个变量有关系。

[65 ,70)
25

[70 , 75)
20

[75 , 80)
30

[80 , 85)
15

3、由 2 ? 2 列联表中的数据计算得 k ? 4.013 ,那么有 【巩固训练】

注射药物与疱疹面积列联表 疱疹面积小于 70 注射药物 A 注射药物 B 合计 完成上面 2 ? 2 列联表,并回答能否有 99.9 %的把握认为“注射药物 A 后的疱疹面积与注射药物 疱疹面积不小于 70 合计

1、利用独立性检验来考察两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查表来确定“ X 与 Y 有关 系”的可信程度. 若 K (A) 25%
2

≥ 5.024 ,则就有把握认为“ X

与 Y 有关系”的百分比为(

)。

(B) 75%

(C) 2.5%

(D) 97.5%

2、某市政府调查市民收入增减与旅游愿望关系时,采用独立性检验法抽查了 3000 人,计算发 现 K 2 ? 6.023 ,根据这一数据,市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信度是( (A) 90% (B) 95% (C) 97.5% )。 (D) 99.5% )。

B 的疱疹面积有差异”,将说明过程写在下面。

3、当 K 2 ≤ 2.706 时,我们认为事件 A 与事件 B ( (A)有 95% 的把握认为 A 与 B 有关系 (C)没有充分理由说明事件 A 与 B 有关系

(B)有 99% 的把握认为 A 与 B 有关系 (D)不能确定

4、为了比较注射 A ,B 两种药物后产生皮肤疱疹的面积,选 200 只家兔做试验,将这 200 只家 兔随机地分成两组,每组 100 只,其中一组注射药物 A ,另一组注射药物 B 。 (1)甲、乙是 200 只家兔中的 2 只,求甲、乙分在不同组的概率;


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